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1、几何部分第一章：线段、角、相交线、平行线知识点：一、直线：直线是几何中不加定义的基本概念，直线的两大特征是“直”和“向两方无限延伸”。二、直线的性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线，直线的这条性质是以公理的形式给出的，可简述为：过两点有且只有一条直线，两直线相交，只有一个交点。三、射线：1、射线的定义：直线上一点和它们的一旁的部分叫做射线。 2射线的特征： “向一方无限延伸，它有一个端点。”四、线段： 1、线段的定义：直线上两点和它之间的部分叫做线段，这两点叫做线段的端点。 2、线段的性质（公理） ：所有连接两点的线中，线段最短。五、线段的中点： 1、定义如图1 一 1 中，点 B把线段
2、 AC分成两条相等的线段，点B叫做线段图11 AC 的中点。 2、表示法：AB BC 点 B 为 AC 的中点或 AB21MAC 点 B 为 AC的中点，或 AC 2AB ，点 B为 AC的中点反之也成立点 B 为 AC的中点， ABBC 或点 B为 AC的中点，AB= 21AC 或点 B为 AC的中点，AC=2BC 六、角 1、角的两种定义：一种是有公共端点的两条射线所组成的图形叫做角。要弄清定义中的两个重点角是由两条射线组成的图形；这两条射线必须有一个公共端点。另一种是一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。可以看出在起始位置的射线与终止位置的射线就形成了一个角。 2角的平
3、分线定义：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。表示法有三种：如图12 （1）AOC BOC （2） AOB 2AOC 2 COB （3） AOC COB=21AOB 七、角的度量：度量角的大小，可用“度”作为度量单位。把一个圆周分成360 等份，每一份叫做一度的角。1 度=60 分；1 分=60 秒。八、角的分类：（1）锐角：小于直角的角叫做锐角（2）直角：平角的一半叫做直角（3）钝角：大于直角而小于平角的角（4）平角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终止位置和起始位置成一直线时，所成的角叫做平角。（5）周角：把一条射线，绕着它的端点顺着一个方向旋转，当终
4、边和始边重合时，所成的角叫做周角。（6）周角、平角、直角的关系是： l周角=2 平角 =4 直角 =360九、相关的角： 1、对顶角：一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角。 2、互为补角：如果两个角的和是一个平角，这两个角做互为补角。 3、互为余角：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角。 4 、邻补角：有公共顶点，一条公共边，另两条边互为反向延长线的两个角做互为邻补角。注意：互余、互补是指两个角的数量关系，与两个角的位置无关，而互为邻补角则要求两个角有特殊的位置关系。十、角的性质 1、对顶角相等。 2、同角或等角的余角相等。 3、同角或等角的补角相等。十一
5、、相交线 1、斜线：两条直线相交不成直角时，其中一条直线叫做另一条直线的斜线。它们的交点叫做斜足。 2、两条直线互相垂直：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。 3、垂线：当两条直线互相垂直时，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页 4、垂线的性质（l ）过一点有且只有一条直线与己知直线垂直。（2）直线外一点与直线上各点连结的所有线段中，垂线段最短。简单说：垂线段最短。十二、距离 1、两点的距离：连结两点的线段的长度叫做两点的距离
6、。 2、从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离。 3、两条平行线的距离：两条直线平行，从一条直线上的任意一点向另一条直线引垂线，垂线段的长度，叫做两条平行线的距离。说明：点到直线的距离和平行线的距离实际上是两个特殊点之间的距离，它们与点到直线的垂线段是分不开的。十三、平行线 1、定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。 2、平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 3、平行公理的推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。说明：也可以说两条射线或两条线段平行，这实际上是指它们所在的直线平行。 4、平行线的判定：（1）同位角相等，两直
7、线平行。（2）内错角相等，两直线平行。（3）同旁内角互补，两直线平行。 5、平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等。（2）两直线平行，内错角相等。（3）两直线平行，同旁内角互补。说明：要证明两条直线平行，用判定公理（或定理）在已知条件中有两条直线平行时，则应用性质定理。 6、如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，那么这两个角相等或互补。注意：当角的两边平行且方向相同（或相反）时，这两个角相等。当角的两边平行且一边方向相同另一方向相反时，这两个角互补。第二章：三角形知识点：一、关于三角形的一些概念由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。组成三角形的线段叫三角形的边；
