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1、学习必备欢迎下载与三角函数有关的几何题例 1、如图 3，直线AB经过 O 上的点C，并且OAOB，CACB， O 交直线OB于ED，连接ECCD，（1）求证：直线AB是 O 的切线；（2）试猜想BCBDBE，三者之间的等量关系，并加以证明；（3）若1tan2CED， O 的半径为3，求OA的长析解： （1）证明：如图6，连接OCOAOB，CACB，OCABAB是 O 的切线（2）BC2=BD BEED是直径，90ECD90EEDC又90BCDOCD，OCDODC，BCDE又CBDEBC，BCDBECBCBDBEBC BC2=BD BE. （3）1tan2CED，12CDECBCDBEC，12B
2、DCDBCEC设BDx，则2BCx又 BC2=BD BE，（ 2x）2=x(x+6) 解之，得10 x，22x0BDx，2BD325OAOBBDOD精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载2、已知：如图，AB是 O 的直径，10AB, DC切 O 于点CADDC，垂足为D，AD交 O 于点E（1）求证：BCEC; （2）若4cos5BEC, 求DC的长3、如图， 以线段 AB 为直径的 O 交线段 AC 于点 E，点 M 是的中点， OM 交 AC于点 D， BOE=60 ，cosC=，BC=2（1）求 A
3、 的度数；（2）求证： BC 是 O 的切线；（3）求 MD 的长度分析： （1）根据三角函数的知识即可得出A 的度数（2）要证 BC 是 O 的切线，只要证明AB BC 即可（3）根据切线的性质，运用三角函数的知识求出MD 的长度解答： （1）解： BOE=60 ， A=BOE=30 （2）证明：在 ABC 中， cosC=， C=60 又 A=30 ， ABC=90 ， AB BC BC 是 O 的切线（3）解：点M 是的中点， OM AE在 RtABC 中， BC=2， AB=BC ?tan60 =2=6OA=3， OD=OA=， MD=点评： 本题综合考查了三角函数的知识、切线的判定要
4、证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可4、如图，已知RtABC 和 RtEBC ， B=90 以边 AC 上的点 O 为圆心、 OA 为半径的 O 与 EC 相切， D 为切点， AD BC（1）用尺规确定并标出圆心O； （不写作法和证明，保留作图痕迹）（2）求证： E=ACB ；（3）若 AD=1 ，求 BC 的长D C B O A E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载分析： （1）若 O 与 EC 相切，且切点为D，可过 D 作 EC 的垂线，此垂线与AC
5、 的交点即为所求的O 点（2） 由 （1） 知 ODEC， 则 ODA 、 E 同为 ADE 的余角，因此 E=ODA= OAD ，而 AD BC，可得 OAD= ACB ，等量代换后即可证得E=ACB （3）由（ 2）证得 E=ACB ，即 tanE=tanDAC=，那么 BC=AB；由于AD BC，易证得 EAD EBC，可用 AB 表示出 AE、BC 的长，根据相似三角形所得比例线段即可求出AB 的长，进而可得到BC 的值解答： （1）解： （提示： O 即为 AD 中垂线与 AC 的交点或过D 点作 EC 的垂线与AC的交点等）（2）证明：连接OD AD BC， B=90 ， EAD=
6、90 E+EDA=90 ，即 E=90 EDA 又圆 O 与 EC 相切于 D 点， ODEC EDA+ ODA=90 ，即 ODA=90 EDA E=ODA ；又 OD=OA ， DAC= ODA ， DAC= E ）AD BC， DAC= ACB ， E= ACB （3）解： RtDEA 中， tanE=，又tanE=tanDAC=，AD=1 ， EA= RtABC 中， tanACB=，又 DAC= ACB ， tanACB=tan DAC =，可设AB=， BC=2x ，AD BC， RtEAD RtEBC=，即x=1，BC=2x=2 精选学习资料 - - - - - - - - -
7、名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载点评： 此题主要考查了切线的性质、直角三角形的性质、相似三角形的判断和性质等重要知识，能够准确的判断出O 点的位置，是解答此题的关键5、如图，在 ABC 中， AB=AC ，以 AB 为直径的半圆O 交 BC 于点 D，DE AC，垂足为 E（1）求证：点D 是 BC 的中点；（2）判断 DE 与 O 的位置关系，并证明你的结论；（3）如果 O 的直径为 9，cosB=，求 DE 的长分析： （1）连接 AD ，根据等腰三角形的性质易证；（2）相切连接OD，证明 ODDE 即可根据三角形中位线定理证明；（3）由已知可
8、求BD ，即 CD 的长；又 B=C，在 CDE 中求 DE 的长解答： （1）证明：连接AD AB 为直径， AD BC AB=AC ，D 是 BC 的中点；（2）DE 是 O 的切线证明：连接OD BD=DC ，OB=OA ，ODAC AC DE， ODDEDE 是 O 的切线（3）解： AB=9 ，cosB=，BD=3 CD=3 AB=AC ， B=C，cosC=在 CDE 中， CE=1，DE=点评： 此题考查了切线的判定、解直角三角形等知识点，属基础题，难度不大6、如图以 ABC 的一边 AB 为直径作 O， O 与 BC 边的交点D 恰好为 BC 的中点，过点D 作 O 的切线交
