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1、学习必备欢迎下载一次函数与二元一次方程( 组) 教材：人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书八年级上册教学目标：1理解一次函数与二元一次方程( 组) 的关系2通过对实际问题的探讨和研究，进一步学习利用函数、方程( 组) 、不等式等知识解决问题的方法3在探究一次函数与二元一次方程(组)的关系的过程中，体会数学知识之间的内在联系，学会用函数的观点探究问题，进一步体会数形结合的数学思想4通过现实化的实际问题背景，反映祖国科技和经济的发展教学重点： 一次函数与二元一次方程 ( 组) 的关系教学难点： 用函数观点看待问题教学方式： 教师启发讲授和学生自主探索相结合教学手段： 计算机辅助教学教学过程：一
2、创设情境，提出问题( 一) 回顾在七年级下册二元一次方程组一章曾经做过的一个题目，展示学生的做法题目：根据一家商店的账目记录，某天卖出39 支牙刷和 21 盒牙膏，收入 396 元；另一天，以同样的价格卖出同样的52 支牙刷和 28 盒牙膏，收入 518元这个记录是否有误？为什么？解：设每支牙刷x元，每盒牙膏y元，则yxyx5182852,3962139化简得)2(5.129713)1(,132713yxyx因为两个方程等号左边相同，而等号右边5.129132，所以方程组无解所以记录有误教师提问：什么是方程组的解？方程组无解应该如何理解呢？名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - -
3、 - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设计意图：过去学生遇到的绝大多数二元一次方程组都有唯一的一个解，而这个方程组无解，从而引导学生思考什么样的方程组才有解，有解的方程组是否都是唯一解，什么样的方程组又无解呢？由此使学生在认知上形成冲突，从而产生学习新知的需求( 二) 活动：请同学任意写出一个二元一次方程组，并解这个方程组，然后考考自己的同桌，看他能否迅速判断它是否有解接着教师请几位同学说出自己写的方程组，并迅速判断其解的情况设计意图：激
4、起学生的好奇心并进行个人尝试，从而产生探索新知的强烈愿望二循序渐进，学习新知( 一) 通过图片、视频介绍京津城际高速铁路设计意图：既创设了接下来将贯穿整节课的问题情景，也让学生感受到祖国经济和科技的发展 ( 二) 探索一次函数与二元一次方程的关系题目一：在从北京到天津全长120 千米的高速铁路上， 现有一列平均速度为300千米/ 时的测试列车从北京开出x分钟后，距离天津y千米请问：(1) 列车开出 5 分钟，距离天津的路程是多少？(2) 列车开出 10 分钟，距离天津的路程是多少？(3) 列车开出 20 分钟，距离天津的路程是多少？(4) 列车开出多少分钟，抵达天津？(5) 请写出一个含有x和
5、y的等式，并解释其含义名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设计意图：通过动画演示，让学生初步了解x和y为两个变量；通过将第 (1)至第(4)问的答案填入表格，直观反映了对于在一定范围内的每个x值，y都有唯一确定的值与其对应，从而说明y是x的函数；再由第 (5)问得出二元一次方程1205yx和一次函数1205xy表示了同一个等量关系，同时1205yx可以变形化为1205xy，也就是说二
6、元一次方程1205yx对应着一次函数1205xy，这个思考过程也是知识转化的过程 . 请学生画出这个实际问题中的一次函数1205xy(240 x)的图象，并在图象上标出表示10 x时，70y的点 P教师提问：请以点 P(10,70) 为例思考，说明一次函数1205xy(240 x) 图象上点的坐标与二元一次方程1205yx的解有什么关系？设计意图：通过研究图象上的一个具体的点P (10,70)，引导学生讨论得出一次函数1205xy(240 x) 图象上点的坐标是二元一次方程1205yx的解， 反之也说明以二元一次方程1205yx的解70,10yx为坐标的点在所画图象上教师提问：如果不考虑本题实