8、相邻两边的公共端点叫三角形的顶点；相邻两边所组成的角叫三角形的内角，简称三角形的角。 1、三角形的角平分线。三角形的角平分线是一条线段（顶点与内角平分线和对边交线间的距离） 2、三角形的中线三角形的中线也是一条线段（顶点到对边中点间的距离） 3三角形的高三角形的高线也是一条线段（顶点到对边的距离）注意：三角形的中线和角平分线都在三角形内。如图 2 l ， AD、 BE、 CF 都是么 ABC的角平分线，它们都在ABC 内如图 22，AD 、BE、CF都是 ABC的中线，它们都在ABC内而图 23，说明高线不一定在ABC内，图 23（ 1）图 23（ 2）图 23 一（ 3）图 23（ 1） ，
9、中三条高线都在 ABC 内，图 23（ 2） ，中高线 CD在 ABC内，而高线 AC与 BC是三角形的边；图 23 一（3） ，中高线 BE在 ABC内，而高线AD 、CF在 ABC外。三、三角形三条边的关系三角形三边都不相等，叫不等边三角形；有两条边相等的叫等腰三角形；三边都相等的则叫等边三角形。等腰三角形中，相等的两条边叫腰，另一边叫底边，腰和底边的夹角叫底角，两腰的夹角叫项角。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页三角形接边相等关系来分类：三角形等边三角形三角形底边和腰不相等的等腰等腰三角形不等边三角形三角形用
10、集合表示，见图24 推论三角形两边的差小于第三边。不符合定理的三条线段，不能组成三角形的三边。例如三条线段长分别为5，6，1 人因为 5612，所以这三条线段，不能作为三角形的三边。三、三角形的内角和定理三角形三个内角的和等于180由定理可知，三角形的二个角已知，那么第三角可以由定理求得。如已知 ABC的两个角为 A 90， B40，则 C18090 4050由定理可以知道，三角形的三个内角中，只可能有一个内角是直角或钝角。推论 1：直角三角形的两个锐角互余。三角形按角分类：钝角三角形锐角三角形斜三角形直角三角形三角形用集合表示，见图三角形一边与另一边的延长线组成的角，叫三角形的外角。推论 2
11、：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。推论 3：三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。例如图 26 中1 3； 1=3 4； 5 3 8； 5 3 7 8；28； 2 7 8； 4 9； 4 9 10等等。四、全等三角形能够完全重合的两个图形叫全等形。两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫对应顶点，互相重合的边叫对应边，互相重合的角叫对应角。全等用符号“”表示ABC A BC 表示 A 和 A ， B 和 B， C 和 C是对应点。全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。如图 27， ABC A BC ，则有 A、B、C的对应点 A、B、C；AB 、BC 、CA 的对
12、应边是 AB 、BC、CA。A，B， C的对应角是 A、 B、 C。AB AB ，BC BC，CA CA； A A， B B， C C 五、全等三角形的判定 1、边角边公理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边角边”或“SAS ”）注意：一定要是两边夹角，而不能是边边角。 2、角边角公理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角“或“ASA ”） 3、推论有两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边域“AAS ”） 4、边边边公理有三边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“边边边”或“SSS ”）由边边边公理可知，三角形的重要性
13、质：三角形的稳定性。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页除了上面的判定定理外，“边边角”或“角角角”都不能保证两个三角形全等。 5、直角三角形全等的判定：斜边、直角边公理有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可以简写成“斜边，直角边”或“ HL”）六、角的平分线定理 1、在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。定理 2、一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。由定理 1、2可知：角的平分线是到角的两边距离相等的所有点的集合。可以证明三角形内存在一个点，它到三角形的三边的距离相等这个点就是三角形的
14、三条角平分线的交点（交于一点）在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互为逆命题，如果把其中的一个做原命题，那么另一个叫它的逆命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫互逆定理，其中一个叫另一个的逆定理。例如：“两直线平行，同位角相等”和“同位角相等，两直线平行”是互逆定理。一个定理不一定有逆定理，例如定理：“对顶角相等”就没逆定理，因为“相等的角是对顶角”这是一个假命颗。七、基本作图限定用直尺和圆规来画图，称为尺规作网最基本、最常用的尺规作图通常称为基本作图，例如做一条线段等于己知线段。
