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1、中考数学试题汇编之压轴题（一）（黄冈市2011） 24（14 分）如图所示，过点F（0，1）的直线 y=kx b 与抛物线214yx交于 M（x1，y1）和 N（ x2， y2）两点（其中x10，x20） 求 b 的值求 x1?x2的值分别过M、N 作直线 l：y=1 的垂线，垂足分别是M1、N1，判断 M1FN1的形状，并证明你的结论对于过点F 的任意直线MN，是否存在一条定直线m，使 m 与以 MN 为直径的圆相切 如果有， 请法度出这条直线m 的解析式；如果没有，请说明理由答案： 24解： b=1显然11xxyy和22xxyy是方程组2114ykxyx的两组解，解方程组消元得21104x
2、kx，依据“根与系数关系”得12x x=4 M1FN1是直角三角形是直角三角形，理由如下：由题知 M1的横坐标为x1，N1的横坐标为x2，设 M1N1交 y 轴于 F1，则 F1M1?F1N1=x1?x2=4，而 FF 1=2，所以 F1M1?F1N1=F1F2，另有 M1F1F=FF1N1=90，易证 RtM1FF1RtN1FF1，得 M1FF1=FN1F1，故 M1FN1= M1FF1 F1FN1= FN1F1 F1FN1=90，所以 M1FN1是直角三角形存在，该直线为y=1理由如下：直线 y=1 即为直线M1N1如图，设 N 点横坐标为m，则（黄石市2011 年）24. （本小题满分9
3、 分）已知1O与2O相交于A、B两点，点1O在2O上，C为2O上一点（不与A，B，1O重合），直线CB与1O交于另一点D。（1）如图（ 8） ，若AC是2O的直径，求证：ACCD；（2）如图 (9)，若C是1O外一点，求证：1O CAD；F M N N1M1F1O y x l 第 22 题图F M N N1M1F1O y x l 第 22 题解答用图P Q 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 14 页（3）如图（ 10） ，若C是1O内一点，判断（2）中的结论是否成立。答案： 24 （9 分）证明：（1）如图（一） ，连接A
4、B，1COAC为2O的直径DBABAD为1O的直径1O在AD上又1COAD，1O为AD的中点ACD是以AD为底边的等腰三角形ACCD（3 分）（2）如图（二） ，连接1AO，并延长1AO交1O与点E，连ED四边形AEDB内接于1OABCE又ACAC1EAO C1/ /COED又AE为1O的直径EDAD1COAD（3 分）（3）如图（三） ，连接1AO，并延长1AO交1O与点E，连ED1BEO C又EB1EO CE1/ /COED又EDAD1COAD（3 分）（黄石市2011 年） 25.（本小题满分10 分）已知二次函数2248yxmxm精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
5、纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 14 页（1）当2x时，函数值y随x的增大而减小，求m的取值范围。（2）以抛物线2248yxmxm的顶点A为一个顶点作该抛物线的内接正三角形AMN（M，N两点在抛物线上） ，请问：AMN的面积是与m无关的定值吗？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由。（3）若抛物线2248yxmxm与x轴交点的横坐标均为整数，求整数m的值。答 案 ： 25 （ 10分 ） 解 ： （ 1） 22()48yxmmm由题意得，2m（3 分）（2）根据抛物线和正三角形的对称性，可知MNy轴，设抛物线的对称轴与MN交于点B，则3ABBM。设( , )M a b()B
6、Mam ma又2(48)BAAByybmm22248(48)amammm2222()amamam2()3()amam3am3BM，3AB1123 233 322AMNSABBM定值（3 分）x y 0 A 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 14 页（3）令0y，即22480 xmxm时，有222248(2)42mmmxmm由题意，2(2)4m为完全平方数，令22(2)4mn即(2)(2)4nmnm,m n为整数，2,2nmnm的奇偶性相同2222nmnm或2222nmnm解得22mn或22mn综合得2m（2011 年广东茂
7、名市） 如图， P与y轴相切于坐标原点O（0，0） ，与x轴相交于点A（ 5，0） ，过点 A 的直线 AB 与y轴的正半轴交于点B，与 P 交于点 C（1）已知 AC=3 ，求点的坐标；（分）（2）若 AC=a, D 是 O的中点问：点O、P、C、D 四点是否在同一圆上？请说明理由如果这四点在同一圆上，记这个圆的圆心为1O，函数xky的图象经过点1O，求k的值（用含a的代数式表示） （分）解：x y 0 A N B M 第 24 题图y第 24 题备用图y精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 14 页六、 （本大题共2 小题
