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1、学习必备欢迎下载求解三角函数最值问题常见的八种策略例 1若| | x4，那么函数fxxx()cossin2的最小值是A.212 B.221 C.1 D.122解将原函数配方得f xx( )(sin)12542. 由于| |sin|xx422，所以. 当sin x22时，fxmin( )122. 选 D. 小结配方法是一种对数学式子进行定向变形(配成“完全平方” )的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简 .何时配方， 需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、 “配”与“凑”的技巧，从而完成配方.化为一个角的三角函数策略例 2已知函数( )2sin()cosf xxx. (1
2、) 求( )f x的最小正周期. (2) 求( )f x在区间,6 2上的最大值和最小值. 解 (1)2sincos2sincossin2fxxxxxx， 函数( )fx的最小正周期为. (2) 由2623xx，3sin212x. ( )f x在区间,62上的最大值为1，最小值为32. 小 结将 复 杂 的 三 角 函 数 式 化 为 “ 统 一 ” 的 形 式 ：sin()yAx，cos()yAx，从而探求其周期性、单调性以及最值等性质，这是近几年高考对三角函数考查的重要形式.尽管转化的途径不同，有的用向量运算来转化，有的用三角恒等变形精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归
3、纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学习必备欢迎下载来转化，有的则在三角形中进行转化，但实质上都是考查模型sin()yAx和cos()yAx的应用 .利用换元法策略例 3求函数yxx12的最值 . 解令xcos ，0，则ycossinsin24. 由于45440，则有，故max242y（仅当时），min5144y（仅当时）. 小结换元转化、整体代换的方法可以将三角函数问题转化为代数函数(如二次函数等)问题，也可以利用三角函数通过三角换元转化为三角函数求最值.利用有界性策略例 4求函数yxxsincos12的最值 . 解将原函数变形为sincosxyxy21，即sin()ar
4、ctanxyyy1212（其中）. 由11121)sin(2yyx，得. 将上述式子两边平方，整理得034y. 故034maxminyy，. 小结(1)求函数的值域要重视运用三角函数的有界性(|sin| 1,|cos| 1xx)与单调性，并结合函数的图像进行分析；(2)不仅应该重视直接运用有界性探求三角函数式的取值范围，而且要善于运用反控的方法，运用函数的有界性构造关于y的不等式 (组)，以探求函数的值域.利用数形结合策略例 5求函数yxxsincos2的最值 . 解将原函数变形为)2(cos0sinxxy. 上式可看作点)02()sin(cos，和点，BxxA的精选学习资料 - - - -
5、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页学习必备欢迎下载连线的斜率， 而点 A是单位圆xy221上的动点 . 由右图可知， 过点B()20，作圆的切线时，斜率有最值.由几何性质有3333minmaxyy，. 小结通过图像进行直观化研究，结果一目了然.利用基本不等式策略例 6若 x(0，2) ，则 2tanx+tan(2-x) 的最小值为 . 解由(0,)2x，可知1t a n0 ,t a n ()c o t0 ,2t a n所以2t a nt a n ()212t a n22 ,t a n当且仅当tan2时取等号，即最小值为2 2. 小结由基本不等式求
6、最值可分为三步：第一步，检查字母是否全正(即所求平均值的各个量都是正数).第二步，凑定值，当凑出的和为定值时，其对应各个量的积有最大值；当凑出的积为定值时，其对应各个量的和有最小值.第三步，取等号，即只有当对应各个量取得等号时，才有最值存在，否则，没有最值存在.以上三步可简化为“一正” “ 二定” “ 三相等” ， 三者缺一不可 .利用单调性策略例 7求函数yxxlogsinlogsin2211在46x的最值 . 解原函数可化为yxlog cos2，此函数在40，上递增，在06，上递减，所以yymaxmin012，. 小结将复杂函数的单调性问题转化为两个简单函数的单调性问题，从而运用复合函数精
7、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页学习必备欢迎下载的单调性的法则加以解决，这种分解转化策略在数学解题中是非常重要的.事实上，这是一种建立“中途点”的处理策略， 即要实现从A 到 B 的目标，可以将整体任务分解为一个个的“小”任务，也就是在起点与终点之间建立“接应站“，从而减小跨度，降低难度.利用图像的性质策略例 8求函数fxaxx( )sincos242的最大值和最小值. 解原函数可化为yf xxaxxaa( )sinsin(sin).241212222设sin xtt，则，11并且yg ttaa( )().21222
8、1a当时，如下图所示，max(1)34yga有，min( 1)34 .yga当时，如下图所示，有11 ayg aayggminmax( )()( )12112，为和中的较大者，即max34 ( 10)yaa，max34 (01)yaa. 1a当时，如下图所示，有max( 1)34yga，min(1)34 .yga小结研究表达式较为复杂的三角函数的值域(最值 )时，我们通常先对表达式进行化简，这种先简化问题，再在最简形态下进行研究的策略，在数学解题中有着广泛的应用.解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页学习必备欢迎下载答本题关键根据图像抓住动对称轴与定区间的关系.本题通过二次函数的图像确定解题思路，直观、清晰，体现了数形结合的优越性.同学们要特别注意，在求二次函数在闭区间上的最值时，首先要确定二次函数在闭区间上的增减情况，再确定在何处取得最值.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页