15、1、作一个角等于已知角：作法是使三角形全等（SSS ），从而得到对应角相等；2、平分已知角：作法仍是使三角形全等（SSS ）从而得到对应角相等。3、经过一点作已知直线的垂线：（1）若点在已知直线上，可看作是平分已知角平角；（2）若点在已知直线外，可用类似平分已知角的方法去做：已知点 C为圆心，适当长为半径作弧交已知真线于A、B两点，再以 A、B为圆心，用相同的长为半径分别作弧交于D 点，连结 CD 即为所求垂线。4、作线段的垂直平分线：线段的垂直平分线也叫中垂线。做法的实质仍是全等三角形（SSS ）。也可以用这个方法作线段的中点。八、作图题举例重要解决求作三角形的问题 1、已知两边一夹角，求作
16、三角形 2 、已知底边上的高，求作等腰三角形九、等腰三角形的性质定理等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）推论 1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，就是说：等腰三角形的顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。推论 2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60例如：等腰三角形底边中线上的任一点到两腰的距离相等，因为等腰三角形底边中线就是顶角的角平分线、而角平分线上的点到角的两边距离相等n 十、等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相，那这两个角所对的两条边也相等。（简写成“等角对等动”）。推论 1：三个角都相等的三角形是等边三角形
17、推论 2：有一个角等于 60的等腰三角形是等边三角形推论 3：在直角三角形中，如果一个锐角等于3O，那么它所对的直角边等于斜边的一半。十一、线段的垂直平分线定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。就是说：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等的所有点的集合。十二、轴对称和轴对称图形把一个图形沿着某一条直线折叠二如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线轴对称，两个图形中的对应点叫关于这条直线的对称点，这条直线叫对称轴。两个图形关于直线对称也叫轴对称。定理 1：关于某条直线对称的两个图形是全等
18、形。定理 2：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线。定理 3：两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长相交。那么交点在对称轴上。逆定理：如果两个图形的对应点连线被一条直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称。如果一个图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线就是对称轴。例如：等腰三角形顶角的分角线就具有上面所述的特点，所以等腰三角形顶角的分角线是等腰三角形的一条对称轴，而等腰三角形是轴对称图形。十三、勾股定理勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方：cba22勾股定理的逆定理：如果三角形的三
19、边长a、b、c有下面关系：222cba那么这个三角形是直角三角形第三章：四边形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页知识点：一、多边形 1、多边形：由一些线段首尾顺次连结组成的图形，叫做多边形。 2、多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边。 3、多边形的顶点：多边形每相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点。 4、多边形的对角线：连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线。 5、多边形的周长：多边形各边的长度和叫做多边形的周长。 6、凸多边形：把多边形的任何一条边向两方延长，如果多边形的其他各边都在延长线所得
20、直线的问旁，这样的多边形叫凸多边形。说明：一个多边形至少要有三条边，有三条边的叫做三角形；有四条边的叫做四边形；有几条边的叫做几边形。今后所说的多边形，如果不特别声明，都是指凸多边形。 7、多边形的角：多边形相邻两边所组成的角叫做多边形的内角，简称多边形的角。 8、多边形的外角：多边形的角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做多边形的外角。注意：多边形的外角也就是与它有公共顶点的内角的邻补角。 9、n 边形的对角线共有)3(21nn条。说明：利用上述公式，可以由一个多边形的边数计算出它的对角线的条数，也可以由一个多边形的对角线的条数求出它的边数。 10、多边形内角和定理：n 边形内角和等于（
21、n2）180。 11、多边形内角和定理的推论：n 边形的外角和等于360。说明：多边形的外角和是一个常数（与边数无关） ，利用它解决有关计算题比利用多边形内角和公式及对角线求法公式简单。无论用哪个公式解决有关计算，都要与解方程联系起来，掌握计算方法。二、平行四边形 1、平行四边形：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 2、平行四边形性质定理1：平行四边形的对角相等。 3、平行四边形性质定理2：平行四边形的对边相等。 4、平行四边形性质定理2 推论：夹在平行线间的平行线段相等。 5、平行四边形性质定理3：平行四边形的对角线互相平分。 6、平行四边形判定定理1：一组对边平行且相等的四边形是平行
