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1、优秀学习资料欢迎下载多动点综合题中等腰三角形的专题研究一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例 1】（2008 山西）如图（ 1），已知直线的解析式为，直线与 x 轴、 y轴分别相交于A、 B 两点，直线经过 B、C 两点，点C 的坐标为（ 8，0），又已知点P在 x 轴上从点 A 向点 C 移动，点 Q 在直线从点 C 向点 B 移动。点 P、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1 个单位长度，设移动时间为t 秒（）。（1）求直线的解析式。（2）设 PCQ 的面积为S，请求出 S关于 t 的函数关系式。（3）试探究：当t 为何值时，PCQ 为等腰三角形
2、？图（ 1）解：（ 1）过程略，答案：的解析式为（2）过程略，答案：=（3）【分析】 确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于PCQ 而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了 PCQ 的动点（ P、Q）和定点（ C），以及P、Q 的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中
3、取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，PCQ的三边两两分别相等，如图QP=QC， CP=CQ， PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。 只有画出来才能求出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来， PC=，CQ= ，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。如图， 当 QC=
4、QP， 过 Q 作 QD轴于 D， D 点为 PC 中点，则 CD=PC=，图形中可确定三边的RtBOC ，恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC 分割出来的Rt QDC公共 BCO ，根据“ A”型相似或平行相似，则QDC BOC，即，解得如图，当CP=CQ 时，这时 CP 与 CQ 正好也在 BCO 的两边上，解得如图，当PC=PQ 时，过 P 作 PE于 E，则 CE=CQ=，这时分割出的RtPEC与已知的RtBOC仍然公共 BCO ，并形成斜“A”型相似，则PEC BOC，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 12
5、 页优秀学习资料欢迎下载，即，解得，综上所述，当，或 5，或时，（都满足）， PCQ 为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。 解此类题目， 应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。【 练 习】 （2009济 南） 如图 （ 2 ） ，在 梯形中 ，,图（ 2）动点从点出发沿线段以每秒2 个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长。（过程略，）（2）当时，
6、求的值。 ( 过程略，)（3）试探究：为何值时，为等腰三角形。解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（2）中完成）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨： 此问所需要确定三边的直角三角形，目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形，这个三边都可以求出的直角三角形还与动态公共 C，可利用案例一的讨论方法求出相应的时间， 注意这题中M 、 N
7、两个动点的速度不一样了，此问答案为当、或时，为等腰三角形，过程请读者自行完成。【案例 2】（ 2009 仙桃）如图（ 3），直角梯形ABCD中， AD BC ， ABC 90，已知 ADAB 3，BC 4，动点 P从 B点出发， 沿线段 BC向点 C作匀速运动； 动点 Q从点 D 出发，沿线段 DA向点 A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点 M ，交 BC于点 NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1 个单位长度 当 Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t 秒(1) 求 NC ，MC的长 ( 用 t 的代数式表示 ) ；（过程略，）(2) 当为何值时，四边形PCDQ 构
8、成平行四边形？( 过程略，)(3) 是否存在某一时刻，使射线QN恰好将的面积和周长同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；（过程略，不存在）(4) 探究：为何值时，为等腰三角形？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知Q、M、N 三点在同一条直线上， M、 N 随着 Q 点的移动而移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图、在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程此问所用到的方法
9、和案例1 有所不同，这时只知道P、 Q 两个动点的速度，所以动态的 CM边不能直接用的式子表示出来，此题的PC=，CN=，接下来就要围绕者 PC， CN 两边来建立方程。如图， 当 MP=MC ，而 MN PC ， 则 N 点为 PC 中点， 有 PC=2NC，有解得：=如图，当CM=CP 时， CM=CP=，CN=，而由图中可以知Rt MNC 与 Rt ABC公共 ACB ，根据“ A”型相似或平行相似，解得：如图，当PM=PC 时，PM=PC=，则 PN=CNPC=， Rt MNC 与 RtABC公共 ACB ，本应该利用这种平行相似关系建立方程，可 Rt MNC 只有一边CN可以由表示精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载出来，只有利用其它方法建立等式，由上可知Rt MNP 中的 PM、PN 都可以用表示出来，只差最后一边MN 没有用表示出来，这里刚好可以利用Rt MNC 与 RtABC相似把 MN也用表示出来，,则 MN=，最后我们利用在Rt MNP 中存在勾股定理，完成建立方程的步骤，,，解得（-1 舍）综上所述当、或时，为等腰三角形二、两动点在两条平行线上同向运动，另一个动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例 3】（ 2008 温州）如图（ 4），在 RtABC 中， A9