8、，每小题8 分，共 16 分）24、解：（1）解法一：连接OC， OA 是 P 的直径， OCAB，在 RtAOC中，492522ACOAOC，1分在 RtAOC 和 Rt ABO 中， CAO= OAB Rt AOCRtABO ， 2分OBAOCOAC，即OB543， 3分320OB，)320,0(B 4分解法二：连接OC，因为 OA 是 P 的直径，ACO=90 在 RtAOC 中， AO=5 ，AC=3 ， OC=4， 1 分过 C 作 CEOA 于点 E，则：OCCACEOA2121，即：4321521CE，512CE， 2 分516)512(42222CEOCOE)512,516(C
9、， 3 分设经过 A、C 两点的直线解析式为：bkxy把点 A（5， 0） 、)512,516(C代入上式得：51251605bkbk，解得：32034bk，32034xy，点)320,(OB 4 分（2）点 O、 P、C、D 四点在同一个圆上，理由如下：连接CP、 CD 、 DP ， OC AB ， D 为OB上的中点，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 14 页ODOBCD21， 3=4，又 OP=CP， 1=2， 1+3=2+4=90，PC CD，又 DOOP， RtPDO 和 RtPDC 是同以 PD 为斜边的直角三
10、角形，PD 上的中点到点O、P、C、D 四点的距离相等，点 O、P、 C、 D 在以 DP 为直径的同一个圆上； 6分由上可知，经过点O、P、C、D 的圆心1O是 DP 的中点，圆心)2,2(1ODOPO，由（ 1）知： RtAOCRtABO ，ABOAOAAC，求得： AB=a25，在 RtABO 中，aaOAABOB222255，OD=aaOB2255212，252OAOP)4255,45(21aaO，点1O在函数xky的图象上，5442552kaa，aak1625252 8 分（2011 年广东茂名市）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知抛物线经过点(0，4)，B(1，0)，C（5，0）
11、 ，抛物线对称轴l与x轴相交于点M（1）求抛物线的解析式和对称轴；（3 分）（2）设点 P 为抛物线（5x）上的一点，若以A、O、M、P 为顶点的四边形四条边的长度为四个连续的正整数，请你直接写出点 P 的坐标；（2 分）（3）连接 AC 探索：在直线 AC 下方的抛物线上是否存在一点N，使 NAC 的面积最大？若存在，请你求出点N 的坐标；若不存在，请你说明理由（3 分）解：25 、 解 ： （ 1） 根 据 已 知 条 件 可 设 抛 物 线 的 解 析 式 为)5)(1(xxay， 1 分把点 A（0，4）代入上式得：54a，y516)3(54452454)5)(1(5422xxxxx，
12、 2 分抛物线的对称轴是：3x 3 分（2）由已知，可求得P（6，4） 5 分第 25 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 14 页提示：由题意可知以A、O、M、P 为顶点的四边形有两条边AO=4 、OM=3 ，又知点 P的坐标中5x，所以， MP2,AP2 ；因此以 1、 2、3、4 为边或以2、3、4、5 为边都不符合题意，所以四条边的长只能是3、4、5、 6 的一种情况，在RtAOM 中，5342222OMOAAM，因为抛物线对称轴过点M，所以在抛物线5x的图象上有关于点A 的对称点与M 的距离为5，即PM=5，此
13、时点P 横坐标为6，即 AP=6；故以 A、O、M、P 为顶点的四边形的四条边长度分别是四个连续的正整数3、4、5、 6 成立，即 P（ 6，4） 5分（注：如果考生直接写出答案P（，），给满分2 分，但考生答案错误，解答过程分析合理可酌情给1 分）法一：在直线AC 的下方的抛物线上存在点N，使NAC 面积最大设 N 点的横坐标为t，此时点N)452454,(2ttt（)50t，过点N 作 NGy轴交 AC 于 G；由点 A（ 0，4）和点 C（ 5，0）可求出直线 AC 的解析式为：454xy；把tx代入得：454ty，则 G)454,(tt，此时： NG=454t-（4524542tt）
14、，=tt520542 分225)25(21025)52054(2121222tttttOCNGSACN当25t时， CAN 面积的最大值为225，由25t，得：34524542tty， N（25， -3） 8 分法 二 ： 提 示 ： 过 点N作x轴 的 平 行 线 交y轴 于 点E， 作CF EN于 点F， 则NF CA E NA E F CA N CSSSS梯形（再设出点N 的坐标，同样可求,余下过程略）（重庆市潼南县2011 年） 26.（12 分）如图 ,在平面直角坐标系中，ABC 是直角三角形,ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛物线2yxbxc经过 A，B 两点，抛物线
