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1、学习必备欢迎下载初中数学中考必考知识点之难点归纳难点一：二次函数相关知识及精华小结论1.定义：一般地，如果cbacbxaxy,(2是常数，)0a，那么 y 叫做x的二次函数 . 2.抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点. a的符号决定抛物线的开口方向：当0a时，开口向上；当0a时，开口向下；a 相等，抛物线的开口大小、形状相同. 平行于 y轴（或重合）的直线记作hx.特别地， y 轴记作直线0 x. 几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标2axy当0a时开口向上当0a时开口向下0 x（ y 轴）（0,0）kaxy20 x（ y 轴）(0, k ) 2hxayhx(
2、 h,0) khxay2hx( h,k ) cbxaxy2abx2(abacab4422，) 4.求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：abacabxacbxaxy442222，顶点是），（abacab4422，对称轴是直线abx2. （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为khxay2的形式，得到顶点为( h, k )，对称轴是直线hx. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，对称轴与抛物线的交点是顶点。若已知抛物线上两点12(, ) (,)、xyxy（及 y 值相同） ， 则对称轴方程可以表示为：122xxx9.抛物线cbxaxy2中，cba,的作用
3、（1）a决定开口方向及开口大小，这与2axy中的a完全一样 . （2） b和a共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线cbxaxy2的对称轴是直线abx2，故：0b时，对称轴为 y 轴；0ab（即a、b 同号）时，对称轴在 y 轴左侧；0ab（即a、 b 异号）时，对称轴在y 轴右侧 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载（3）c的大小决定抛物线cbxaxy2与 y轴交点的位置 . 当0 x时，cy，抛物线cbxaxy2与 y 轴有且只有一个交点（ 0，c） ：0c，抛物线经过原点 ; 0c,与 y 轴
4、交于正半轴；0c,与 y 轴交于负半轴 . 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在y 轴右侧，则0ab. 11.用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：cbxaxy2.已知图像上三点或三对x、 y 的值，通常选择一般式 . （2）顶点式：khxay2.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式. （3）交点式：已知图像与x轴的交点坐标1x、2x，通常选用交点式：21xxxxay. 12.直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线cbxaxy2得交点为 (0, c). （2）抛物线与x轴的交点二次函数cbxaxy2的图像与x轴的两个交点的横坐标1x、2x，是对应一元二次方程02
5、cbxax的两个实数根 .抛物线与x轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的根的判别式判定：有两个交点(0)抛物线与x轴相交；有一个交点（顶点在x轴上）(0)抛物线与x轴相切；没有交点(0)抛物线与x轴相离 . （3）平行于x轴的直线与抛物线的交点同（2）一样可能有 0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 .当有 2 个交点时，两交点的纵坐标相等，设纵坐标为 k ，则横坐标是kcbxax2的两个实数根 . （4）一次函数0knkxy的图像 l 与二次函数02acbxaxy的图像 G 的交点，由方程组cbxaxynkxy2的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G有两个交点 ; 方程组只有
6、一组解时l 与G 只有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . （ 5） 抛物 线与x轴 两交 点 之 间的 距离 ： 若 抛 物 线cbxaxy2与x轴两 交 点 为0021，xBxA，则12ABxx1、多边形内角和公式： n边形的内角和等于 ( n2) 180o （n3，n是正整数），外角和等于 360o2、平行线分线段成比例定理：（1）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。如图： abc，直线 l1与 l2分别与直线 a、b、c 相交与点 A、B、C D、E、F，则有,ABDEABDEBCEFBCEFACDFACDF（2）推论：平行于三角形一边的直线截
7、其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。如 图 ： ABC中 ， DE BC ， DE与AB 、 AC相 交 与 点D 、 E ， 则 有 ：aADl1l2AEAD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载,ADAEADAEDEDBECDBECABACBCABAC3、直角三角形中的射影定理：如图： RtABC 中， ACB90o，CDAB 于 D，则有：（1）2CDAD BD（2）2ACAD AB（3）2BCBDAB4、圆的有关性质 ：（1）垂径定理 ：如果一条直线具备以下五个性质中的任意两个性质：
8、经过圆心； 垂直弦；平分弦；平分弦所对的劣弧；平分弦所对的优弧，那么这条直线就具有另外三个性质注：具备，时，弦不能是直径 （2）两条平行弦 所夹的弧相等 （3）圆心角 的度数等于它所对的弧的度数 （4）一条弧所对的 圆周角 等于它所对的圆心角的一半 （5）圆周角等于它所对的弧的度数的一半（6）同弧或等弧所对的圆周角相等（7）在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等（8）90o 的圆周角所对的弦是直径，反之，直径所对的圆周角是90o ，直径是最长的弦（ 9）圆内接四边形 的对角互补5、三角形的内心与外心： 三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心三角形的内心就是三内角角平分线的交点三角形的外接圆的圆
9、心叫做三角形的外心三角形的外心就是三边中垂线的交点常见结论： （1） RtABC 的三条边分别为：a、 b、 c （c 为斜边） ， 则它的内切圆的半径2abcr；（2）ABC 的周长为l，面积为 S，其内切圆的半径为r，则12Slr6、弦切角定理及其推论：（1）弦切角：顶点在圆上，并且一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角。如图：PAC 为弦切角。（2）弦切角定理：弦切角度数等于它所夹的弧的度数的一半。如果 AC 是O 的弦， PA 是O 的切线， A 为切点，则1122PACACAOC推论：弦切角等于所夹弧所对的圆周角（作用证明角相等）如果 AC 是O 的弦， PA 是O 的切线， A
