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1、23.由于111).KABKbkABKBLkAB(KLk 因此，找状态反馈增益阵K1是关键。1Im,bBLR p使得b BL=故由上式，有9定理定理4-5 若系统(4-1)可控，则存在状态反馈增益阵K，使得A+BK的n个特征值配置到复平面上n个任意给定的位置（复数共軛成对出现）。证明证明 首先选取非零向量L，可得 b=BL，由定理4-4可知存在K1，使 (A+BK1, b)可控。由单变量极点配置定理可知存在n维行向量k，使得 A+BK1+bk 10故只要取 K= K1+Lk即可证明定理4-5。 证完。证完。 A+BK1+bk =A+BK1+BLk = A+B(K1+Lk)11pnp nLRkR
2、LkR注意、。的特征值可任意配置。但111()uxvxvKKLk经状态反馈后的多变量系统Bx CyA1KLkvxu12引理的证明：引理的证明：这里给出一个构造性的证明。则易于证明，1111121111321111111111,bbbbbbb +bbbb +bnnnxxxxxxx2 2A AA AA AA AA AA AA AA A也是线性无关的。事实上，Im( )bb任给（且）1）0B B11bpuu ,使得；R RB B1111111,bbbbbbn令，设 ，是的组基,2）一A AA AA A1311112,bnnnnxxx若从 而 ，则已A AR R11112111111111121111
3、231,bb +bbb +bbb +bbbbbnnnxxxx经列初等变换, , A AA A+ + A AA AA A, , A AA AA A11bu是空间的一组基，此时只要令（）B B11111nuuuu=1411111111112112111111,bbbbiuunnnnnxxxxxxuxxxxu=，A AA AB BA AA AB B命题已证明。3）若不然，由可控性可知存在222Im( )bbuB BB B21bb但。定义A A则15111121121221212bbbnnnnnnnnxxxxxxA AA AA A使得1112121,， ，nnnnx xxxx线性无关，但122bnnx
4、A A121nnxx已可由线性表示。由于1612,bbbbiniii，是的一组基AAAAAA这里111212112 ,bb， ，nnnnx xxxxspanA AA A11111111111111123111112,)bb +bbb +bbb +bbnnnnnxnxxxxxx ， ，, AAA, AAAA (AAA (AA故1711122121nnnnuuuu令111111111121212112121212122111211bbbnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnxxxuxxxxuxxxxuxA AA AB BA AA AB BA AA AB B则18注：注：引理的证明过程实际上给出了
5、如何选取xi 和 ui ,使11112,1,2,1,:,iiinnxxu inxx xxA AB Bb bb bR Rspan从而选取矩阵K1的算法。121214),nnnx xxu uu如此下去，则由可控性可知，存在中的一组基以及一组向量使得R R证完。证完。11112,1,2,1,: ,iiinnxxu inxx xxABbbABbbR Rspan1911000010101 100101TxxuL L例题例题 1 系统方程为试构造K1，使(A+BK1 , b=BL)可控。解解1 (试凑法） 取 x1 = BL =b=0 1 1T0, L=1 1T。考虑 x1=b, xk+1= A xk+
6、B uk (k=1, 2, , n1)， 20因为 Ax1=1 1 1T与x1线性无关，故取 x2= Ax1,也就是可令 u1=0 0T又因为Ax2与x1, x2 构成线性相关组，u2不能取 0 0T，可取 u2=1 1T，这样可得 x3= Ax2+Bu2= 2 0 2 T。21因此，由K1=u1 u2 0 x1 x2 x3-1，可得12123110012010111110010111112Kuuxxx 不难验证(A+BK1 b)可控。 1110111111ABK 211011()()101101bABK bABKb22解解2 利用引理所给出的算法。取 x1 = Bu1 =b=0 1 1T,
7、u1=1 1T。根据引理，取 x1= b1, x2= Ax1+ b1 =Ax1+ Bu1= 1 2 2T 则显然 x1 和 x2 线性无关。但 Ax2+ b1= 3 3 3T 却与x1 和 x2 线性相关。因此取23 b2=0 0 1T, 有 x3= Ax2+ b2 = 3 2 3T 则x1, x2, x3 构成线性相关组。这里， u1= 1 1T, u2= 0 1T24例题例题2 系统方程为010000001000001010000101xxu欲使闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j, 试确定状态反馈增益阵K。 取L =1 0T, x1=b1=0 0 1 0T； 取 u1=1 0T
8、, 可得 x2=0 1 0 0T ； 取 u2=0 0 T , 可得 x3=1 0 0 0 T ； 取 u3=0 1 T , 可得 x4=0 0 0 1 T ；解解 先用试凑法求xi 和 ui ：25100101 0000100001 00010100010000001K于是由 的计算式可得 1K显然，(A+BK1, b1)可控。令k=k1 k2 k3 k4, 直接计算 111234010000101001ABKb kkkkk26它的特征式为 s4 (1+k3)s3+(k3k2)s2+(k2k1)s+k1 k4,期望特征式为 s4+6s3+14s2+16s+8,比较上述两多项式的系数，可得 k
9、1 =37, k2=21, k3=7, k4=45 状态反馈阵可取为137218451000KKL Lk k= =27 在上面的做法中，在L和 ui 取定后，k 就唯一的确定了。但 L 和 ui 是非唯一的，这一事实至少可以说明达到同样极点配置的K值有许多。K的这的这种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问种非唯一性是多输入系统与单输入系统极点配置问题主要区别之一题主要区别之一。如何充分利用K的自由参数,以满足系统其它性能的要求,是多输入系统状态反馈设计的一个研究领域。2812121det()()()()()nnnnnssfsfsfsfIABKKKKK式中fi (K)表示某一个以K的元素k
10、ij为变量的非线性非线性函数函数。如果将期望多项式表成12121nnnnnssssaaaa 多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点多输入系统状态反馈配置极点问题的另一特点是是“非线性方程非线性方程”。说明如下：如将K阵的元素用待定系数kij 表示，闭环的多项式可以写为29比较两式的系数，可知应有 ()(1,2,)iifinK(S3) 18例：例：对多变量系统，111213212223010100010112300ABK=kkkkkk11121321222311123kkkkkk显然，det(sIABK)的系数是非线性的。30 det(sIABK)在单输入情况始终是线性方程组，在多输入时，一般
11、是非线性方程。定理4-4所提供的事实表明：当系统可控时，可以通过牺牲当系统可控时，可以通过牺牲K的自由参的自由参数，使数，使det(sIABK)简化为一组能解出的线性方程简化为一组能解出的线性方程组。组。 对例题2，也可以用求解上述方程来做，通过 K 中自由参数的适当选取，往往可以方便地求出需要的K阵。 31解解 因为123456780100001011ABKkkkkkkkk则例题例题3 对例题2中的系统，用直接求解fi(K)=i 的方法，计算达到极点配置的K阵，这里，欲使配置的闭环系统(A+BK)具有特征值2, 2, 1j。010000001000001010000101xxu1234567
12、8Kkkkkkkkk32方案方案：取 k4=k5=k6=k7=0, 1+k8= 2, 由232(2)(1)1464sssss易得 1234,614kkk即有 46500003K123456780100001011A BKkkkkkkkk123801000010100001A BKkkkk33方案方案2 ： 取 k1=k2= 0, k3= 1 , k4=1可得 k5=8, k6=16 , k7=14, k8=7, 即有0011816147K56780100001000 1 ( 1)11A BKkkkk 123456780100001011A BKkkkkkkkk22432(2) (1)16141
13、68ssssss由34以上的做法中，充分利用了将矩阵分块和相伴标准形的有关知识，从而方便了计算。 如同单输入系统一样,定理4-4中可控条件对于任意配置极点是充分必要条件，但对于某一组指定的特征值进行配置时，系统可控只是充分条件，而不是必要条件。 极点配置中反馈增益阵选取的不唯一，表明由此生成的闭环传递函数阵一般是不同的，从而也将具有不同的响应特性。显然，在极点配置问题中应选择响应速度较快的反馈增益阵。35五、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响五、状态反馈对多输入多输出系统零点的影响(仅介绍，不要求）sssGC I ABG-1对一个多变量系统的传递矩阵： ( )= (- )，利用频率域方法可以
14、证明，状态反馈一般也不影响( )的零点。 给定极点组可用状态反馈达到配置的充分必要条件是给定极点组需包含系统的全部不可控模态。因此判别原来系统的模态可控性就成了关键。 36GC I AB-1对多变量系统： ( )= (- )，总可以通过（单模态矩阵）变换为如下的形：ssMcMillan其中，1122( )000( )( )0( )( ) ( )0( )( )00UGVrrsssssssss（ababab11( )|( )( )|( )iiiissss，aabb37( )GGisM cM il l ans在的形中，所有多项式 （s)的根定义为 ( )的极点。b定定: :义义2222121(1)(
15、2)(1)(2)(1)(2)153(1)(1)(1)121(1)(2)(1)(2)(1)(2)Gsssssssssssssssssssssss( )=例例：( )GGisM cM il l ans在的形中，所有多项式 （s)的根定义为 ( )的零点。a定定: :义义382100(1) (2)2001000sssssssUGV则 ( ) ( ) ( )= 1112 2 2根据以上的定义，传递矩阵的极点是，- ，- ，- ，零点为。注意到传递矩阵在相同的位置处有相同的零点和极点，但并未发生零极点对消，这是多变量系统独有的特征。39六、镇定问题六、镇定问题1. 1. 状态反馈的镇定问题：对于定常系统
16、状态反馈的镇定问题：对于定常系统ABxxu若能够找到状态反馈使得经反馈后的闭环系统()ABABKBxxuxv的所有特征值均具有负实部（渐近稳定），就称系统是可反馈镇定的。Kuvx40( ,)A B系统可用状态反馈镇定的充分必要条件是其所有的不可控模态均具有负实部。定定理理4 4 - - 6 6：事实上，因为状态反馈不改变不可控的模态：4Re ()0A则系统可镇定。1211241112124000AABABKKKAAB KAB KA41可将系统分类成：可任意配置极点可镇定可镇定： 若其不可控的模态均具负实部系统不可镇定：若至少有一个不可控的模态不具负实统统部可可控控系系不不可可控控系系2. 2.
17、 系统按镇定分类系统按镇定分类42W onham单变量：1964（中国,黄琳、郑应平等）极点配置多变量：1967（加拿大，） 能够使用极点配置的条件：状态可以测量 如果系统的状态不能完全测量这是大多数 控制系统的共同特点则不能直接采取状态反馈配置极点的方法。但即便如此，极点配置的结果仍然具有重要的理论和广泛的工程意义，是线性系统理论最经典的成果之一。 43 还需要特别指出的是，由于任何真实的工业系统都不是真正意义上的线性系统，即使全部的状态都能得到也不可能任意地改善系统的品质。 此外,能够进行上述“精确”极点配置的前提是对象的参数完全已知，这在现实中很难做到。这导致上个世纪80年代以来人们对系统的鲁棒极点配置的研究，即讨论当对象的参数或结构不完全已知的情形下是否可以将极点配置到理想位置或其附近。这个问题迄今为止远未解决。44 结束语结束语