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1、进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会进入夏天，少不了一个热字当头，电扇空调陆续登场，每逢此时，总会想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记想起那一把蒲扇。蒲扇，是记忆中的农村，夏季经常用的一件物品。记忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老忆中的故乡，每逢进入夏天，集市上最常见的便是蒲扇、凉席，不论男女老少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着少，个个手持一把，忽闪忽闪个不停，嘴里叨叨着“怎么这么热怎么这么热”，于是三，于是三五成群，聚在大树下，或站着，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑五成群，聚在大树下，或站着
2、，或随即坐在石头上，手持那把扇子，边唠嗑边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到边乘凉。孩子们却在周围跑跑跳跳，热得满头大汗，不时听到“强子，别跑强子，别跑了，快来我给你扇扇了，快来我给你扇扇”。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，。孩子们才不听这一套，跑个没完，直到累气喘吁吁，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，这才一跑一踮地围过了，这时母亲总是，好似生气的样子，边扇边训，“你你看热的，跑什么？看热的，跑什么？”此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲此时这把蒲扇，是那么凉快，那么的温馨幸福，有母亲的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国
3、已有三千年多年的历史。取材的味道！蒲扇是中国传统工艺品，在我国已有三千年多年的历史。取材于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上于棕榈树，制作简单，方便携带，且蒲扇的表面光滑，因而，古人常会在上面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为面作画。古有棕扇、葵扇、蒲扇、蕉扇诸名，实即今日的蒲扇，江浙称之为芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲芭蕉扇。六七十年代，人们最常用的就是这种，似圆非圆，轻巧又便宜的蒲扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过了我们的扇。蒲扇流传至今，我的记忆中，它跨越了半个世纪，也走过
4、了我们的半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧半个人生的轨迹，携带着特有的念想，一年年，一天天，流向长长的时间隧道，袅道，袅运筹学F问题提出问题提出应用：生产组织，邮递员问题，通讯网络等。哥尼斯堡七桥问题运筹学运筹学运筹学运筹学运筹学运筹学运筹学1v2v3v4v1e2e3e4e5e6e5vF次次: : 以点以点v v为端点的边的个数称为为端点的边的个数称为v v的次的次. . 表示为表示为: d(v): d(v)F悬挂点悬挂点: : 次为次为1 1的点的点. .F悬挂边悬挂边: : 悬挂点的关联边悬挂点的关联边. .F孤立点孤立点: : 次为次为0 0的点的点. .
5、F奇点奇点: : 次为奇数的点次为奇数的点. .F偶点偶点: : 次为偶数的点次为偶数的点. .孤立点悬挂边3)(, 4)(21vdvd运筹学F定理定理1: 图图G=(V,E)中中,所有点的次之和是所有点的次之和是边数的两倍边数的两倍, 即即:F定理定理2: 任意一图中任意一图中, 奇点的个数为偶数奇点的个数为偶数. 证明证明: :设设 V1-V1-奇点的集合奇点的集合, , V2- V2-偶点的集合偶点的集合qvdVv2)(qvdvdvdVvVvVv2)()()(21偶数偶数偶数运筹学F链：点边交错系列，链：点边交错系列， 记为：记为：F圈：圈： 的链。的链。 F初等链：点初等链：点 均不相
6、同。均不相同。F初等圈：点初等圈：点 均不相同。均不相同。F简单链：链中边均不相同。简单链：链中边均不相同。F简单圈：圈中边均不相同。简单圈：圈中边均不相同。例：右图 ),.,(1211kkkiiiiiivevvevkiivv1kiiivvv,.,21121,.,kiiivvv1v2v3v4v1e2e3e4e5e6e7e无重复点,无重复边有重复点,无重复边运筹学F连通图：任意两点之间至少有一条链。连通图：任意两点之间至少有一条链。F不连通图：不连通图：F连通分图：对不连通图，每一连通的部连通分图：对不连通图，每一连通的部分称为一个连通分图。分称为一个连通分图。F支撑子图：对支撑子图：对G=（V