15、的顶点为D（1）求 b,c 的值；（2）点 E 是直角三角形ABC 斜边 AB 上一动点 (点 A、B 除外 )，过点 E 作 x 轴的垂线交抛物线于点F，当线段EF 的长度最大时，求点E 的坐标；（3）在（ 2）的条件下：求以点、为顶点的四边形的面积；在抛物线上是否存在一点P，使 EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在， 求出所有点P 的坐标；若不存在，说明理由. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 14 页26. 解： （1）由已知得：A（ -1，0）B（4，5） -1 分二次函数2yxbxc的图像经过点A（
16、-1，0）B(4,5) 101645bcbc-2分解得： b=-2 c=-3-3 分（2 如题图：直线AB 经过点 A（-1， 0）B(4,5) 直线 AB 的解析式为： y=x+1 二次函数223yxx设点 E(t，t+1) ,则 F（t，223tt）-4分EF= 2(1)(23)ttt-5 分=2325()24t当32t时， EF 的最大值 =254点 E 的坐标为（32，52）-6分（3）如题图：顺次连接点E、B、F、D 得四边形可求出点F 的坐标（32，154）,点 D 的坐标为（ 1，-4）SEBFD四边行=SBEF+SDEFAOCBDxy26题备用图AOCBDxy26题图精选学习资
17、料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 14 页=1253125 3(4)(1)242242=758-9分如题备用图：)过点 E 作 aEF 交抛物线于点P, 设点 P(m,223mm) 则有：25232mm解得 :12262m,22262m1226 5(,)22p,2226 5(,)22p）过点F 作 bEF 交抛物线于3P，设3P（n，223nn）则有：215423nn解得：112n，232n（与点 F 重合，舍去） 3P11524（ ，）综上所述：所有点P 的坐标：1226 5(,)22p，22265(,)22p3P（11524（，
18、）. 能使EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形-12分（江苏省宿迁市2011 年） 26 （本题满分10 分）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点， P 是反比例函数yx6（x0）图象上的任意一点，以P 为圆心， PO 为半径的圆与x、y 轴分别交于点A、B（1）判断 P 是否在线段AB 上，并说明理由；（2）求 AOB 的面积；（3）Q 是反比例函数yx6（ x0）图象上异于点P 的另一点，请以Q 为圆心， QO半径画圆与x、y 轴分别交于点M、 N，连接 AN、MB求证： ANMB解： （1）点 P 在线段 AB 上，理由如下：点 O 在 P 上，且 AOB90AB 是 P 的直
19、径点 P 在线段 AB 上（2）过点 P 作 PP1x 轴， PP2y 轴，由题意可知PP1、PP2是 AOB 的中位线，故SAOB21OAOB212 PP1PP2P 是反比例函数yx6（ x0）图象上的任意一点SAOB21OAOB212 PP12PP2 2 PP1PP212（3）如图，连接MN，则 MN 过点 Q，且 SMON SAOB12题备用图yQPABO（第 26 题）NMyxQPABO精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 14 页OAOBOMONOBONOMOA AON MOB AON MOB OAN OMBANMB
20、（江苏省宿迁市2011 年） 27 （本题满分12 分）如图，在边长为2 的正方形ABCD 中， P为 AB 的中点， Q 为边 CD 上一动点，设DQt（0t 2） ，线段 PQ 的垂直平分线分别交边 AD、BC 于点 M、N，过 Q 作 QEAB 于点 E，过 M 作 MFBC 于点 F（1）当 t1 时，求证：PEQ NFM；（2）顺次连接P、M、Q、N，设四边形PMQN 的面积为S ，求出 S与自变量t 之间的函数关系式，并求S的最小值解： （1）四边形ABCD 是正方形 A B D90， ADABQEAB， MF BC AEQ MFB 90四边形 ABFM 、AEQD 都是矩形MF
21、AB，QEAD，MF QE 又 PQMN EQP FMN又 QEP MFN 90 PEQ NFM （2）点 P 是边 AB 的中点， AB2， DQAEtPA1， PE1t，QE2 由勾股定理，得PQ22PEQE4)1(2t PEQ NFM MNPQ4)1(2t又 PQMNSMNPQ214)1(212t21t2t250t 2 当 t1 时， S最小值2综上： S21t2t25，S的最小值为2（江苏省宿迁市2011 年） 28 （本题满分12 分）如图，在RtABC 中， B90， AB1，BC21，以点 C 为圆心， CB 为半径的弧交CA 于点 D；以点 A 为圆心， AD 为半径的弧交 A
