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1、2 xxd2cosCx 2sin解决方法解决方法将积分变量换成将积分变量换成令令xt2 xxd2costtdcos21 Ct sin21Cx 2sin21 x2sinx2cos xxdcosCx sinx2cos2.2x因为因为 xd)d(221x,d21dtx tdt21xt2 一、第一换元积分法一、第一换元积分法换元积分法换元积分法9 求求xexd 解解xexd )d( xex Cex 换元积分法换元积分法例例 求求xexd52 解解xexd52 )2d(2152xex Cex 5221Cexexx d5 3 例例 10例例 求求xxd231 解解xxd231 Cx |23|ln21)2(
2、d23121xx 换元积分法换元积分法Cxxx lnd1 3例例 求求xxxd12 解解xxxd12 Cx 232)1(31)1d(12122 xx11xxxd)ln21(1 解解xxxd)ln21(1 )(lndln211xx )ln(dln211xx Cx ln21ln21 1 221换元积分法换元积分法例例 求求12例例 求求xxxd15)1ln( 解解换元积分法换元积分法 xxxd15)1ln()1d(15)1ln( xxx)1dln(5)1ln( xxCx 235)1ln(325 13例例 解解 xxxdsin1cosxxxdsin1cos 换元积分法换元积分法)sind(1sin1
3、1xx .)sin(1lnCx 例例 解解 xeexxd1xeexxd1 )d(111xxee .)(1lnCex 14例例 求求xeeeexxxxd 换元积分法换元积分法解解xeeeexxxxd )(d1xxxxeeee C.)ln( xxee例例 求求xxxxd1122 原式原式解：解：)1(d1122 xxxxC.)1ln(2 xx15例例 求求xxxdcos1sin2 解解换元积分法换元积分法 xxxdcos1sin2xxdcoscos112 .cosarctanCx 例例 求求xxdsin14 解解 xxdsin14xxdcotcsc2 xx1)dcot(cot2 .cot3cot3
4、Cxx 16例例 解解 xxad122 21daxaxCax arcsin)0(d122 axxa xxd112Cx arcsin)0(d122 axxaCax arcsin 2221daxax换元积分法换元积分法17例例 )0(d122 axxa解解 221xa原式原式= xxaxxaad1d121 Cxaxaa lnln21Cxaxaa ln21 xaxaa1121)0(ln21d122 aCaxaxaxax换元积分法换元积分法18例例 求求xxad122 解解换元积分法换元积分法xxad122 xaxad)(11122 )(d)(1112axaxa .arctan1Caxa xxad12
5、2 .arctan1Caxa 19例例 求求xxxd112 解解换元积分法换元积分法xxxd112 )21d(43)21(12 xx)21d()23()21(122 xxxxad122 .arctan1Caxa .312arctan32Cx 20例例 求求xxxxd112 解解换元积分法换元积分法xxxxd112 xxxxd112212 xxxxd112212 xxxd11212 xxxxd112212 xxxd11212 )1(ln212 xx.312arctan31Cx xxxd112 .312arctan32Cx 1 21例例 求求xxxd)1(3 解解xxxd)1(3 xxd)1(3
6、)1(d)1(1)1(132xxx Cxx 2)1(2111x1 1 换元积分法换元积分法22例例 求求xxxd122 解解换元积分法换元积分法xxxd122 1 xd1 xxd112 .arctanCxx xxxd122 23例例 求求xxxd13 解解换元积分法换元积分法xxxd13 xxxd )1(2 xxx 232131xxxd1113 Cx 1lnxxd11 24例例 求求xexd11 解解xexd11 xexd11 xeexxd11 xeexxxd1d xdCexx )1ln(xe xe )1(d11xxee 法一法一换元积分法换元积分法25xexd11 法二法二xxexedd x
7、exd11 xexd)1( xexexxxeeed)1(1 xeu uuud)1(1 uuud)1( )1( uu uuud111 Cuu )1ln(lnCeexx 1lnuud1 )1d(11 uu换元积分法换元积分法26例例 xxdtan解解 原式原式=xxxdcossin xxcoscosdCx coslnCxxx sinlndcot某些三角函数某些三角函数换元积分法换元积分法27例例 求求解解 xxdcsc法一法一换元积分法换元积分法 xxdsin1 xxdcsc xxxdsinsin2 )(cosdcos112xxCxx cos1cos1ln21)0(d122 axxaCxaxaa
8、ln2128法二法二换元积分法换元积分法Cxx cotcscln类似可推出类似可推出 Cxxxx)tanln(secdsec xxdcsc xxxxxxdcotcsc)cot(csccsc )cotd(csccotcsc1xxxx29例例 求求解解 xxxdcossin52 xxxdcossin52 )(sindcossin42xxx )(sind)sin1(sin222xxx )(sind)sinsin2(sin642xxxxCxxx 753sin71sin52sin31换元积分法换元积分法30例例 求求 xxdsin2解解 xxdsin2 xxx2d2cos41d21Cxx 2sin412