7、，E），若），若G=(V,E), 使使V=V, E E, 则则G是是G的的一个支撑子图（生成子图）一个支撑子图（生成子图）.FG-v: 图图G去掉点去掉点v及及v的关联边的图的关联边的图.运筹学F基础图基础图: 对对D=(V, A), 去掉图上的箭头去掉图上的箭头.F始点和终点始点和终点: 对弧对弧a=(u,v), u为为a的始点的始点, v为为a的终点的终点.F链链: 点弧交错序列点弧交错序列, 若在其基础图中对应若在其基础图中对应一条链一条链, 则称为则称为 D的一条链的一条链.F圈圈, 初等链初等链,初等圈初等圈: 类似定义类似定义.方向可以不同运筹学F道路道路:若若 是是D中中的一条链
8、，且的一条链，且 ，t=1,2,k-1,称称之为从之为从 到到 的一条道路。的一条道路。F回路回路: 的路的路.F初等路初等路: 道路中点不相同道路中点不相同.F初等回路初等回路: 回路中点不相同回路中点不相同.F简单有向图简单有向图: 无自环无自环, 无多重弧无多重弧.F多重有向图多重有向图: 有多重弧有多重弧.),.,1112211kkkiiiiiiivavavav（kiivv1),(1tttiiivva1ivkiv方向相同运筹学F2.1 树及其性质树及其性质F2.2 图的支撑树（生成树）图的支撑树（生成树）F2.3最小支撑树问题最小支撑树问题F2.4 根树及其应用根树及其应用运筹学例例:
9、 电话线架设、比赛程序、组织结构等。电话线架设、比赛程序、组织结构等。F 树树: :连通的无圈的无向图称为树。连通的无圈的无向图称为树。运筹学 图图G=G=（V V，E E），），p p个点、个点、q q条边下列说法是等价的条边下列说法是等价的（1 1）G G是一个树是一个树（2 2）G G连通，且恰有连通，且恰有p-1p-1条边。条边。（3 3）G G无圈，且恰有无圈，且恰有p-1p-1条边。条边。（4 4）G G连通，但每舍去一边就不连通。连通，但每舍去一边就不连通。（5 5）G G无圈，但每增加一边即得唯一一个圈。无圈，但每增加一边即得唯一一个圈。 （6 6）G G中任意两点之间恰有一条
10、链中任意两点之间恰有一条链( (简单链简单链) )。运筹学F定义定义: :设图设图T=(VT=(V，E) E) 是图是图G=(V,E)G=(V,E)的支的支撑子图撑子图, ,如果如果T T是一个树是一个树, , 则称则称T T是是G G的一的一个支撑树。个支撑树。F定理定理5 5：图：图G=G=（V V，E E）有支撑树的充分必）有支撑树的充分必要条件是要条件是G G是连通的。是连通的。运筹学F求支撑树的破圈法求支撑树的破圈法运筹学F求支撑树的避圈法求支撑树的避圈法深探法广探法运筹学F赋权图赋权图( (网络）网络）: : 给图给图G=(V,E), G=(V,E), 对对G G中的中的每一条边每
11、一条边vvi i,v,vj j, , 相应地有一个数相应地有一个数w wijij, , 则则称这样的图为称这样的图为赋权图赋权图, w, wijij 称为边称为边vvi i,v,vj j 上的权上的权. .F支撑树的权支撑树的权: :若若T=(V,E) T=(V,E) 是是G G的一个支撑的一个支撑树树, E, E中的所有边的权之和称为中的所有边的权之和称为支撑树支撑树的权的权, , 记为记为w(T):w(T):TvvijjiwTw,)(运筹学F定义定义: : 最小支撑树最小支撑树( (最小树最小树)T)T* *: :F求最小树的求最小树的 避圈法避圈法: : 例例: : 图图8-278-27
12、F求最小树的求最小树的 破圈法破圈法: : 例例: : 图图8-28 8-28 )()(min*TwTwT运筹学有向树中根树有向树中根树在计算机科学、决策论的应用在计算机科学、决策论的应用F有向树：有向树：F根树：有向树根树：有向树T，恰有一个结，恰有一个结点入次为点入次为0，其余各点入次为，其余各点入次为1，则称，则称T为根树。为根树。FM叉树：叉树：F二叉树：二叉树：根叶分点枝第一层第三层第二层三叉树运筹学F带权的二叉树带权的二叉树T：有：有s个叶子，权分别为个叶子，权分别为pi，根到各叶子的距离（层次）为根到各叶子的距离（层次）为二叉树的总权数二叉树的总权数F最优二叉树（最优二叉树（ H
13、uffman树）：总权数最小的二叉树树）：总权数最小的二叉树F算法步骤：算法步骤：Huffman算法算法将将s个叶子按权由小到大排列，个叶子按权由小到大排列，将两个最小的叶子合并为一个分枝点，其权为两者之和，将两个最小的叶子合并为一个分枝点，其权为两者之和，将新的分枝点作为一个叶子，转上一步，直到结束。将新的分枝点作为一个叶子，转上一步，直到结束。), 2 , 1( ,silisiiilpTm1)(运筹学F例例1、s=6，其权分别为，其权分别为4，3，2，2，1，求最优二叉树。求最优二叉树。123243365运筹学F例例1、s=6，其权分别为，其权分别为4，3，2，2，1，求最优二叉树。求最优