22、四边形。 7、平行四边形判定定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 8、平行四边形判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形。 9、平行四边形判定定理4：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。说明： （1）平行四边形的定义、性质和判定是研究特殊平行四边形的基础。同时又是证明线段相等，角相等或两条直线互相平行的重要方法。（2）平行四边形的定义即是平行四边形的一个性质，又是平行四边形的一个判定方法。三、矩形矩形是特殊的平行四边形，从运动变化的观点来看，当平行四边形的一个内角变为90时，其它的边、角位置也都随之变化。因此矩形的性质是在平行四边形的基础上扩充的。 1、矩形：有一个角是直角的
23、平行四边形叫做短形（通常也叫做长方形） 2、矩形性质定理1：矩形的四个角都是直角。 3矩形性质定理2：矩形的对角线相等。 4、矩形判定定理1：有三个角是直角的四边形是矩形。说明：因为四边形的内角和等于360 度，已知有三个角都是直角，那么第四个角必定是直角。 5、矩形判定定理2：对角线相等的平行四边形是矩形。说明：要判定四边形是矩形的方法是：法一：先证明出是平行四边形，再证出有一个直角（这是用定义证明）法二：先证明出是平行四边形，再证出对角线相等（这是判定定理1）法三：只需证出三个角都是直角。（这是判定定理2）四、菱形菱形也是特殊的平行四边形，当平行四边形的两个邻边发生变化时，即当两个邻边相等
24、时，平行四边形变成了菱形。 1、菱形：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 2、菱形的性质1：菱形的四条边相等。 3、菱形的性质2：菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。 4、菱形判定定理1：四边都相等的四边形是菱形。 5、菱形判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形。说明：要判定四边形是菱形的方法是：法一：先证出四边形是平行四边形，再证出有一组邻边相等。（这就是定义证明） 。法二：先证出四边形是平行四边形，再证出对角线互相垂直。（这是判定定理2）法三：只需证出四边都相等。（这是判定定理1）（五）正方形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
25、 - - - -第 5 页，共 10 页正方形是特殊的平行四边形，当邻边和内角同时运动时，又能使平行四边形的一个内角为直角且邻边相等，这样就形成了正方形。 1、正方形：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 2、正方形性质定理1：正方形的四个角都是直角，四条边都相等。 3、正方形性质定理2：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。 4、正方形判定定理互：两条对角线互相垂直的矩形是正方形。 5、正方形判定定理2：两条对角线相等的菱形是正方形。注意：要判定四边形是正方形的方法有方法一：第一步证出有一组邻边相等；第二步证出有一个角是直角；第三步证出是平行四
26、边形。（这是用定义证明）方法二：第一步证出对角线互相垂直；第二步证出是矩形。（这是判定定理1）方法三：第一步证出对角线相等；第二步证出是菱形。（这是判定定理2）六、梯形 1、梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形。 2、梯形的底：梯形中平行的两边叫做梯形的底（通常把较短的底叫做上底，较长的边叫做下底） 3、梯形的腰：梯形中不平行的两边叫做梯形的腰。 4、梯形的高：梯形有两底的距离叫做梯形的高。 5、直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形。 6、等腰梯形：两腰相等的梯形叫做等腰梯形。 7、等腰梯形性质定理1：等腰梯形在同一底上的两个角相等。 8、等腰梯形性质定理2：等腰梯形的两条
27、对角线相等。 9、等腰梯形的判定定理l 。 ：在同一个底上钩两个角相等的梯形是等腰梯形。 10、等腰梯形的判定定理2：对角线相等的梯形是等腰梯形。研究等腰梯形常用的方法有：化为一个等腰三角形和一个平行四边形；或两个全等的直角三角形和一矩形；或作对角线的平行线交下底的延长线于一点；或延长两腰交于一点。七、中位线 1、三角形的中位线连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。说明：三角形的中位线与三角形的中线不同。 2、梯形的中位线：连结梯形两腰中点的线段叫做梯形中位线。 3、三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 4、梯形中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两
28、底和的一半。八、多边形的面积说明：多边形的面积常用的求法有：（1）将任意一个平面图形划分为若干部分再通过求部分的面积的和，求出原来图形的面积这种方法叫做分割法。如图3l ，作六边形的最长的一条对角线，从其它各顶点向这条对角线引垂线，把六边形分成四个直角三角形和两个直角梯形，计算它们的面积再相加。（2）将一个平面图形的某一部分割下来移放在另一个适当的位置上，从而改变原来图形的形状。利用计算变形后的图形的面积来求原图形的面积的这种方法。叫做割补法。（3）将一个平面图形通过拼补某一图形，使它变为另一个图形，利用新的图形减去所补充图形的面积，来求出原来图形面积的这种方法叫做拼凑法。注意：两个图形全等，
