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1、优秀学习资料欢迎下载2.1 由比例线段产生的函数关系问题例 1 20XX 年上海市徐汇区中考模拟第25 题在 RtABC 中， C90， AC6，53sin B， B 的半径长为1， B 交边 CB 于点 P，点 O 是边 AB 上的动点（1）如图 1，将 B 绕点 P 旋转 180得到 M，请判断 M 与直线 AB 的位置关系；（2）如图 2，在（ 1）的条件下，当OMP 是等腰三角形时，求OA 的长；（3）如图 3，点 N 是边 BC 上的动点，如果以NB 为半径的 N 和以 OA 为半径的 O外切，设 NBy，OAx，求 y 关于 x 的函数关系式及定义域图 1 图 2 图 3 动感体验
2、请打开几何画板文件名“12 徐汇 25” ，拖动点O 在 AB 上运动，观察OMP 的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以体验到，点O 和点 P 可以落在对边的垂直平分线上，点 M 不能请打开超级画板文件名“12 徐汇 25” ， 分别点击“等腰”按钮的左部和中部，观察三个角度的大小，可得两种等腰的情形点击“相切”按钮，可得y 关于 x 的函数关系思路点拨1 B 的三角比反复用到，注意对应关系，防止错乱2分三种情况探究等腰OMP，各种情况都有各自特殊的位置关系，用几何说理的方法比较简单3探求 y 关于 x 的函数关系式，作OBN 的边 OB 上的高，把 OBN 分割为两个具有公共直角边的
3、直角三角形满分解答（1）在 RtABC 中， AC 6，53sin B，所以 AB10，BC8过点 M 作 MD AB，垂足为D在 RtBMD 中， BM2，3sin5MDBBM，所以65MD因此 MDMP， M 与直线 AB 相离图 4 （2）如图4，MOMDMP，因此不存在MO MP 的情况如图 5，当 PMPO 时，又因为PBPO，因此 BOM 是直角三角形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载在 RtBOM 中， BM2，4cos5BOBBM，所以85BO此时425OA如图 6，当 OMOP
4、时，设底边MP 对应的高为OE在 RtBOE 中， BE32，4cos5BEBBO，所以158BO此时658OA图 5 图 6 （3）如图 7，过点 N 作 NFAB，垂足为F联结 ON当两圆外切时，半径和等于圆心距，所以ONxy在 RtBNF 中， BN y，3sin5B，4cos5B，所以35NFy，45BFy在 RtONF 中，4105OFABAOBFxy，由勾股定理得ON2OF2NF2于是得到22243()(10)()55xyxyy整理，得2505040 xyx定义域为0 x5图 7 图 8 考点伸展第（ 2）题也可以这样思考：如图 8，在 RtBMF 中， BM2，65MF，85BF
5、在 RtOMF 中， OF8421055xx，所以222426()()55OMx在 RtBPQ 中， BP 1，35PQ，45BQ在 RtOPQ 中， OF4461055xx，所以222463()( )55OPx当 MOMP1 时，方程22426()()155x没有实数根当 POPM1 时，解方程22463()()155x，可得425xOA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载当 OMOP 时，解方程22426()( )55x22463()( )55x，可得658xOA例 2 20XX 年连云港市中考
6、第26 题如图 1，甲、乙两人分别从A、B 两点同时出发，点O 为坐标原点甲沿AO 方向、乙沿 BO 方向均以每小时4 千米的速度行走， t 小时后，甲到达 M 点，乙到达 N 点（1）请说明甲、 乙两人到达点O 前，MN 与 AB 不可能平行；（2）当 t 为何值时， OMN OBA？（3）甲、乙两人之间的距离为MN 的长设sMN2，求 s与t之间的函数 关系式，并求 甲、乙两人之 间距离的最小值图 1 动感体验请打开几何画板文件名“12 连云港 26” ，拖动点 N 在射线 BO 上运动， 可以体验到， 当M、N 都在 O 右侧时， MN 与 AB 不平行 当点 A 落在MNB上时，MNO