14、二叉树。123243396515123243396515运筹学F例例2、最优检索问题。、最优检索问题。 使用计算机进行图书分使用计算机进行图书分 类。现有五类图类。现有五类图书共书共100万册，其中有万册，其中有A类类50万册，有万册，有B类类20万册，万册，C类类5万册，万册，D类类10万册，万册，E类类15万册，问如何安排分检过程，可使总的万册，问如何安排分检过程，可使总的运算（比较）次数最小？运算（比较）次数最小？运筹学F例例3：P235、例、例110.050.450.050.080.120.25一等品一等品五等品五等品四等品四等品三等品三等品二等品二等品等外品等外品0.100.300.
15、180.551.0测试顺序运筹学3.1 引例引例单行线交通网：v1到v8使总费用最小的旅行路线。最短路问题的一般描述： 对D=（V，A）， a=（vi，vj），w（a）=wij，P是vs到vt的路，定义路P的权是P中所有弧的权的和，记为w（P）运筹学路P0的权称为从vs到vt的距离，记为：d（ vs，vt ）3.2最短路算法最短路算法FDijkstra算法算法 ：有向图：有向图 ，wij0一般结论)()(min0PwPwP 的最短路到的最短路到isjsvvisvvjisvvvvv,.,.,.,则最短路问题为：则最短路问题为：运筹学Dijkstra算法基本思想P标号：已确定出最短路的节点。T标号
16、：为确定出最短路的节点，但表示其距离的上限。Si：P标号节点的集合。(v)：最短路中前一个节点的编号。初始值： 0)( )( )(sssvvvMvvvvT运筹学例:MvvTMvvTMvvTvvPkvSi)( )( . . )( )( )( )( 0)( 0)(1 09933221110运筹学 4 1)( , 1 )()(),(),( ),(),(),(),(),(min1)( 3)( )(110)(: ),( 1)( 3)( )(330)(: ),( 1)( 6)( )(660)(: ),(4411498765432444141413331313122212121kvPvvSivTvTvTvT
17、vTvTvTvTvTvvTvTwvPvvvvTvTwvPvvvvTvTwvPvv运筹学 3 3)( , 2 )()(),( ),(),(),(),(),( min4)( 11)( )(11101)(: ),(334123987653266646464kvPvvvSivTvTvTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv运筹学 2 5)( , 3 )()(),(),( ),(),(),( min3)( 5)( 6)(523)(: ),(223413298765222232323kvPvvvvSivTvTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv运筹学 5 6)( , 4 )()(),(),( ),(
18、),( min2)( 6)( )(615)(: ),(552341429876555525252kvPvvvvvSivTvTvTvTvTvTvvTvTwvPvv运筹学 7 9)( , 5 )()(),(),( ),(min5)( 12)( )(1266)(: ),( 5)( 9)( )(936)(: ),( 5)( 10)( )(1046)(: ),(77523415798768845858577757575610656565kvPvvvvvvSivTvTvTvTvTvvTvTwvPvvvvTvTwvPvvvvTvTwvPvv运筹学 6 10)( , 6 )()(),(),( min )( )
19、( 12)(1349)(: ),(667523416698658878787kvPvvvvvvvSivTvTvTvTvvTvTwvPvv不变运筹学 . )( )(min,8 12)( , 7 )()(),( min,9968886752341789866算法终止转向的点无指向不属于转向的点无指向不属于vTvTSvkvPvvvvvvvvSivTvTvTSv运筹学总结: 算法步骤:MvvTvvPvvPvvPvvPvvPvvPvvPvvP)( )(5)( 12)(5)( 9)(5)( 10)(2)( 6)(1)( 1)(1)( 3)(3)( 5)(0)( 0)(998877665544332211运
20、筹学FDijkstra算法算法 ：无向图求最短链，：无向图求最短链，wij0F存在负权时求最短路问题存在负权时求最短路问题 ),(: ),(:jijjkjijjkvSvEvvvSvAvv的点且考察修改为的点且考察算法修改运筹学4.1基本概念和基本定理基本概念和基本定理F网络与流网络与流定义: 对有向图D=(V,A):vs -始点 vt - 终点 其余 - 中间点c(vi,vj) - 弧(vi,vj)的容量, 简写为cijD=(V,A,C) - 网络 fij - 弧(vi,vj)上的流量运筹学F可行流与最大流可行流与最大流可行流满足:称为可行流的流量有对有对有对平衡条件（对容量限制条件)()(