29、它们的面积相等。等底等高的三角面积相等。一个图形的面积等于它的各部分面积的和。第六章：圆知识点：一、圆 1、圆的有关性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A随之旋转所形成的图形叫圆，固定的端点O叫圆心，线段 OA叫半径。由圆的意义可知：圆上各点到定点（圆心O）的距离等于定长的点都在圆上。就是说：圆是到定点的距离等于定长的点的集合，圆的内部可以看作是到圆。心的距离小于半径的点的集合。圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合。连结圆上任意两点的线段叫
30、做弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫圆弧，简称弧。圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫半圆，大于半圆的弧叫优弧；小于半圆的弧叫劣弧。由弦及其所对的弧组成的圆形叫弓形。圆心相同，半径不相等的两个圆叫同心圆。能够重合的两个圆叫等圆。同圆或等圆的半径相等。在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧。二、过三点的圆 l、过三点的圆过三点的圆的作法：利用中垂线找圆心定理不在同一直线上的三个点确定一个圆。经过三角形各顶点的圆叫三角形的外接圆，外接圆的圆心叫外心，这个三角形叫圆的内接三角形。 2、反证法反证法的三个步骤：假设命题的结论不成立；从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；由
31、矛盾得出假设不正确，从而肯定命题的结论正确。例如：求证三角形中最多只有一个角是钝角。证明：设有两个以上是钝角则两个钝角之和180与三角形内角和等于180矛盾。不可能有二个以上是钝角。即最多只能有一个是钝角。三、垂直于弦的直径圆是轴对称图形，经过圆心的每一条直线都是它的对称轴。垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。推理 1：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对两条弧。弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧。平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一个条弧。推理 2：圆两条平行弦所夹的弧相等。四、圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系圆是以圆心为
32、对称中心的中心对称图形。实际上，圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合。顶点是圆心的角叫圆心角，从圆心到弦的距离叫弦心距。定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距相等。推理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。五、圆周角顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫圆周角。推理 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等。推理 2：半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。推理 3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三
33、角形是直角三角形。由于以上的定理、推理，所添加辅助线往往是添加能构成直径上的圆周角的辅助线。六、圆的内接四边形多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫圆内接多边形，这个圆叫这个多边形的外接圆定理：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。例如图 61，连 EF后，可得：DEF B DEF A180 A B18ry BC DA 七、直线和圆的位置关系 1、 直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫圆的割线直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫圆的切线，唯一的公共点叫切点。直线和圆没有公共点时，叫直线和圆相离。精选学习资料 - - - - - - -
34、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页 2、若圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d，则：直线和圆相交dr ；直线和圆相切dr ；直线和圆相离dr ；直线和圆相交dr 例如：图 62 中，直线与圆O相割，有： r d 图 63 中，直线与圆O相切， r d 图 64 中，直线与圆O相离， r d 八、切线的判定和性质切线的判定：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径推理 1：经过圆心且垂直干切线的直线必经过切点。推理 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。例如图 65 中，O为圆心， AC是切线， D 为
35、切点。B90则有 BC是切线 OD是半径 OD AC 九、三角形的内切圆要求会作图，使它和己知三角形的各边都相切分角线上的点到角的两边距离相等。两条分角线的交点就是圆心。这样作出的圆是三角形的内切圆，其圆心叫内心，三角形叫圆的外切三角形。和多边形各边都相切的圆叫多边形的内切圆，多边形叫圆的外切多边形。十、切线长定理经过圆外一点可作圆的两条切线。在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫这点到圆的切线长。切线长定理从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等。圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角，如图66 B、C 为切点， O为圆心。 ABAC ， 12 十一、弦切角顶点在圆上，一边
