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1、向量：向量：既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量. .向量表示：向量表示：1M2M a21MM模长为模长为1 1的向量的向量. .21MM00a零向量：零向量：模长为模长为0 0的向量的向量. .0|a21MM| |向量的模：向量的模：向量的大小向量的大小. .单位向量：单位向量：一、向量的概念或或或或或或, 0)1( |aa , 0)2( 0 a , 0)3( |aa aa2a21 三、向量与数的乘法数与向量的乘积符合下列运算规律数与向量的乘积符合下列运算规律：（1 1）结合律：）结合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.abab0a ，使使一
2、一的的实实数数分分必必要要条条件件是是：存存在在唯唯的的充充平平行行于于，那那末末向向量量设设向向量量定定理理两个向量的平行关系两个向量的平行关系证证充分性显然；充分性显然；必要性必要性ab设设,ab 取取取取正正值值，同同向向时时与与当当 ab取取负负值值，反反向向时时与与当当 ab.ab 即即有有.ab同同向向与与此此时时 aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，设设ab ，又设又设ab 两式相减，得两式相减，得，0)( a ，即即0a ，0 a，故故0 . 即即同同方方向向的的单单位位向向量量，表表示示与与非非零零向向量量设设aa0按照向量与数的乘积的规定，按照向量与数的乘积的规定
3、，0|aaa .|0aaa 上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量一个与原向量同方向的单位向量. .例例1 1 化简化简 53215abbba解解 53215abbbaba 551251)31(.252ba 例例2 2 试用向量方法证明：对角线互相平分的四边试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形必是平行四边形形必是平行四边形. .证证AMMC BMMD AD AM MDMC BMBC AD与与 平行且相等平行且相等, ,BC结论得证结论得证. .ABCDMab向量的概念向量的概念向量的加减法向量的加减法向量与数的乘法向量与
4、数的乘法（注意与标量的区别）（注意与标量的区别）（平行四边形法则）（平行四边形法则）（注意数乘后的方向）（注意数乘后的方向）四、小结思考题思考题已知平行四边形已知平行四边形ABCD的对角线的对角线AC,a BDb 试用试用 表示平行四边形四边上对应的向量表示平行四边形四边上对应的向量.ba,思考题解答思考题解答BCAD AM MD).(21ba DC AB AM MB).(21ba ABCDMab练练 习习 题题二二、 用用向向量量方方法法证证明明：对对角角线线互互相相平平分分的的四四边边形形是是平平行行四四边边形形 .三三 、 把把ABC的的BC边边 五五 等等 分分 ， 设设 分分 点点
5、依依 次次 为为4321,DDDD， 再再 把把 各各 分分 点点 与与 点点A连连 接接 ， 试试 以以aBCcAB ,表表示示向向量量ADADADAD4321,和和 . .练习题答案练习题答案一、一、1 1、既有大小、既有大小, ,又有方向；又有方向； 2 2、大小；、大小； 3 3、模等于、模等于 1 1； 4 4、模等于零；、模等于零； 5 5、起点；、起点； 6 6、共线向量、共线向量, ,共面向量；共面向量； 7 7、模相等且方向相同；、模相等且方向相同； 8 8、方向相反；、方向相反； 9 9、半径为、半径为 1 1 的球面；的球面； 1010、距离等于、距离等于 2 2 的两点；的两点； 1111、a垂直于垂直于b； 1212、a与与b同向同向 . .三、三、)51(1acAD , ,)52(2acAD , , ).54(),53(43acADacAD