21、:)( :0:,:)20 ),:) 1),(),(),(),(),(),(fvfvffvfvffvfftsivcfAvvAvvjtAvvtjtAvvjsAvvsjsAvvjiAvvijiijijjitjjtsjjsijji流入量=流出量流入量流出量运筹学最大流问题tifvfftsiffsifvffAvvcffvAvvjtAvvtjAvvjiAvvijAvvjsAvvsjjiijijtjjtijjisjjs )(, 0 )( ),( 0)(max),(),(),(),(),(),(运筹学F增广链增广链: 几个概念: 对可行流例:图10-23其全体记为后向弧反弧的方向与链的方向相其全体记为前向弧致
22、弧的方向与链的方向一网络中的一条链非零流弧零流弧非饱和弧饱和弧- ),.,( 0 0 tsijijijijijijvvffcfcfijff 运筹学增广链: 设f是一可行流, 时从始点到终点的一条链, 若满足下列条件,称其为一条增广链.例: 图10-24F截集和截量截集和截量设 把始点在S,终点在T中的所有弧构成的集合, 记为(S,T).非零流弧对后向弧非饱和弧对前向弧ijijijijcfcf0:0:TSVTS,可增加流量的链运筹学F定义定义: 截集截集F定义定义: 截量截量 .),(,),( _11_11_11称为截集则把弧集且和被分为两个非空集合若对网络VVVvVvVVVCAVDts),()
23、,(_11_11_11_11),( :),(,),( VVvvijjicVVcVVcVV即记为简称截量集的容量为截中所有弧的容量之和称把截集运筹学F几点结论几点结论最小截集容量最大流量最大流量最小截集定理的增广链不存在关于是最大流可行流 : ) 3 2),()( ) 1*_11ffVVcfv运筹学F网络中的点分为网络中的点分为:标号点标号未检查点标号已检查点未标号点运筹学F1) 标号过程标号过程., .,),(min)( :),(,( 0,),(),(min)( :),(,( ,),()(,), 0( 停止则已得到最大流没有得到标号若进入调整过程已找到一条增广链已标号若其中标号给非零流弧后向弧
24、对其中标号给非饱和弧若前向弧对标号未检查点对一般地标上给ttjiijjijjiijijijijjijijijjiisvvfvlvlvlvvfvvfcvlvlvlvvcfvvvv运筹学F 2) 调整过程调整过程: 沿增广链调整流量沿增广链调整流量.F例例: 图图10-25运筹学F定义定义: 对对D=(V,A,C), 给定一个单位流量给定一个单位流量的费用的费用bij0, 最小费用最大流即最小费用最大流即:求一最求一最大流大流f, 使使F 对增广链对增广链, 若调整流量若调整流量=1, 那么新可行那么新可行流流f的费用比原可行流的费用比原可行流f的费用增加的费用增加:Avvijijjifbfb),
25、()(min运筹学此为增广链此为增广链的费用的费用.F最小费用最大流的求解最小费用最大流的求解构造赋权有向图w(f), 定义:ijijbbfbfb)()(0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学在w(f)中找最小费用增广链, 直至没有最小费用增广链为止.若存在最小费用增广链, 调整流量如下: ),( ),( ),( )(min),(minmin)1()1()1()1()1(jikijjikijjikijkijkijkijijvvfvvfvvffffc运筹学初初始始网网络络数数值值VsV1 V2 V3 Vt 运筹学(4,10)(1, 8)(2, 4)(1, 7)
26、(2, 5)(6, 2)(4,10)bij Cij初初始始网网络络数数值值VsV1 V2 V3 Vt 运筹学取初始取初始可行流可行流f (0) =0V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0V1 V2 V3 Vs Vt bij fij运筹学(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0构造赋构造赋权图权图W(f (0)V1 V2 V3 Vs Vt 0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfc
27、fbw运筹学(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0构造赋构造赋权图权图W(f (0)V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)取初始取初始可行流可行流f (0) =0构造赋构造赋权图权图W(f (0)( + , 0 )V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学(4,0)(1, 0)(2, 0)(1, 0)(2, 0)(6, 0)(4,0)在初始在初始赋权图赋权图W(f (0)上求出上求出最短路最短路V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学(4,0)(
28、1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vs Vt ),( ),( ),( )(min),(minmin)0()0()0()1()0()0(jiijjiijjiijijijijijvvfvvfvvffffc运筹学(4,0)(2, 0)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量原流量原流量如图所如图所示示V1 V2 V3 Vs Vt (1, 0)(1, 0)(2, 0)运筹学(4,0)(2, 0)(6, 0)(4,0)求求增增加加的的流流量量V1 V2 V3 Vs Vt 8 - 0 5 - 0 7 -
29、 0最小最小f (0) (1, 0)(1, 0)(2, 0)运筹学(4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 5得到新得到新的流量的流量f (1)=5V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学(4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5) (2, 5)(6, 0)(4,0)依据新依据新的流量的流量构造又构造又一赋权一赋权图图W(f (1)*只对增广链只对增广链V1 V2 V3 Vs Vt 80 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学(4,0)(2, 0)(1,5) (2, 5)(6, 0)(4,
30、0)赋赋权权图图W(f (1)的构造的构造*只对增广链只对增广链V1 V2 V3 Vs Vt 8(-1, 5)(1, 5)运筹学(4,0)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)赋赋权权图图W(f (1)的构造的构造*只对增广链只对增广链V1 V2 V3 Vs Vt 8 5(-1, 5)(1, 5)0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)赋赋权权图图W(f (1)的构造的构造*只对增广链只对增广链V1 V2 V3 Vs Vt 8 5(-2, 5) 7(-1,5)(-1, 5)(1, 5)运筹
31、学(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)构造的构造的赋权赋权图图W(f (1)*只对增广链只对增广链V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-1, 5)(1, 5)运筹学(4,0)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)在在赋赋权图权图W(f (1)上求出上求出最短路最短路V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-1, 5)(1, 5)运筹学Vs (4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vs Vt 7 - 5 = 2 10 - 0 最小最小运筹学V
32、s (4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,0) = 2得到新得到新的流量的流量f (2)=7新的流新的流量图如量图如图所示图所示V1 V2 V3 Vs Vt 运筹学依据新依据新的流量的流量构造又构造又一赋权一赋权图图W(f (2)*只对增广链只对增广链V1 (4,0)(1, 5)(2, 0)(1,5)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2, 5)(-1,5)运筹学对最短对最短路上求路上求新的权新的权值值V1 (4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2,