36、和圆相交，另一边和圆相切的角叫弦切角。弦切角定理弦切角等于它所央的弧对的圆周角。推理如果两个弦切角所央的弧相等，那么这两个弦切角也相等。例如图 67，AB为切线，则有： C BAE ， BAE D C D 十二、和圆有关的比例线段相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。推理：如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。推理：从圆外一点引两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等，如图68，若 F为切点则有： AF2=AH AC ，AG ABAF
37、2 EM MD=BMMG CNNH=DN NE 十三、圆和圆的位置关系如图69 若连心线长为d，两圆的半径分别为R ，r ，则： 1、两圆外离d Rr ； 2、两圆外切d = R r ； 3、两圆相交Rr dRr （Rr ） 4、两圆内切d = R r ； （Rr ） 5、两圆内含dRr 。 （Rr）定理相交两圆的连心线垂直平分丙两圆的公共弦。如图 610，O1，O2为圆心，则有： AB O1O2，且 AB被 O1O2平分十四、两圆的公切线和两个圆都相切的直线叫两圆的公切线，两圆在公切线同旁时 ，叫外公切线，在公切线两旁时，叫内公切线，公切线上两个切点的 距离叫公切线的长。如图 611，若 A
38、 、B、C、D为切点，则AB为内公切线长， CD为外公切线长内外公切线中的重要直角三角形，如图612，OO1A为直角三角形。 d2=（Rr ）2e2为外公切线长，又如图 6 13， OO1C为直角三角形。 d2（ R十 r ）2 e 2为内公切线长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页十五、相切在作图中的应用生活、生产中常常需要由一条线（线段或孤）平滑地渡到另一条线上，通常称为圆弧连接，简称连接，连接时，线段与圆弧，圆弧与圆弧在连接外相切，如图 6 14 十六、正多边形和圆各边相等，各角也相等的多边形叫正多边形。定理
39、：把圆分成n（n3）等分：（l ）依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内按正多边形；（2）经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n 边形。定理：任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆。正多边形的外接（或内切）圆的圆心叫正多边形的中心。外接圆的半径叫正多边形的半径，内切圆的半径叫正多边形的边心距。正多边形各边所对的外接圆的圆心角都相等，叫正多边形的中心角。正 n 边形的每个中心角等于n360正多边形都是轴对称图形，一个正n 边形共有 n 条对称轴，每条对称轴都通过正n 边形的中心。若 n 为偶数，则正n 边形又是中心对称图形，它的中心就是对称中心。
40、边数相同的正多边形相似，所以周长的比等于边长的比，面积的比等于边长平方的比。十七、正多边形的有关计算正 n 边形的每个内角都等于nn180)2(定理：正 n 边形的半径和边心距把正n 边形分成 2n 个全等的直角三角形。正多边形的有关计算都归结为解直角三角形的计算。十八、画正多边形 1、用量角器等分圆 2、用尺规等分圆正三、正六、正八、正四及其倍数（正多边形）。正五边形的近似作法；二十、圆周长、弧长 1、圆周长 C2R；2、弧长180RnL二十一、圆扇形，弓形的面积 l、圆面积：2RS；2、扇形面积：一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫做扇形。在半径为 R 的圆中，圆心角为n的扇形
41、面积S扇形的计算公式为：3602RnS扇形注意：因为扇形的弧长180RnL。所以扇形的面积公式又可写为LRS21扇形（3）弓形的面积由弦及其所对的弧组成的圆形叫做弓形。弓形面积可以在计算扇形面积和三角形面积的基础上求得。如果弓形的弧是劣弧，则弓形面积等于扇形面积减去三角形面积。若弓形的弧是优弧，则弓形面积等于扇形面积加上三角形面积。二十二、圆柱和圆锥的侧面展开图 1、圆柱的侧面展开图圆柱可以看作是由一个矩形旋转得到的，如把矩形 ABCD 绕边 AB旋转一周得到的图形是一个圆柱。 （图6 一 16） AB叫圆柱的轴，圆柱侧面上平行轴的线段CD ， CD ，都叫圆柱的母线。圆柱的母线长都相等，等于
42、圆柱的高。圆柱的两个底面是平行的。圆柱的侧面展开图是一个长方形，如图617，其中 AB= 高， AC= 底面圆周长。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页S侧面=2Rh 圆柱的轴截面是长方形一边长为h，一边长为2R R是圆柱底半径，h 是圆柱的高。见图68 （2）圆锥的侧面展开图圆锥可以看作由一个直角三角形旋转得到。如图 619， 把 RtOAS绕直线 SO旋转一周得到的图形就是圆锥。旋转轴 SO叫圆锥的轴， 连通过底面圆的圆心，且垂直底面。连结圆锥顶点和底面圆的任意一点的SA、SA 、都叫圆 锥 的 母线，母线长都相等。圆锥的侧面展开图如图6 一 19 是一个扇形 SAB 半径是母线长， AB是 2R。 （底面的周长） ，所以圆锥侧面积为 S侧面=RL 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页