22、B 于点 E（ 1）求 AE 的长度；QPNMFEDCBA（第 27 题）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 14 页（2）分别以点A、E 为圆心， AB 长为半径画弧，两弧交于点F（F 与 C 在 AB 两侧） ，连接AF、EF，设 EF 交弧 DE 所在的圆于点G，连接 AG，试猜想 EAG 的大小，并说明理由解： （1）在 Rt ABC 中，由 AB1，BC21得 AC22)21(125BCCD，AEADAEAC AD215（ 2） EAG36，理由如下：FAFEAB1，AE215FAAE215 FAE 是黄金三角形
23、 F36， AEF72AEAG， FAFE FAE FEA AGE AEG FEA EAG F36（2011 年广东省） 10如图 (1)，将一个正六边形各边延长，构成一个正六角星形AFBDCE ，它的面积为1；取 ABC 和 DEF 各边中点，连接成正六角星形A1F1B1D1C1E1，如图 (2)中阴影部分；取A1B1C1和 D1E1F1各边中点，连接成正六角星形A2F2B2D2C2E2，如图 (3)中阴影部分；如此下去，则正六角星形A4F4B4D4C4E4的面积为 _答案：2561（2011 年广东省） 21如图（ 1） ， ABC 与 EFD 为等腰直角三角形，AC 与 DE 重合，AB
24、=AC=EF=9， BAC=DEF =90o，固定 ABC，将 DEF 绕点 A 顺时针旋转，当DF 边与 AB 边重合时，旋转中止现不考虑旋转开始和结束时重合的情况，设DE，DF (或它们的延长线 )分别交 BC(或它的延长线 ) 于 G，H 点，如图 (2) GFEDCBA（第 28 题）题 10 图（ 1）A1B C D A F E B C D A F E B C D A F E B1C1F1D1E1A1B1C1F1D1E1A2B2C2F2D2E2题 10 图（ 2）题 10 图（ 3）题 21 图(1) B H F A （D）G C E C（E）B F A （D）题 21 图(2) 精
25、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 14 页（1）问：始终与AGC 相似的三角形有及；（2）设 CG=x，BH=y，求 y 关于 x 的函数关系式（只要求根据图(2)的情形说明理由）（3）问：当x 为何值时，AGH 是等腰三角形 . （1） 、 HAB HGA ；（2） 、由 AGC HAB ，得 AC/HB=GC/AB ，即 9/y=x/9 ，故 y=81/x (0 x29) （3）因为： GAH= 45当 GAH= 45是等腰三角形.的底角时，如图（1） ：可知 CG=x=29/2 当 GAH= 45是等腰三角形.的顶角
26、时 , 如图（ 2） ：由 HGA HAB 知： HB= AB=9 ，也可知BG=HC ，可得： CG=x=18-29图（ 1）图（ 2）（2011 年凉山州）如图，抛物线与x轴交于A（1x，0） 、B（2x， 0）两点，且12xx，与y轴交于点0, 4C，其中12xx，是方程24120 xx的两个根。（1）求抛物线的解析式；（2）点M是线段AB上的一个动点，过点M作MNBC，交AC于点N，连接CM，当CMN的面积最大时，求点M的坐标；（3）点4,Dk在（ 1）中抛物线上，点E为抛物线上一动点，在x轴上是否存在点F， 使以ADEF、 、 、为顶点的四边形是平行四边形，如果存在，求出所有满足条件
27、的点F的坐标，若不存在，请说明理由。B （D）A F E G H C B （D）A F E G （H）C y x O B M N C A 28 题图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 14 页28 （1）24120 xx，12x，26x。( 2,0)A，(6,0)B。 1 分又抛物线过点A、B、C，故设抛物线的解析式为(2)(6)ya xx，将点C的坐标代入，求得13a。抛物线的解析式为214433yxx。 3 分（2）设点M的坐标为（m，0） ，过点N作NHx轴于点H（如图（ 1） ） 。点A的坐标为（2， 0） ，点B
28、的坐标为（ 6，0） ，8AB，2AMm。 4 分MNBC，MNABC。NHAMCOAB，248NHm，22mNH。 5 分1122CMNACMAMNSSSAM COAM NH2121(2)(4)3224mmmm 6 分21(2)44m。当2m时，CMNS有最大值4。此时，点M的坐标为（ 2，0） 。 7 分（3）点D（4，k）在抛物线214433yxx上，当4x时，4k，点D的坐标是（ 4，4） 。如图（ 2） ，当AF为平行四边形的边时，AFDE，D（4，4） ，E（0，4） ，4DE。y x O B 2FE A 图（ 2）1FD y x O B 3FA 图（ 3）ED 4FE精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 14 页1( 6,0)F，2(2,0)F。 9 分如图（ 3） ，当AF为平行四边形的对角线时，设( ,0)F n，则平行四边形的对称中心为（22n， 0） 。 10 分E的坐标为（6n，4） 。把E（6n，4）代入214433yxx，得216360nn。解得827n。3(82 7,0)F，4(82 7,0)F。 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 14 页