33、 5) 100 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学赋赋权权图图的构造的构造W(f (2)*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-1, 5)(-2, 5)(-4,2)0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学赋赋权权图图的构造的构造W(f (2)*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(-1, 5)(2, 0)(1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (1, 5)(-2, 5) 7(-4,2)0 0 ijijijjiijij
34、ijijijijffbwcfcfbw运筹学赋赋权权图图的构造的构造W(f (2)*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)运筹学新新赋赋权权图图W(f (2)*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)运筹学在在赋赋权图权图W(f (2)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 0)(-1,7)(6, 0)(4,0)V1 V2 V3 Vs Vt
35、(-2, 5)(-4,2)(-1, 5)(1, 5)运筹学(4,2)(1, 5)(2, 0)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,0)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 3V1 V2 V3 Vt 8 - 5 = 3 最小最小 10 - 0 4 - 0运筹学(4,2)(1, 8)(2, 3)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,3)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 3得到新得到新的流量的流量f (3)=10V1 V2 V3 Vt 运筹学依据新依据新的流量的流量构造又构造又一赋权一赋权图图W(f (3)*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4
36、,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(1, 8) 8 10 4运筹学赋赋权权图图W(f (3)的构造的构造*只对增广链只对增广链V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)运筹学在在赋权赋权图图W(f (3)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)运筹学在初始在初始赋权图赋权图W(
37、f (0)上求出上求出最短路最短路V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-1,5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)运筹学(4,2)(1, 8)(2, 3)(1,7)(2, 5)(6, 0)(4,3)在最短在最短路上增路上增加流量加流量V1 V2 V3 Vt 5 最小最小 10 - 3 4 - 3 = 1 10 - 2 运筹学(4,3)(1, 8)(2, 4)(1,7)(2, 4)(6, 0)(4,4)在最短在最短路上增路上增加流量加流量 = 1得新的得新的流量流量f (4) =11V1 V2 V3 Vt
38、运筹学(4,3)(1, 8)(2, 4)(1,7)(2, 4)(6, 0)(4,4)*注意注意在负向在负向弧上减弧上减去增量去增量值值V1 V2 V3 Vt 5 - 1 运筹学上一次上一次的赋权的赋权图图*依据新依据新流量在最流量在最短路径上短路径上对此重求对此重求赋权值赋权值V1 (4,2)(2, 3)(-1,7)(6, 0)(4,3)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 5)(-4,2)(-1, 8)(-4,3)(-2, 3)运筹学依据新依据新的流量的流量构造又构造又一赋权一赋权图图W(f (4)*只对增广链只对增广链V1 (4,3)(2, 4)(-1,7)(6, 0)(4,4)V1 V
39、2 V3 Vs Vt (2, 4)(1, 8) 10 5 10 4 0 0 ijijijjiijijijijijijffbwcfcfbw运筹学依据新依据新的流量的流量构造又构造又一赋权一赋权图图W(f (4)*只对增广链只对增广链V1 (4,3)(-2, 4)(-1,7)(6, 0)(3,4)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 4)(-4,3)(-1, 8)(-3,4)(2, 4)运筹学没有最没有最短路，短路，算法结算法结束，所束，所得为最得为最小费用小费用最大流最大流V1 (4,3)(-2, 4)(-1,7)(6, 0)(3,4)V1 V2 V3 Vs Vt (-2, 4)(-4,3)(