9、AC 边于点 E（1）求证： DEAC ；（2）若 ABC=30 ，求 tanBCO 的值分析： （1）连接 OD，根据三角形的中位线定理可求出ODAC ，根据切线的性质可证明 DEOD，进而得证（2）过 O 作 OF BD，根据等腰三角形的性质及三角函数的定义用OB 表示出 OF、CF 的长，根据三角函数的定义求解解答： （1）证明：连接OD O 为 AB 中点， D 为 BC 中点，ODAC DE 为 O 的切线， DE OD DEAC 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载（2）解：过O 作 OFB
10、D，则 BF=FD 在 RtBFO 中， B=30 ，OF=OB，BF=OB BD=DC ， BF=FD ，FC=3BF=OB在 RtOFC 中，tanBCO=点评： 本题比较复杂，综合考查了三角形中位线定理及切线的性质、三角函数的定义等知识点，有一定的综合性7、如图，在等腰梯形ABCD 中， AD BC O 是 CD 边的中点，以O 为圆心， OC长为半径作圆，交BC 边于点 E过 E 作 EH AB，垂足为H已知 O 与 AB 边相切，切点为F（1）求证： OEAB ；（2）求证： EH=AB；（3）若，求的值分析： （1）判断出 B=OEC，根据同位角相等得出OEAB；（2）连接 OF，
11、求出 EH=OF=DC=AB （3）求出 EHB DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答解答： （1）证明：在等腰梯形ABCD 中， AB=DC ， B= C， OE=OC ， OEC=C， B=OEC， OEAB （2）证明：连接OF O 与 AB 切于点 F， OF AB， EHAB ，OFEH，又 OEAB，四边形OEHF 为平行四边形，EH=OF，OF=CD=AB ， EH=AB（3）解：连接 DECD 是直径， DEC=90 ，则DEC=EHB ，又 B=C， EHB DEC，=，=，设 BH=k ，则 BE=4k，EH=k，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师
12、归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载CD=2EH=2k，=点评： 本题考查了圆的切线性质，运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形、矩形解决有关问题8、如图，等腰三角形ABC 中， AC=BC=10 ，AB=12 以 BC 为直径作 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 G，DFAC，垂足为 F，交 CB 的延长线于点E（1）求证：直线EF 是 O 的切线；（2）求 sinE 的值分析： （1）求证直线EF 是 O 的切线，只要连接OD 证明 ODEF 即可；（2）根据 E=CBG，可以把求sinE 的值得问题
13、转化为求sinCBG，进而转化为求 RtBCG 中，两边的比的问题解答： （1）证明：方法1：连接 OD、CDBC 是直径， CD AB AC=BC D 是 AB 的中点 O 为 CB 的中点，ODAC DF AC， ODEF EF 是 O 的切线方法 2：因为 AC=BC ，所以 A= ABC ，因为 ADF= EDB （对顶角），OB=OD ，所以 DBO= BDO，所以 A+ADF= EDB+ BDO=90 EF 是 O 的切线（2）解：连BG BC 是直径， BGC=90 CD=8 AB?CD=2SABC=AC ?BG，BG= CG=BGAC ，DFAC ， BGEF E=CBG，si
14、nE=sinCBG=点评： 考查切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点，再证垂直即可9、如图 9，直线 y=kx-1 与 x 轴、 y 轴分别交与B、C两点， tan OCB=21. （1）求 B点的坐标和k 的值；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载（2）若点 A （x， y） 是第一象限内的直线y=kx-1 上的一个动点 . 当点 A运动过程中，试写出 AOB的面积 S与 x 的函数关系式；（3）探索：当点 A运动到什么位置时， AOB 的面积是41；在成立的情况下，x
15、轴上是否存在一点P，使 POA是等腰三角形. 若存在，请写出满足条件的所有P点的坐标；若不存在，请说明理由. 图 9 【答案】解：（ 1） y= kx-1与 y 轴相交于点C，OC=1 tan OCB=OCOB21OB=21B点坐标为：021，把 B点坐标为：021，代入 y= kx-1得 k=2 （2）S = y21OBy=kx-1 S =1-x22121S =4121x（3）当S =41时，4121x=41x=1，y=2x-1=1 A点坐标为（ 1，1）时， AOB的面积为41存在 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载满足条件的所有P点坐标为：P1(1,0), P2(2,0), P3(2,0), P4(2,0). 12 分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页