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1、向量的乘法运算向量的乘法运算 一一物物体体在在常常力力F作作用用下下沿沿直直线线从从点点1M移移动动到到点点2M，以以s表表示示位位移移，则则力力F所所作作的的功功为为 cos|sFW (其中其中 为为F与与s的夹角的夹角)启示启示向向量量a与与b的的数数量量积积为为ba cos|baba (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)实例实例两向量作这样的运算两向量作这样的运算, 结果是一个数量结果是一个数量.定义定义一、两向量的数量积一、两向量的数量积向量向量a与与b的的向量积向量积为为 bac sin|bac (其其中中 为为a与与b的的夹夹角角)定义定义c的的方方向向既既垂垂直直于于a，又又垂
2、垂直直于于b，指指向向符符合合右右手手系系. .向量积也称为向量积也称为“叉积叉积”、“外积外积”.二、两向量的向量积二、两向量的向量积补充说明补充说明|ba 表表示示以以a和和b为为邻邻边边的的平平行行四四边边形形的的面面积积.abbac 向量积符合下列运算规律：向量积符合下列运算规律：（1）.abba （2）分配律：分配律：.)(cbcacba （3）若若 为数：为数： ).()()(bababa , 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba证证ba/ba/或或0 )(关于向量积的说明：关于向量积的说明：. 0)1( aa)0sin0(
3、ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba,kajaiaazyx kbjbibbzyx 设设 ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, jik , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量积的坐标表达式向量积的坐标表达式向量积的坐标表示：向量积的坐标表示：向量积还可用三阶行列式表示向量积还可用三阶行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaaxb、yb、zb不不能能同同时时为为零零，
4、但但允允许许两两个个为为零零，例如，例如，ABC解解D3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB三角形三角形ABC的面积为的面积为|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD例例 5 5 设设向向量量pnm,两两两两垂垂直直，符符合合右右手手规规则则，且且4| m，2| n，3| p，计计算算pnm )(.解解),sin(|nmnmnm , 8124 0),( pnm pnm )( cos|pnm .2438 依依题题意意知知nm 与与p同同向向，定义定义 设已知三个向量设已知三个向量a、b、c，数量
5、，数量cba )(称为这三个向量的称为这三个向量的混合积混合积，记为，记为cba. .cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,kajaiaazyx ,kbjbibbzyx 设设,kcjcicczyx 混合积的坐标表达式混合积的坐标表达式三、向量的混合积三、向量的混合积（1）向量混合积的几何意义：）向量混合积的几何意义： 向向量量的的混混合合积积cbacba )(是是这这样样的的一一个个数数，它它的的绝绝对对值值表表示示以以向向量量a、b、c为为棱棱的的平平行行六六面面体体的的体体积积.acbba 关于混合积的说明：关于混合积的说明：)2(cbacba )(acb )(.)(b
6、ac （3）三三向向量量a、b、c共共面面. 0 cba 已已知知2 cba， 计计算算)()()(accbba .解解)()()(accbba )(accbbbcabaccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例6向量的数量积向量的数量积向量的向量积向量的向量积向量的混合积向量的混合积（结果是一个数量）（结果是一个数量）（结果是一个向量）（结果是一个向量）（结果是一个数量）（结果是一个数量）（注意共线、共面的条件）（注意共线、共面的条件）四、小结四、小结思考题思考题已已知知向向量量0 a，0 b，证证明明2222)(|bababa .思考题解答思考题解答)(sin|,2222bababa )(cos1|,222baba 22|ba )(cos|,222baba 22|ba .)(2ba 21 结束语结束语