9、,有一个是奇数时有一个是奇数时、当当nm,都都是是偶偶数数时时、当当nm,cossin积积分分xxnm凑微分凑微分;用倍角公式用倍角公式降幂降幂,再积分再积分. 注注换元积分法换元积分法xx d)2cos1(21 31例例 求求解解 xxxd2cos3cos)cos()cos(21coscosBABABA )5cos(cos212cos3cosxxxx xxxxxxd)5cos(cos21d2cos3cosCxx 5sin101sin21 不同角度的正弦、余弦之积的积分常用不同角度的正弦、余弦之积的积分常用积化和差公式来化简积化和差公式来化简.注注换元积分法换元积分法32二、第二换元积分法二、
10、第二换元积分法xxd11 有根式有根式解决方法解决方法 消去根式消去根式,xt 令令 xdxxd11 ttt1d2tttd1112 tttd11d2Ctt )1ln(22Cxx )1ln(22)0(2 ttx困难困难即即则则ttd2tttd2 回代回代换元积分法换元积分法根式代换根式代换33换元积分法换元积分法1.公式公式 xxfd)( tttfd)()( )(1xt )(t tt d)( 34例例 求求解解xexd11 ,1xet 令令, 12 tex.d12d2tttx xexd11 ttd122 Ctt 11lnCxex )11ln(2),1ln(2 txCaxaxaxax ln21d1
11、22回代回代换元积分法换元积分法2. 例例 题题35axa22 ax例例 求求)0(d22 axxa解解 令令taxsin ttaxdcosd 2,2 txxad22 ttadcos22 taa222sinttad22cos12 Ctta )2sin21(22tax22xa 辅助三角形辅助三角形axarcsinttadcos axaarcsin22Cttta )cossin(22Cxax 222 回代回代换元积分法换元积分法36例例 求求解解)0(d122 axax令令taxtan ttaxdsecd2 xaxd122 tasec1 ttdsec1|tansec|lnCtt tax22ax 2
12、,2 taCaxxln|ln122 Caxx |ln22ttadsec2 回代回代ln 1C aax22 ax 辅助三角形辅助三角形换元积分法换元积分法 ttdsecCtt |tansec|ln37注注当当被积函数被积函数中含有中含有,)1(22xa 令令taxsin ,)2(22xa 令令taxtan ,)3(22ax 令令taxsec taxcos 或或taxcot 或或taxcsc 或或一般规律一般规律:换元积分法换元积分法38例例 求求解解xxxd423 令令,sin2tx ,dcos2dttx 2,2 t 3sin2ttttdcossin3223 ttttdcos)cos1(sin3
13、222 tttcosd)cos(cos3242 Ctt )cos51cos31(3253t2x24x Cxx 5232451434法一法一原式原式=ttdcos2 t2sin44 回代回代换元积分法换元积分法39法二法二xxxd423 222d4xxx uuud421 2xu uud4)(21 uuuud42d4212123 uuuu 4d424d4212123 Cxx 232252434451 Cuu 2325434451原式原式= xx 2xx d42 21u 44 回回 代代换元积分法换元积分法40例例 .d125xxx 求求,12xt 令令, 122 tx,ddttxx xxxd125
14、 tt22)1( tttd1224 Cttt 353251Cxxx 2421)348(151解解txtan xxd12 4xx ttd 回代回代换元积分法换元积分法41法一法一xxxd)2(17 xxd)2(7 7xu )2(d71777xxx )2(d71uuu uuuud21d1141 Cuu 2lnln141Cxx |ln21|2|ln1417回代回代换元积分法换元积分法7x6x例例 xxxd)2(17 求求42令令tx1 ttxd1d2 xxxd)2(17 ttttd12127 tttd2176Ct |21|ln1417Cxx |ln21|2|ln1417解解 7721)21(d141
15、tt法二法二回代回代 换元积分法换元积分法倒代换倒代换tx1 注注可用来消去分母中的变量可用来消去分母中的变量.43法三法三xxxd)2(17 xxxd)2(17 xxxd)2(7 2217x 7x xxd121 xxxd22176 |ln21x Cxx |2|ln141|ln217)2(d2114177 xx换元积分法换元积分法44例例xxxd)1(13 求求令令6tx ttxd6d5 xxxd)1(13 ttttd)1(6235 tttd1622 tttd111622 ttd11162Ctt arctan 6Cxx arctan 666解解换元积分法换元积分法45为各根指数的为各根指数的最小公倍数最小公倍数） lkxx,ntx n注注当被积函数含有两种或两种以上当被积函数含有两种或两种以上的根式的根式时，时， 可采用令可采用令（其中（其中换元积分法换元积分法46两类换元积分法两类换元积分法凑微分凑微分三角代换、根式代换三角代换、根式代换小结小结换元积分法换元积分法第一第一换元积分法换元积分法:第二第二换元积分法换元积分法: