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1、学习必备欢迎下载第九讲几何图形的归纳、猜想和证明【前言】实行新课标以来，中考加大了对考生归纳，总结，猜想这方面能力的考察，但是由于数列的系统知识要到高中才会正式考察，所以大多放在填空压轴题来出。08 年的中考填空压轴是一道代数归纳题，已经展现出了这种趋势。09 年的一模，二模也只是较少的区县出了这种归纳题，然而中考的时候就出了一道几何方面的n 等分点总结问题。于是今年的一模二模，这种有关几何的归纳，猜想问题铺天盖地而来，这就是一个重要的风向标。而且根据学生反映，这种问题一般较难，得分率很低， 经常有同学选择+填空就只错了这一道。对于这类归纳总结问题来说，思考的方法是最重要的，所以一下我们通过今
2、年的一二模真题来看看如何应对这种新题型。第一部分真题精讲【例 1】2010，海淀，一模如图，n+1 个边长为2 的等边三角形有一条边在同一直线上，设211B D C 的面积为1S ，322B D C 的面积为2S ，1nnnBD C 的面积为nS ，则2S = ；nS =_ （用含n的式子表示）D4D3D2D1C5C4C3C2C1B5B4B3B2B1A【思路分析】 拿到这种题型，第一步就是认清所求的图形到底是什么样的。本题还好，将阴影部分标出，不至于看错。但是如果不标就会有同学误以为所求的面积是22B AC,33B AC这种的 ,第二步就是看这些图形之间有什么共性和联系.首先2S所代表的三角形
3、的底边2C2D是三角形2AC2D的底边 ,而这个三角形和3AC3B是相似的 .所以边长精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页学习必备欢迎下载的比例就是2AC与3AC的比值 .于是2122 323233S.接下来通过总结,我们发现所求的三角形有一个最大的共性就是高相等,为3（连接上面所有的B 点，将阴影部分放在反过来的等边三角形中看）。那么既然是求面积，高相等，剩下的自然就是底边的问题了。我们发现所有的 B,C 点连线的边都是平行的，于是自然可以得出nD自然是所在边上的n+1 等分点.例如2D就是2B2C的一个三等分点.于
4、是1121nnnD Cn(n+1-1 是什么意思 ?为什么要减 1?)11123332211nnnBD CnnnnSD Cnn【例 2】2010，西城，一模在平面直角坐标系中，我们称边长为1 且顶点的横纵坐标均为整数的正方形为单位格点正方形，如图，菱形ABCD的四个顶点坐标分别是( 80)，(04)，(80)，(04)，则菱形ABCD能覆盖的单位格点正方形的个数是_个； 若菱形nnnnA B C D的四个顶点坐标分别为( 20)，n，(0)，n，(20)，n，(0)， n（n为正整数），则菱形nnnnA B C D能覆盖的单位格点正方形的个数为_（用含有n的式子表示）- 8- 448ODCBA
5、yx【思路分析】此题方法比较多，例如第一空直接数格子都可以数出是48（笑）。这里笔者提供一种方法，其他方法大家可以自己去想想看。因为求的是菱形包涵的正方形个数，所以只需求出被X,Y 轴所分的四个三角形包涵的个数，再乘以4 即可。比如我们来看第二精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页学习必备欢迎下载象限那个三角形。第二象限菱形那条边过（-2n,0）(0,n),自然可以写出直线解析式为12yxn,斜率12意味着什么 ?看上图 ,注意箭头标注的那些空白三角形,这些 RT 三角形一共有 2n/2=n 个,他们的纵直角边与横直角边
6、的比是不是就是12?而且这些直角三角形都是全等的 ,面积均为两个单位格点正方形的一半.那么整个的 AOB的面积自然就是122n n,所有 n 个空白小三角形的面积之和为12 12n,相减之后自然就是所有格点正方形的面积2nn,也就是数量了.所以整个菱形的正方形格点就是244nn.【例3】2010，平谷，一模如图，45AOB，过OA上到点O的距离分别为1 3 5 7 9 11.，的点作OA的垂线与OB相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为1234SSSS，则第一个黑色梯形的面积1S；观察图中的规律，第n(n为 正 整 数 )个 黑 色 梯 形 的 面 积nSBA.1311975310S4
7、S3S2S1【思路分析】 本题方法也比较多样。所有阴影部分都是一个直角梯形，而因为45AOB，所以梯形的上下底长度分别都对应了垂足到0 点的距离 ,而高则是固定的2。第一个梯形上底是1，下底是3，所以1113242S.第二个梯形面积21572122S,第三个是319112202S,至此 ,我们发现本题中梯形面积数值上其实就是上下底的和.而且各个梯形的上底都是前一个梯形上底加上4。 于是第 n 个梯形的上底就是 1+4(n-1)=4n-3, (第一个梯形的上底1 加上 (n-1)个 4.)下底自然就是4n-1,于是nS就是8n-4. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结