7、际的背景，那么一次函数1205xy自变量的取值范围应是一切实数，图象是一条直线，那么直线1205xy上任意一点 Q 的坐标与二元一次方程1205yx的解有什么关系？xy12050O2470101205xy( 千米 ) ( 分钟 ) P名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载设计意图：引导学生总结出二元一次方程1205yx对应着一次函数1205xy，也对应着直线1205xy教师提问：刚才我
8、们研究了一个特殊的二元一次方程与一次函数及其图象的关系，那么是否任意一个二元一次方程cbyax( a、b、c 为常数，且0ab)都与一次函数有上述对应关系？设计意图：引导学生总结出一次函数与二元一次方程的关系：(1)任意二元一次方程cbyax(a、b、c 为常数，且0ab)都可以化为ybcxba，所以任意一个二元一次方程都对应一个一次函数，也对应着一条直线(2)以二元一次方程的解为坐标的点都在一条直线上，这条直线上点的坐标都满足这个二元一次方程( 三) 探索一次函数与二元一次方程组的关系题目二：在京津高速城际列车的某次会车试验中，有一列平均速度为300千米/ 时的 A次测试列车从北京开往天津，
9、 4 分钟后，一列时速相同的B次列车从天津出发开往北京，设A次列车出发后运行的时间为x( 单位: 分钟) ，则：(1)A 次列车距天津的路程y( 单位: 千米) 关于 x 的函数表达式为 _(自变量 x 的取值范围是_)；(2)B 次列车距天津的路程y( 单位: 千米) 关于 x 的函数表达式为 _(自变量 x 的取值范围是_)(1) 请在同一个坐标系中画出两个函数的图象(2) 如果两图象交点的坐标为),(nm，请思考交点坐标的含义是什么？设计意图：通过对特殊图象交点坐标含义的讨论，引导学生从“数”和“形”两方面重新认识二元一次方程组的解1205xy( 分钟 ) ( 千米 ) 205xyxy1
10、2024 284m n O 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载教师提问：如果不考虑实际背景， 将一次函数1205xy和205xy的自变量取值范围扩展到一切实数，图象延伸为直线，刚才总结的交点坐标的含义还成立吗？设计意图：引导学生总结一次函数与二元一次方程组的关系：(1)构成方程组的两个二元一次方程，对应两个一次函数，也对应两条直线(2)从“形”的角度看，二元一次方程组的解相当于两条
11、直线交点的坐标；从“数”的角度看，二元一次方程组的解可以理解为当两个一次函数的函数值相等时自变量的取值，以及这个相等的函数值三剖析例题，巩固新知例题：按计划，京津城际铁路上将同时开行平均速度为300千米/ 时的高速城际列车和途经天津的 180千米/ 时的普通动车两种列车， 同时铁路部门规定， 高速铁路上同线同向行驶的两列车之间的安全距离不小于15 千米在某次试运行中，有一列普通动车从北京开出17分钟后，另一列高速城际列车才从北京发车，为了保证两车间的安全距离，高速城际列车的司机至多在发车多少分钟后应制动减速( 不考虑车长，以及列车速度变化的过程) 预案一：用一元一次方程求解；预案二：用一元一次
12、不等式求解；预案三：用函数观点，即通过求图象交点坐标的方法求解教师应注意学生解答的完备性，同时鼓励学生在运用熟悉的方程、不等式解法的基础上尝试从函数的角度用新方法解决设计意图： 本题依然延续了京津城际铁路的大背景，既帮助学生巩固对一次方程(组)、不等式和一次函数的关系的理解，又培养学生从多角度解决问题的能力这个环节由学生自主探索、合作交流的形式完成，使学生获得一些分析和解决问题的方法和经验，发展其思维能力1205xy205xyxymnOn m 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - -
13、 - - - - - 第 5 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载四解决问题，加深认识1引导学生重新思考刚开始上课时提出的问题如何迅速判断方程组解的情况设计意图：通过判断方程组解的情况，更加深了学生对一次函数与二元一次方程组的关系的理解，同时体会数形结合思想的应用 2 课下探索： (1) 探索是否存在一个二元一次方程组有且只有两个解，如果存在，请你构造一个这样的方程组；如果不存在，请说明为什么？(2) 探索关于 x、y的二元一次方程组00222111CyBxACyBxA( A1、A2、B1、B2均不为 0) 的解有几种情况，分别应满足什么条件，为什么？设计意图：
14、引导学生在课下继续思考二元一次方程组解的情况与同一平面内两条直线不同位置之间的对应关系，从而进一步理解方程组解的图形解释，体会数形结合的思想五归纳小结，布置作业1让学生充分讨论，积极发言，引导学生小结设计意图：通过小结，引导学生梳理所学内容及方法，用框图的形式加深对一次函数和一次方程关系的理解，体会数形结合的数学思想 2 课后作业必做作业：教科书习题 14.3 第 5、9 题选做作业：1教科书习题 14.3 第 11题2探索是否存在一个二元一次方程组有且只有两个解，如果存在，请你构造一个这样的方程组；如果不存在，请说明为什么二元一次方程)0(abcbyax二元一次方程的解( 无数个 ) 一次函
15、数)0(kbkxy直线)0(kbkxy直线上的点( 无数个 ) 坐 标名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载3探索关于 x、y的二元一次方程组00222111CyBxACyBxA( A1、A2、B1、B2均不为 0) 的解有几种情况，分别应满足什么条件，为什么？设计意图：作业设计体现了分层教学的思想必做作业较为基础，为使所有同学能熟练运用函数观点解决问题；选做作业有较强的开放性，为学有
16、余力的同学提供进一步思考的平台一次函数与二元一次方程( 组) 教案说明一授课内容的数学本质及教学目标的定位义务教育数学课程标准中提出：“应注重体现数学课程的基础性、普及性和发展性，使数学教育面向全体学生，提高他们的推理能力、抽象能力、想象力和创造力。在教学中，应注重让学生在实际背景中理解基本的数量关系和变化规律，应加强方程、不等式、函数等内容的联系，介绍有关代数内容的几何背景。”这部分内容建立在学生对一元一次方程、二元一次方程组和一元一次不等式等以一次( 线性)运算为基础的数学模型的已有认识上，从变化和对应的角度，对一次运算进行更深入的讨论。从函数的角度对一次方程( 组) 、不等式重新进行了分
17、析，这种再认识不是原来水平上的回顾复习，而是站在更高起点上的动态分析，是用一次函数将上述三个不同的数学对象统一起来认识，发挥函数对相关内容的统领作用。通过学习这部分内容，不仅可以名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载加深对方程 (组)、不等式等数学对象的理解，而且可以加大对相关内容间的内在联系的认识，加强知识间横向与纵向的融会贯通，提高灵活分析和解决问题的能力。本节课是在前两节课已经学
18、完了一次函数、一元一次方程与一元一次不等式的联系之后，对一次函数与二元一次方程 ( 组) 关系的探索，是对一次函数及其相关内容更深入更全面的学习，也是对这部分内容的一个提升和总结。基于以上对教学内容的理解，结合我所教学生的特点和他们已有的知识水平，我确定了本课的三维教学目标。二学习本内容的基础以及今后的用途在学习本课之前，学生已经系统学习了一元一次方程、二元一次方程组、一元一次不等式、一次函数等内容，因为本节课是这部分内容的第三课时，前两节课，已经研究了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式的关系，用函数的观点对一次方程和不等式重新进行了认识，从“数”和“形”两个角度加深了对一元一次方程的解和
