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1、二次函数知识点讲解学生编号：年级： 九年级课时数： 2学生姓名：辅导科目：数学学科教师：课题授课日期及时段教学目的教学内容【知识点梳理归纳】1. 定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么y叫做x的二次函数 . 2. 二次函数2axy的性质（1）抛物线2axy的顶点是坐标原点，对称轴是y轴. （2）函数2axy的图像与a的符号关系 . 当0a时抛物线开口向上顶点为其最低点；当0a时抛物线开口向下顶点为其最高点. （3）顶点是坐标原点，对称轴是y轴的抛物线的解析式形式为2axy）（0a. 3. 二次函数cbxaxy2的图像是对称轴平行于（包括重合）y轴的抛物线 . 4. 二次
2、函数cbxaxy2用配方法可化成：khxay2的形式，其中abackabh4422，. 5. 二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 2axy； kaxy2； 2hxay； khxay2；cbxaxy2. 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于y轴（或重合）的直线记作hx. 特别地，y轴记作直线0 x. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数a相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同，只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法
3、（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为(h,k) ，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页对称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点. 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失. 9. 抛物线cbxaxy2中，cba,的作用（1）a
4、决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2）b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为y轴；0ab（即a、b同号）时，对称轴在y轴左侧； 0ab（即a、b异号）时，对称轴在y轴右侧 . （3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与y轴交点的位置. 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与y轴有且只有一个交点（0，c） ：0c，抛物线经过原点; 0c, 与y轴交于正半轴；0c, 与y轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立. 如抛物线的对称轴在y轴右侧，则0ab. 10. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：
5、函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口当0a时开口kaxy22hxaykhxay2cbxaxy211. 二次函数的解析式的求法用待定系数法可求出二次函数的解析式，确定二次函数一般需要三个独立条件，根据不同条件选择不同的设法：（1）设 一般式 ：y=ax2+bx+c（a0）若已知条件是图像上的三个点，则设所求二次函数为y=ax2+bx+c，将已知条件代入，求出a，b， c 的值。（2）设 交点式 ：y=a（1xx） （2xx） （a 0）若已知二次函数图像与x 轴的两个交点的坐标为（1x，0） ， （2x，0） ，设所求二次函数为y=a（1xx） （2xx） ，将第三点（ m ，n
6、）的坐标（其中m 、n 为已知数）或其他已知条件代入，求出待定系数a，最后将解析式化为一般形式。（3）设 顶点式 ：y=a（hx）2+k（a0）若已知二次函数图像的顶点坐标或对称轴方程与最大值（或最小值），设所求二次函数为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页y=a（hx）2+k（a0） ，将已知条件代入，求出待定系数，最后将解析式化为一般形式。12. 直线与抛物线的交点（1）y轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）与y轴平行的直线hx与抛物线cbxaxy2有且只有一个交点(h,cbhah2). （3）
7、抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02cbxax的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点0抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）0抛物线与x轴相切；没有交点0抛物线与x轴相离 . （4）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为k，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （ 5） 一 次 函 数0knkxy的 图 像l与 二 次 函 数02acbxaxy的 图 像G的 交
8、点 ， 由 方 程 组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l与G有两个交点 ; 方程组只有一组解时l与G只有一个交点；方程组无解时l与G没有交点 . （6）抛物线与x轴两交点之间的距离：若抛物线cbxaxy2与x轴两交点为0021，xBxA，由于1x、2x是方程02cbxax的两个acxxabxx2121,aaacbacabxxxxxxxxAB444222122122121题型一：二次函数的定义相关例 1 下列函数中，是二次函数的是 . 142xxy；22xy； xxy422；xy3；12xy；pnxmxy2；xy4；xy5. 例 2 如果函数y=(k-3)232kk
9、x +kx+1 是二次函数 , 则 k 的值一定是 _. 例 3 二次函数 y=x2+2x7 的函数值是8，那么对应的x 的值是（）A 3 B 5 C 3 和 5 D 3 和 5 . 【巩固练习】1已知二次函数2532xxy，当1x时y. 2下列各式中，y 是 x 的二次函数的是( ) A12xxyB022yxC22axy D 0122yx. 3若1222)(mmxmmy是二次函数，则m= . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页4若函数54)82(22xxmmy是关于 x 的二次函数，则m的取值范围为 . 5已知函数
10、1)3(72mxmy是二次函数，则m . 题型二：一般式化为顶点式例 4 分别运用公式法和配方法将二次函数y=x24x+ 6 化为 y=(x h)2+k 的形式： y=_. 【巩固练习】分别用配方法和公式法把二次函数y=x24x+5 化成 y=(x h)2+k 的形式 .题型三：二次函数的性质例 5 抛物线23312xxy与2axy的形状相同，则a= 例 6 二次函数cbxaxy2的图象， 如图所示， 根据图象可得a、 b、c 与 0 的大小关系是 （） A a 0，b0，c0 Ba0，b0，c0C a0，b 0，c0时， 开口向 _，具有性质：当x?0?时， ?函数值 y?随 x?的增大而
11、_，当 x0 时，函数值y 随 x 的增大而 _，当 x=0?时，?函数取最 _?值为 _ 当 a0 时，函数值 y 随 x 的增大而 _，?当 x”，“0 B a0； b0；042acb；其中正确的结论有（）A1 个B2 个C3 个D4 个8抛物线2228,5,41xyxyxy共有的性质是（）A开口方向相同 B开口大小相同C当 x0 时， y 随 x 的增大而增大D对称轴相同9抛物线221xy不具有的性质是（）A开口向下； B对称轴是y 轴；C当 x0 时， y 随 x 的增大而减小； D 函数有最小值. 10如图，当ab0 时，函数y=ax2与函数 y=bx+a 的图象大致是（）精选学习资
12、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页11. 已知二次函数cbxaxy2的图象如图所示，则一次函数的图象不经过（）A.第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D.第四象限12. 二次函数cbxaxy2的图象如图所示，若点A（1，y1）、 B（2，y2）是它图象上的两点，则 y1与 y2的大小关系是（） A 21yyB21yyC21yyD不能确定13. 在平面直角坐标系中，先将抛物线22xxy关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于y 轴作轴对称变换，那么经两次变换后所得的新抛物线的解析式为（）A22xxyB22xxyC22x
13、xyD22xxy二、解答题1 已知一次函2322mxmxmy的图象过点（0，5） 求m的值，并写出二次函数的关系式； 求出二次函数图象的顶点坐标、对称轴2 (2010年厦门湖里模拟) 一次函数yx3 的图象与x轴，y轴分别交于点A，B一个二次函数yx2bxc的图象经过点A，B（1）求点A，B的坐标；（2）求二次函数的解析式及它的最小值1. 已知二次函数215222yxx. （1）求出抛物线的顶点坐标、对称轴、最小值；（2）求出抛物线与x 轴、 y 轴交点坐标；2. （09 浙江）如图抛物线254yaxxa与轴相交于点、，且过点（，）(1) 求 a 的值和该抛物线顶点P的坐标(2) 请你设计一种平移的方法， 使平移后抛物线的顶点落在第二象限，并写出平移后抛物线的解析式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页3已知抛物线cbxxy2的部分图象如图所示.(1) 求 b、c 的值； (2)求 y 的最大值； (3) 写出当0y时，x的取值范围 . yx12345-1-2123-1-2O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页