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1、第 1 页 共 5 页浅谈求最值问题的几种方法摘要：最值问题综合性强, 涉及到中学数学的许多分支, 因而这类问题题型广, 知识面宽 ,而且在解法上灵活多样 , 能较好体现数学思想方法的应用. 在历年的高考试题中, 既有基础题 , 也有一些小综合的中档题 , 更有一些以难题的形式出现. 解决这类问题要掌握多方面的知识, 综合运用各种数学技巧, 灵活选择合理的解题方法, 本文就几类最值问题作一探求. 关键词： 数学；函数；最值；最大值；最小值1. 常见函数的最值问题. 1.1 一次函数的最大值与最小值. 一次函数bkxy在其定义域 (全体实数 )内是没有最大值和最小值的, 但是 , 如果对自变量x
2、的取值范围有所限制时, 一次函数就可能有最大值和最小值了. 例 1. 设0a且a1,)1 (1xaaxy,(0 x1), 求y的最大值与最小值. 解 : )1(1xaaxy可化为：.1)1(axaay下面对一次项系数分两种情况讨论：（ 1）当a1 时，a-a10, 于是函数axaay1)1(的函数值是随着x的增加而增加的, 所以当x=0 时,y取最小值a1; 当x=1 时,y 取最大值a. （ 2）当 0a 1 时,01aa,于是函数axaay1)1(的函数值是随着x的增加而减少的,所以当x=0 时,y取最大值a1; 当x=1 时,y取最小值 . 例 2. 已知zyx,是非负实数 ,且满足条件
3、.503,30zyxzyx求zyxu245的最大值和最小值. 分析：题设条件给出两个方程,三个未知数zyx,，当然，zyx,的具体数值是不能求出的.但是 ,我们固定其中一个，不防固定x，那么zy,都可以用x来表示，于是u便是x的函数了（需注意x的取值范围） ，从而我们根据已知条件，可求出u的最大值与最小值. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页第 2 页 共 5 页1.2 二次函数的最大值与最小值一般地， 求二次函数02acbxaxy的最大值与最小值，都是根据二次函数的性质和图象来求解， 即有：若a0，则当x= ab2
4、时，y有最小值为abac442；若a0，则当x= ab2时，y有最大值abac442. 这里我们给出另一种求二次函数最值的方法判别式法. 例 3. 已知x1, x2是方程0)53()2(22kkxkx(k是实数）的两个实数根，求2221xx的最大值与最小值. 分 析 ： 一 般 地 , 二 次 函 数0)()()(3221yfxyfxyf, 若 方 程 有 实 根 , 其 判 别 式)()(4)(3122yfyfyf 0. 如果关于y的不等式0, 可以解出y的取值范围， 便可求出函数)(xfy的最值，这就是求函数最值的判别式法.解：由于二次方程有实根，所以=)53(4)2(22kkk 0 解得
5、4k34则2122122212)()(xxxxxxkf)53(2)2(22kkk19)5(2k由于)(kf在34,4上是减函数 ,可见当4k时，)(kf=2221xx有最大值18， 当34k时，)(kf=2221xx有最小值950. 1.3 三角函数的最大值与最小值三角函数的最值问题题型广，涉及的知识面宽，而且在解法上灵活多变，能较好的体现数学思想方法的应用，因而一直是学习中的热点和重点. 例 4. 已知函数2)cos(sin22sinaxxxy,设xxtcossin，当t为何值时， y 取得最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -
6、第 2 页，共 5 页第 3 页 共 5 页解：)4sin(2cossinxxxt, 22txxxt2sin1cossin212即有12sin2tx1)1(212222atatty, 22t当1t时，y取得最小值12a. 说明：求三角函数的最值时，方法很多，而在代数中求最值的方法均适用，如配方法（注意三角函数的取值范围） ，换元法（注意换元后的范围），判别法，重要不等式（注意取等号的条件）等等，这里不再赘述，只列举出几种常见的三角函数及最值的求法：（1）)cos(sinbxabxay或型，利用三角函数的值域，须注意对字母的讨论. （2）xbxaycossin型，先引进辅助角化成22bay)si
7、n(x，再利用有界性. （ 3）cxbxaysinsin2型，配方后求二次函数的最值，须注意1sinx的约束 . （ 4）dxcbxaysinsin型，反解出xsin，化归为1sin x解决 . (5) dxcbxaycossin)sincos(dxcbxay或型，化归为ygxsin利用三角函数的有界性求解，或用数形结合法 . (6) cxxbxxaycossin)cos(sin型， 常用到换元法， 令xxtcossin，2t. 1.4 分式函数的最大值与最小值求分式函数22221121cxbxacxbxay的最大值与最小值问题，常用到的办法是去分母后，化为关于x的二次方程，然后用判别式0，得
8、出y的取值范围，进而求出y的最大值和最小值. 例 5. 求函数1223222xxxxy的最值 . 解：去分母，整理得0)3()1(2)12(2yxyxy当21y时，这是一个二次方程，因x是实数，所以判别式0. 即=0)3)(12(4)1(22yyy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页第 4 页 共 5 页解得14y当;314xy时，当.21xy时，由此即知 , 当31x时，y取最小值 -4；当2x时，y取最大值1. 说明：本题求最值的方法叫判别法，是一种常用的方法，但在用判别法时，应特别注意这个最值能否取到，即是否有与
9、最值相应的x值. 2. 一类无理函数的最值问题无理函数的最值是高中数学教学的一个难点，其形式多样， 解法繁杂， 学生在解题时常感困惑，下面就研究一类形如dcxbaxy)0,(acRdcba的无理函数最值的解法. 例 6. 求函数)64(3184xxxy的最值，以及y取最值时x的值 . 解法 1. 利用判别式显然0y，两边平方得)318)(4(2)214(2xxxy移项，平方整理得048428)1764(162422yyxyx由0)48428(64)1764(2422yyy得802y又0)318)(4(2)214(2xxxy及0y得2214xy222y当x=6 时，2m iny；当x=29时，2
10、2maxy. 解法 2. 巧用三角变换. 设2sin4yx, 2cos318yx则42sin4yx，42cos318yx.消去x得43)43(cos4cossin3622442y. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页第 5 页 共 5 页当43cos2时，即29x时，22maxy；当0cos2时，即x=6 时，2miny. 解法 3. 善用导数 . 导数是高中数学中的重要内容，用导数研究函数的性质尤其是函数最值问题成为强有力的手段，要重视导数在解决一些复杂的函数最值上的作用，善于运用它体念它独特的解题魅力，能使问题得
11、到简洁，完美的解决. 对原函数求导可得xxy31823421令0y得29x又6,4x计算端点和导数为零的函数值得6|4xy，2|6xy，22|29xy. 由此可得当x=29时，22maxy，当x=6 时，2miny. 3. 其它函数的最值问题处理一般函数的最大值与最小值，我们常常用不等式来估计上界或下界，进而构造例子来说明能取到这个最大值或者最小值。例 7. 设x是正实数，求函数xxxy12的最小值 . 解：先估计y的最小值1)21() 12(2xxxxy11)1()1(22xxx又当1x时，1y. 所以y的最小值为1. 说明：在求最小（大）值，一定要举例说明这个值是能取到的，才能说这就是最小（大）值，否则就不一定对了，例如，本题我们也可以这样估计：3)21() 12(2xxxxy33)1()1(22xxx但无论x取什么值时，y取不到3，即3不能作为y的最小值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页