40、-1, 8)(-3,4)(2, 4)运筹学F6.1一笔划问题一笔划问题欧拉链: 图中存在一条链, 过每边一次且仅一次.欧拉圈: 图中存在一简单圈, 过每边一次.欧拉图: 具有欧拉圈的图.运筹学定理: 连通多重图G是欧拉图, 当且仅当G中无奇点 .推论: 连通多重图G有欧拉链, 当且仅当G恰有两个奇点.F奇偶点作业法奇偶点作业法 若图中无奇点, 问题已解决; 否则:第一可行方案的确定: 奇点配对, 找奇点间的一条链.调整可行方案, 使重复边总长度下降运筹学a)最优方案中, 每一边上最多有一条重复边.b)最优方案中, 每个圈上重复边的总权不大于圈总权的一半. 最优性判定: 满足a)和b)两条.%s
41、#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdL
42、aI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*
43、t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQe
44、NbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2B+x(u
45、$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUjRfO
46、cK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaI6F3C0y)v%s#pXlUiRfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMbJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNcK8H5D2A+x*u$rZnWkShPeMaJ7G4C1z)w&t!pYmVjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)
47、w&s!pYmUjRgOcL9H6E3B+y(v%r#oWlTiQeNbK8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgOdLaE2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-w*t$qYnVkSgPdLaI7F3C0z)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u%rZoWkThQeMbJ8G4D1z-w*t!qYnVjSgPd
48、LaI6F3C0y)v&s#pXlUiRfNcK9H5E2A+x(u$rZoWkThPeMbJ7G4D1z-w&t!qYmVjSgOdL9I6F3B0y)v%s#oXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!pYmVjRgOdL9I6E3B0y(v%s#oXlTiQfNbK8H5D2A-x*u$qZnWkShPdMaJ7F4C1z)w&s!pYmUjRgOcL9I6E3B+y(v%r#oXlTiQeNbK8G5D2A-x*t$qZnVkShPdMaI7F4C0z)w&s!pXmUjRfOcL9H6E2B+y(u%r#oWlThQeNbJ8G5D1A-x
49、*t$qYnVkSgPdMaI7F3C0z)v&s!pXmUiRfOcK9H6E2B+x(u%rZoWlThQeMbJ8G4D1A-w*t!qYnVjSgPdLaI6F3C0y)v&s#pXmUiRfNcK9H5E2B+x(u$rZoWkThQeMbJ7G4D1z-w*t!qYmVjSgOdLaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x*u$rZnWkThPeMaJ7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShaI6F3B0y)v%s#pXlUiQfNcK8H5E2A+x(u$rZnWkThPeMb
50、J7G4C1z-w&t!qYmVjRgOdL9I6F3B0y(v%s#oXlUiQfNbK8H5D2A+x*u$qZnWkShPeMaJ7F4C1z)w&t!pYmUjRgOcL9I6E3B0y(v%r#oXlTiQfNbK8G5D2A-x*u$qZnVkShPdMaJ7F4C0z)w&s!pYmUjRfOcL9H6E3B+y(u%r#oWlTiQeNbJ8G5D1A-x*t$qZnVkSgPdMaI7F4C0z)v&s!pXmUjRfOcK9H6E2B+y(u%rZoWlThQeNbJ8G4D1A-w*t$qYnVjSgPdLaI7F3C0y)v&s#pXmUiRfOcK9H5E2B+x(u