19、一元一次不等式的解集的理解。在此基础上，本节课继续探索一次函数与二元一次方程(组)的关系。通过本课的学习，可以帮助学生理解一次函数与二元一次方程( 组) 的关系，进一步掌握利用函数、方程 (组)解决问题的方法，渗透转化意识。学完本节课后，学生能够较为初步地从运动变化的角度，用函数的观点加深对已经学习过的方程( 组) 、不等式等内容的认识，发展并完善其相互联系的知识体系。同时在本课的学习过程中，也涉及了对二元一次方程组解的情况与同一平面内两条直线不同位置之间的对应关系的讨论，进一步渗透数形结合的数学思想，为高中解析几何的学习做一些铺垫。三教学诊断分析因为学生对一元一次方程、二元一次方程组和一元一
20、次不等式等数学知识非常熟悉，也可以比较灵活地利用它们解决问题，所以部分学生会对函数解法产生抵触心理，觉得是舍近求远，认为没有必要。再加上对刚刚学过的一次函数理解得还不够透彻，因而缺乏学习这部分内容的热情，或者只是机械地记忆结论，而没有真正理解函数与方程(组)、不等式的关系，所以这就需要教师在教学设计上下功夫，要让学生认识到这部分内容并非是在重复已会的知识，而是站在更高的角度去重新认识它们，是为了建立数学知识间的内在联系，从而真正产生学习的需求。四本节课的教法特点以及教学效果分析本节课从情境引入，到对函数和方程( 组)关系的探求，直至运用函数观点解决问题，都立足于学生已有知识的基础上，进一步发展
21、提高，努力激发学生学习的热情，引导学生名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 9 页 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载通过观察、比较、讨论、总结，最终形成新的认知结构，在这个过程中学生逐渐理清旧知和新知之间的联系和区别。在学生逐渐掌握新知后，教师又为其设置新的思考问题，继续推动学生的探索过程。在整节课的学习中，始终安排由特殊到一般的探索活动，鼓励学生在已有学习经验的基础上，仔细观察，大胆猜想，敢于创新与应用，从多角度进行归纳总
22、结。在引入部分，教师力求能吸引住学生，通过一个问题，使学生形成认知冲突，从而产生学习新知的需求；通过一个活动，激起了学生的好奇心，从而产生学习新知的强烈愿望。在学习新知部分，教师又为学生创设了一个贯穿整节课的问题情境，使学生始终在现实化的环境中进行学习，最重要的是本课在探索一次函数与二元一次方程(组)的关系时，没有仅仅停留在形式上的转化，而是通过设置一个个问题，引导学生直观感受变量，感受函数关系，从而自然实现了从方程( 组) 到函数的转化，突出了函数思想。在剖析例题部分，教师鼓励学生自主探究、合作交流，并引导其从不同的角度解决问题，使学生获得了一些研究问题的方法和经验，发展了思维能力。最后，教
23、师又设计了“解决问题，加深认识”的环节，既解决了引入部分提出的问题，又引导学生继续思考二元一次方程组解的情况与同一平面内两条直线不同位置之间的对应关系，从而进一步加深了对方程组解的图形解释的理解，切身感受到了数形结合思想的应用，为将来高中解析几何的学习做了一些铺垫。本节课通过设置问题链和探究活动，激发学生的求知欲， 使学生在老师的启发引导下，通过自主探究、合作交流、观察发现、归纳总结学习新知。在整节课的教学中，教师始终扮演学生学习的组织者、指导者和欣赏者的角色，鼓励学生积极参与数学活动，敢于探究、猜想，在学习过程中勇于表达自己的观点。本节课基本完成了课前设计的教学目标，达到了如下教学效果：1. 知识上理解了一次函数与二元一次方程( 组)的关系，体会了数学知识之间的内在联系；2. 能力上逐步形成转化的意识，加深了对数形结合思想的理解，提高分析问题、解决问题的能力；3. 情感态度上通过研究问题的不断深入，难度的不断加大，能够敢于面对数学活动中的困难，并有独立克服困难和运用知识解决问题的信心和能力，同时也感受到了祖国经济和科技的发展。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 9 页 - - - - - - - - -