7、 BAO，OMN OBA请打开超级画板文件名“12 连云港 26” ，拖动点 N 在射线 BO 上运动， 可以体验到， 当M、N 都在 O 右侧时， MN 与 AB 不平行 当点 A 落在MNB上时，MNO BAO，OMN OBAs 与 t 之间的函数关系式呈抛物线图象，当t 1 时，甲、乙两人的最小距离为12千米答案（1）当 M、N 都在 O 右侧时，24122OMttOA，642163ONttOB，所以OMONOAOB因此 MN 与 AB 不平行（2）如图2，当 M、N 都在 O 右侧时， OMN B，不可能 OMN OBA如图 3，当 M 在 O 左侧、N 在 O 右侧时， MON BO
8、A，不可能 OMN OBA如图 4，当 M、 N 都在 O 左侧时，如果OMN OBA，那么ONOAOMOB所以462426tt解得 t2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载图 2 图 3 图 4 （3）如图2，24OMt，12OHt，3(12 )MHt (64 )(1 2 )52NHONOHttt如图 3，42OMt，21OHt，3(21)MHt(64 )(21)52NHONOHttt如图 4，42OMt，21OHt，3(21)MHt(21)(46)52NHOHONttt综合、，s222MNMHN
9、H22223(21)(52 )16322816(1)12ttttt所以当 t1 时，甲、乙两人的最小距离为12 千米例 3 20XX 年上海市中考第25 题在 RtABC 中， ACB90， BC30，AB50点 P 是 AB 边上任意一点，直线PEAB，与边AC 或 BC 相交于E点 M 在线段AP 上，点N 在线段BP 上， EMEN，12sin13EMP（1）如图 1，当点 E 与点 C 重合时，求CM 的长；（2）如图 2，当点 E 在边 AC 上时，点E 不与点 A、C 重合，设APx，BNy，求 y关于 x 的函数关系式，并写出函数的定义域；（3）若 AME ENB（ AME 的顶
10、点 A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应） ，求 AP 的长图 1 图 2 备用图动感体验请打开几何画板文件名“11 上海 25” ，拖动点P 在 AB 上运动，从图象中可以看到，y是 x 的一次函数观察图形和角度的度量值，可以体验到，点E 在 AC 和 BC 上，各存在一个时刻， AME ENB请打开超级画板文件名“11 上海 25” ，拖动点 P 在 AB 上运动，当点E 与点 C 重合时，26CM点 E 在边 AC 上时， y 是 x 的一次函数当AP=42时，三角形相似，且满足顶点对应。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
11、- -第 4 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载思路点拨1本题不难找到解题思路，难在运算相当繁琐反复解直角三角形，注意对应关系2备用图暗示了第（3）题要分类讨论，点E 在 BC 上的图形画在备用图中3第（ 3）题当 E 在 BC 上时，重新设BPm 可以使得运算简便一些满分解答（1）在 RtABC 中， BC30，AB50，所以 AC 40，3sin5A，3tan4A在 RtACP 中，3sin40245CPACA在 RtCMP 中，因为12sin13CPCMPCM，所以131324261212CMCP（2）在 RtAEP 中，3tan4EPAPAx在 RtEMP 中，因为12sin13EPE
12、MPEM，所以12tan5EPEMPMP因此55351212416MPEPxx，13133131212416EMEPxx已知 EMEN， PEAB，所以 MPNP516x于是52150501616yBNABAPNPxxx定义域为 0 x32（3）如图3，当 E 在 AC 上时，由AMENMENB，得51316161321501616xxxxx解得 xAP22如图 4，当 E在 BC 上时，设BPm，那么 AP50m在 RtBEP 中，43EPm在 RtEMP 中，5545121239MPEPmm，131313412129EMEPmm所以514505099AMABBPMPmmm，54599BNBPNPmmm这时由AMENMENB，得1413509913499mmmm解得 mBP 8所以 AP50m42精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页优秀学习资料欢迎下载图 3 图 4 图 5 考点伸展如果第（3）题没有条件 “ AME 的顶点 A、M、E 分别与 ENB 的顶点 E、N、B 对应”，那么还存在图5 所示的一种情况，EAM EBN，此时 PE 垂直平分AB，AP25精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页