11、0?，AB 6，AC 8，D，E分别是边 AB ，AC 的中点，点P从点 D 出发沿 DE 方向运动，过点P作 PQBC 于 Q，过点 Q 作 QRBA 交 AC 于 R，当点 Q 与点 C 重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点 D 到 BC 的距离 DH 的长； (过程略，) （2）求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围，过程略，）；（3）是否存在点P，使 PQR 为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x 的值；若不存在，请说明理由解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向由题意可知，点Q 随点 P向右移动而向右平行移动，而点R 又随 Q 的移动而移动。
12、画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载案例 3（3）图案例 3（3）图案例 3（3）图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，PQ=，BQx，RQ=，建立等式模型时，和案例1 相同，我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。如图，当PQ=PR，过 P 作 PMRQ 于 M，M 点为 RQ 中点，则 QM=RQ= =，由题意可知1+2=90， C+B=90， 2=B，则 1= C
13、，即 RtQMPRtCAB ，即，解得如图，当QP=QR 时，=，解得如图，当RP=RQ 时，过 R 作 RNPQ 于 N，则 NQ=PQ=， NQR+ RQC=90， RQC +C=90, 则 NQR= C，则Rt QNRRt CAB ，即，解得，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载综上所述，当为，或 6，或时， PQR 为等腰三角形。【练习】（ 2009 江西）如图（ 5），在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离； ( 过程略，到的距离为)（2） 点为线段上的一个动点， 过
14、作交于点， 过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时，如图 （6） ，的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由； （过程略，的周长 =）当点在线段上时， 如图（ 7），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（7）中完成）画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 12 页优秀
15、学习资料欢迎下载点拨： 当点 N 在线段 DC 上运动时，PMN 的形状发生改变，但MNC 恒为等边三角形。过 E作 EG BC于 G ，PM=EG=，GM=EP= ， MN=NC=MC=5-，此问用到的方法与案例3 类似，只不过这题B的度数更为特殊，由等腰三角形分解为直角三角形就为30的直角三角形， 所以用锐角三角函数比相似更容易建立方程，此问答案为当、或时， PMN 为等腰三角形，过程请读者自行完成。三、两动点在同一直线上运动，另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例 4】（ 2009 怀化）如图（ 8），在直角梯形OABC 中，OACB，A、B 两点的坐标分别为 A（15，0）， B
16、（10，12），动点 P、Q 分别从 O、B 两点出发，点P 以每秒 2 个单位的速度沿OA 向终点 A 运动，点Q 以每秒 1 个单位的速度沿BC 向 C 运动，当点P 停止运动时，点Q 也同时停止运动线段OB、PQ 相交于点D，过点 D 作 DEOA，交 AB 于点 E，射线 QE 交轴于点 F设动点 P、Q 运动时间为t（单位：秒）（1）当 t 为何值时，四边形PABQ 是等腰梯形，请写出推理过程；（过程略，t =）（2）当 t=2 秒时，求梯形OFBC 的面积；（过程略，S=174）（3）当 t 为何值时， PQF 是等腰三角形？请写出推理过程解：（ 3）【分析】 确定定点、动点、运动
17、方向点P、F 同向向 x 轴右移动，点Q 在与 x轴平行的BC 上向左移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨： 此题由于动态PQF的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。由题意可知 QB=t，OP=2t，可推到出AF=2 t，进而 PF=15-2t+2t=15，QP=，QF=精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载当 PQ=PF 时，
18、则=15，解得或当 QP=QF 时，则=，解得当 FQ=FP 时，则=15，解得或（舍）综上所述，当，时， PQF 是等腰三角形【拓展】（ 2009 江苏）如图（ 9-1 ），已知射线DE 与轴和轴分别交于点和点动点从点出发，以1 个单位长度 /秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时， 动点 P 从点 D 出发，也以 1 个单位长度 /秒的速度沿射线DE 的方向作匀速运动设运动时间为秒（1） 请用含的代数式分别表示出点C 与点 P 的坐标； （答案：，）（2）以点 C 为圆心、个单位长度为半径的与轴交于 A、B 两点（点A 在点 B 的左侧），连接PA、PB当与射线 DE 有公共点时，求的取值范
19、围；（答案：）当为等腰三角形时，求的值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载解：（ 2-2）【分析】 确定定点、动点、运动方向A、B 同向向 x 轴左移动， P 点由点 D向点 B 运动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨： 此题由于动态PAB的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来 （表示三边的过程用到了相似与勾股定理）， 令其两两分别相等建立方程。如图（ 9-2）由题意可知MC=t， BC=C
20、A=，则MB=BC=CA=，进而AB=t ，OA=， OB=,又PD=t ， 由 相 似 可 知PQ=， QD=， OQ=QP=QF=此问的答案为当，时，PAB是等腰三角形，过程请读者自行完成。新课程实施以来，以动点几何为背景的压轴题，以等腰三角形为重要考点，是近年来中考压轴题中的一种重要题型。这类试题将代数和几何的众多知识有效整合，能有效考查学生分析新问题和解决新问题的能力，将解等腰三角形的所涉及到的分类思想，数形结合、 化归、方程思想 (根据勾股定理， 相似， 锐角三角函数列方程) 体现得淋漓尽致。此题型属初高中衔接点， 它对学生综合能力要求高，绝对难度大，很具有区分度。但这类新问题对培养学生的思维品质和各种数学能力都有很大的促进功能，对提高学生综合运用知识解决问题的能力有极大的帮助。 解这类题不是一堂两堂课，一个专题就可以解决，它要求我们在平时教学中能精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 12 页优秀学习资料欢迎下载渗透运动理念， 用运动的眼光看问题，掌握好四个环节：渗透变换量化训练，进行科学的施教。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 12 页