8、 - - - - - - -第 3 页，共 7 页学习必备欢迎下载【例 4】2010，丰台，一模在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标都为整数的点称为整点请你观察图中正方形A1B1C1D1，A2B2C2D2，A3B3C3D3每个正方形四条边上的整点的个数按此规律推算出正方形 A10B10C10D10四条边上的整点共有个yxOD1D2D3C1C2C3B1B2B3A3A2A1123-1-2-3-3-2-1321【思路分析】此题看似麻烦，但是只要把握住“正方形”这个关键就可以了。对于nnnnA B C D来说 ,每条边的长度是2n, 那么自然整点个数就是2n+1，所以四条边上整点一共有(2n+1)x4-
9、4=8n(个 )( 要减去四个被重复算的顶点), 于是10101010A B C D就是 80 个.【例 5】2010，宣武，一模如图， ABC 中， ACB=90 ，AC=BC=1 ，取斜边的中点，向斜边做垂线，画出一个新的等腰直角三角形，如此继续下去，直到所画直角三角形的斜边与ABC 的 BC 边重叠为止，此时这个三角形的斜边长为_【思路分析】 本题依然要找出每个三角形和上一个三角形之间的规律联系。关键词 “中点”“垂线”“等腰直角”。这就意味着每个三角形的锐角都是45 度，并且直角边都是上精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页
10、，共 7 页学习必备欢迎下载一个三角形直角边的一半。绕一圈是360 度，包涵了8 个 45。于是绕到第八次就可以和BC 重叠了，此时边长为ABC 的81，故而得解。【例 6】2010，门头沟，一模如图，以等腰三角形AOB的斜边为直角边向外作第2个等腰直角三角形1ABA，再以等腰直角三角形1ABA的斜边为直角边向外作第3个等腰直角三角形11A BB， ，如此作下去，若1OAOB，则第n个等腰直角三角形的面积nS_（n 为正整数） . B2B1A1BOA【思路分析】 和上题很类似的几何图形外延拓展问题。还是一样慢慢找小三角形面积的规律。由题可得123124.222SSS，分子就是1,2,4,8,1
11、6这样的数列。于是22nnS【总结】 几何图形的归纳总结问题其实就包括了代数方面的数列问题，只不过需要考生自己找出图形与图形之间的联系而已。对于这类问题， 首先就是要仔细读题，看清楚题目所求的未知量是什么，然后找出各个未知量之间的联系，这其中就包括了寻找未知量的拓展过程中， 哪些变了，哪些没有变。最后根据这些联系列出通项去求解。在遇到具体关系很难找的问题时， 不妨先写出第一项，第二项， 第三项然后去找数式上的规律，如上面例6 就是一例，如果纠结于几何图形当中等腰三角形直角边的平方，反而会使问题复杂化，直接列出前几项的面积就可以大胆的猜测出来结果了。这类题目计算量往往不大，重在思考和分析的方法，
12、还请考生细心掌握。第二部分发散思考精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页学习必备欢迎下载【思考 1】2009，西城，二模如图，在平面直角坐标系xOy 中，1B (0,1)，2B (0,3)，3B (0,6)，4B (0,10)，以12B B为对角线作第一个正方形1112A B C B，以23B B为对角线作第二个正方形2223A B C B，以34B B为对角线作第三个正方形3334A B C B，如果所作正方形的对角线1nnB B都在y 轴上，且1nnB B的长度依次增加1个单位，顶点nA都在第一象限内（ n1，且 n
13、 为整数）那么1A的纵坐标为；用 n 的代数式表示nA的纵坐标：【思考 2】2009，朝阳，二模如图，在平面直角坐标系中，一颗棋子从点P处开始跳动，第一次跳到点P关于 x 轴的对称点1P处，接着跳到点1P关于 y 轴的对称点2P处，第三次再跳到点2P关于原点的对称点处，如此循环下去当跳动第2009 次时，棋子落点处的坐标是【思考 3】2009，昌平 ,一模对于大于或等于2 的自然数n 的平方进行如下“分裂”，分裂成n 个连续奇数的和，则自然数 72的分裂数中最大的数是，自然数 n2的分裂数中最大的数是. 【思考 4】2009，延庆，一模一个质点在第一象限及x轴、y轴上运动，在第一秒钟，它从原点
14、运动到(01)，然后1 3 1 3 5 y 3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页学习必备欢迎下载接着按图中箭头所示方向运动, 即(0 0)(01)(11)(10)，且每秒移动一个单位，那么第35 秒时质点所在位置的坐标是_ 【思考 5】2009，海淀，二模如图，将边长为),(32121nn的正方形纸片从左到右顺次摆放，其对应的正方形的中心依次为A1, A2, A3, .若摆放前6 个正方形纸片 ，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为；若摆放前n（n 为大于 1 的正整数）个正方形纸片，则图中被遮盖的线段（虚线部分）之和为. 第三部分思考题解析【思考 1 答案】 2；2(1)2n【思考 2 答案】（ 3， 2）【思考 3 答案】 13；2n-1 【思考 4 答案】（ 5，0）【思考 5 答案】 10，)(1241nnA4A2A3A1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页