10、 为切点，则PACABC7、相交弦定理、割线定理、切割线定理：相交弦定理： 圆内的两条弦相交， 被交点分成的两条线段长的积相等。如图，即：PA PB = PC PD 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。如图，即： PA PB = PC PD切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的CABDOPBCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载比例中项。如图，即： PC2 = PA PB8、面积公式 ：S正(边长)2S平行四边形底高
11、S菱形底高( 对角线的积 ) ，1()2S梯形上底下底高中位线高S圆R2l圆周长2R弧长 L213602n rSlr扇形S圆柱侧底面周长高 2rh ，S全面积S侧S底2rh2r2S圆锥侧 底面周长母线 rb， S全面积S侧S底rbr2中考数学常用公式定理1、整数( 包括：正整数、0、负整数 )和分数( 包括：有限小数和无限环循小数 ) 都是有理数 如：3，0.231，0.737373，无限不环循小数叫做 无理数 如： ，0.1010010001 ( 两个1之间依次多 1个0)有理数和无理数统称为实数2、绝对值 ：a0丨a丨a；a0丨a丨 a如：丨丨；丨3.14丨3.143、一个近似数 ，从左边
12、笫一个不是 0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的 有效数字 如： 0.05972精确到 0.001得0.060，结果有两个有效数字 6，04、 把一个数写成 a10n的形式 ( 其中1a10， n是整数 ) ， 这种记数法叫做 科学记数法如：407004.07105，0.000043 4.3 1055、乘法公式 ( 反过来就是因式分解的公式) ：(ab)(ab)a2b2(ab)2a22abb2 ( ab)( a2abb2)a3b3 ( ab)( a2abb2) a3b3； a2b2( ab)22ab，(ab)2( ab)24ab6、幂的运算性质： amanamnaman
13、amn( am)namn(ab)nanbn()nnPOCABDPOCBADPOCAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页学习必备欢迎下载an1na，特别： ()n()na01( a0) 如： a3a2a5，a6a2a4，( a3)2a6，(3a3)327a9，( 3)1，52，()2()2 ，(3.14) o 1，()017、二次根式 ：()2a(a0) ，丨a丨，(a0，b0)如： ( 3)2456a0时，a的平方根 4的平方根 2（平方根、立方根、算术平方根的概念）A 8、一元二次方程 ：对于方程： ax2bxc0
14、：求根公式 是x242bbaca，其中 b24ac叫做根的判别式当 0时，方程有两个不相等的实数根；当 0时，方程有两个相等的实数根；当 0时，方程没有实数根注意：当0时，方程有实数根若方程有两个实数根 x1和x2，并且二次三项式 ax2bxc可分解为 a(xx1)( xx2) 以a和b为根的一元二次方程是 x2( ab)xab09、一次函数 ykxb( k0) 的图象是一条直线 ( b是直线与 y轴的交点的纵坐标即一次函数在y轴上的截距 ) 当k0时，y随x的增大而增大 ( 直线从左向右上升 ) ；当k0时，y随x的增大而减小( 直线从左向右下降 ) 特别：当b0时，ykx( k0) 又叫做
15、正比例函数 (y与x成正比例 ) ，图象必过原点10、反比例函数 y ( k0)的图象叫做双曲线当 k0时，双曲线在一、三象限 ( 在每一象限内，从左向右降 )；当k0时，双曲线在二、四象限 ( 在每一象限内，从左向右上升)因此，它的增减性与一次函数相反11、统计初步 ：（1）概念：所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做 样本容量在一组数据中，出现次数最多的数( 有时不止一个 ) ，叫做这组数据的 众数将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数( 或两个数的平均数 ) 叫做这组数据的 中位数（2）公式： 设有
16、 n 个数 x1，x2， xn，那么：平均数为：12.nxxxxn+=；极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差称为极差，即：极差 =最大值 - 最小值；一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定。12、频率与概率：（1）频率 =总数频数，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载（2）概率如果用 P 表示一个事件 A 发生的概率，则 0P （A）1 ；P（必然事
17、件） =1；P（不可能事件） =0；在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率。大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；13、锐角三角函数 ：设 A是RtABC的任一锐角，则A的正弦：sinA， A的余弦：cosA-，A的正切： tanA并且 sin2Acos2A10sinA1，0cosA1，tanA0A越大， A的正弦和正切值越大，余弦值反而越小余角公式 ：sin( 90o A)cosA，cos( 90o A)sinA特殊角的三角函数值： sin30o cos60o ， sin45o cos45o ， sin60o cos30o ， tan30
18、o，tan45o 1，tan60o 斜坡的坡度： i铅垂高度水平宽度 设坡角为 ，则itan 14、平面直角坐标系中的有关知识：（1）对称性：若直角坐标系内一点P（a，b） ，则 P关于 x轴对称的点为 P1（a，b） ，P 关于 y 轴对称的点为 P2（a，b） ，关于原点对称的点为P3（a，b）. （2）坐标平移：若直角坐标系内一点P（a，b）向左平移 h 个单位，坐标变为 P（ah，b） ，向右平移 h 个单位，坐标变为P（ah，b） ；向上平移 h 个单位，坐标变为 P（a，bh） ，向下平移 h 个单位，坐标变为P（a，bh）.如：点 A（2，1）向上平移 2 个单位，再向右平移 5
19、 个单位，则坐标变为A（7，1）. 常用数学公式公式分类公式表达式乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b| |a|+|b| |a-b|a|+|b| |a|b-bab |a-b|a|-|b| -|a| a|a| 一元二次方程的解-b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理判别式b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根h l 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
20、- - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载b2-4ac0 注：方程有两个不等的实根b2-4ac0 注：方程没有实根，有共轭复数根某些数列前 n项和1+2+3+4+5+6+7+8+9+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+n2=n(n+1)(2n+1)/613+23+33+43+53+63+n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页