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1、平面解析几何：平面解析几何： 点点 有序数对（有序数对（a a，b b） 平面曲线平面曲线 第八章第八章 空间解析几何与向量代数空间解析几何与向量代数( )( , )0yf xF x y空间解析几何：空间解析几何：平面解析几何：平面解析几何： 点点 有序数对（有序数对（a a，b b） 平面曲线平面曲线 ( )( , )0yf xF x y2. 数乘的运算规律数乘的运算规律:(1) 结合律:auauau)()()(2) 分配律:auaau)(baba )(1. 定义定义 实数与向量的乘积为一个向量.记为 模为aa| | | | |aaa( 0)(二二) 数与向量的乘法数与向量的乘法(简称数乘运
2、算简称数乘运算) 实质实质 “伸缩伸缩”考虑考虑: 向量 与 的关系？aa e a结论：aaa e 10,aa 规定 当则aaea定理定理: 两个非零向量 平行.ba存在唯一实数，使得(方向相同或相反)ba与例例1 在平行四边形ABCD中, 设AB=, AD =ab试用表示向量MA,MB,MC和MD.ba和解:ba由= AC = 2MC有MC = )(21ba又 = BD = 2MDab)(21ab有MD = MB = MD )(21)(21baab)(21baMA = MC abDABCMyz O（三）空间直角坐标系（三）空间直角坐标系ijk空间直角坐标系空间直角坐标系,称称 坐标系，坐标系
3、， 或或 坐标系坐标系.点点O叫做坐标原点叫做坐标原点(或原点或原点)Oxyz,;kjiO向量及其线性运算向量及其线性运算以 分别表示沿x, y, z轴正向的单位向量, 称为基本单位向量. 三个坐标轴的三个坐标轴的正正方向符合方向符合右手规则右手规则x轴轴轴轴轴轴, ,i j k 由三条坐标轴的任意两条确定的平面, 称为坐标面, 分别叫xoy面. yoz面、zox面, zIVVIVVII0 xyVIIIIIIIII它们将空间分成八个卦限.1. 坐标面坐标面2.空间向量空间向量(点点)的坐标表示的坐标表示 OM = OP + PN +NM= OP + OQ + OR= xi + yj + zkN
4、RQPOxyzMoKH 给定点M，对应有向量OM 设OP=xi，OQ=yj，OR=zk，定义: 有序数x, y, z称为 OM 的坐标，记为OM=（x,y,z） 也称为 点M的坐标，记为M(x,y,z)空间的点空间的点有序数组有序数组),(zyx 11（坐标分解式）（坐标分解式）特殊点的表示特殊点的表示:坐标轴上的点坐标轴上的点,P,Q,R)0 , 0 , 0(O坐标面上的点坐标面上的点,A,B,COxyzB), 0(zyR), 0 , 0(zA)0 ,(yxQP)0 , 0 ,(x ),(zyxM( ,0, )xzr)0 , 0(yQC点点M(2, - -3, 1)分别关于分别关于坐标原点坐
5、标原点、 xOy面面、 y 轴轴的对称点是的对称点是( )(A) (- -2, 3, - -1); (B) (- -2, - -3, - -1);(C) (2, -3-3, - -1); (D) (- -2, 3, 1).),(zyxaaaa ),(zyxbbbb ),(zzyyxxbabababa ),(zzyyxxbabababa ),(zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 向量及其线性运算向量及其线性运算（四）（四）利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算（坐标分解式）（坐标分解式）
6、由由按坐标表示式即为按坐标表示式即为: zzyyxxababab 当分母有一个为零理解为分子也为零当分母有一个为零理解为分子也为零.注注向量及其线性运算向量及其线性运算也即向量也即向量 与与 对应的坐标成比例对应的坐标成比例: ba 设向量设向量 定理定理.ab 使使ab则则存在唯一的实数存在唯一的实数 , 0 a ),(zyxbbb(,)(,)xyzxyzaaaaaa 解解 AM MB设设),(zyxM为直线上的点为直线上的点,oxyzAB例例3 已知两点已知两点),(),(222111zyxBzyxA和和以及实数以及实数, 1 在直线在直线AB上求点上求点M, 使使MBAM ),(111z
7、zyyxx ),(222zzyyxx ),(111zzyyxx ),(222zzyyxx 1xx )(2xx ,121 xxx,121 yyy.121 zzz同理同理,得得M 特别当特别当 时，时，M点坐标点坐标1 (,)xxyyzz121212222五、向量的模、方向角、投影五、向量的模、方向角、投影 1. 向量的模与两点间的距离公式向量的模与两点间的距离公式222zyx),(zyxr 设则有OMr 222OROQOPxoyzMNQRP由勾股定理得),(111zyxA因AB得两点间的距离公式:),(121212zzyyxx212212212)()()(zzyyxx对两点与, ),(222zy
8、xB, rOM作BABAOAOBBAr OM = OP + PN +NMr 例例4 证明以M1(4, 3, 1), M2(7, 1, 2), M3(5, 2, 3)三点为顶点的三角形是一个等腰三角形.解:14) 12()31 ()47(|22221MM6)23() 12()75(|22232MM6) 13() 32()45(|22213MM由 |M2 M3 | = |M3 M1 |, 所以 M1 M2 M3 是等腰三角形.例例5 在z轴上求与两点 A(4, 1, 7) 和B(3, 5, 2)等距离的点.解: 设该点为M(0, 0, z)由题设 |MA| = |MB|.即:222222)2()0
9、5()03()7()01 ()04( zz解得:914z所求点为 M (0, 0, )914oyzx设有两非零向量 ,ba任取空间一点 O ,aOA作,bOBOAB称 =AOB (0 ) 为向量 ba,的夹角. ),(ab或类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . ,0),(zyxr给定与三坐标轴的夹角 , , rr称为其方向角方向角.cosrx222zyxx方向角的余弦称为其方向余弦方向余弦. 记作),(ba2. 方向角与方向余弦方向角与方向余弦oyzxrcosry222zyxycosrz222zyxz1coscoscos222方向余弦的性质:的单位向量向量 rerrr)cos,cos,(co
10、s例例7 已知两点M1(2, 2, )和M2(1, 3, 0). 计算向量M1 M2的模, 方向余弦和方向角.2 解: M1 M2 = (1, 1, )2|M1 M2 |=; 24)2(1) 1(222;22cos ,21cos ,21cos43 ,3 ,32解解: 已知角依次为,43求点 A 的坐标 . ,43则222coscos1cos41因点 A 在第一卦限 , 故,cos21于是(6,21,22)21)3,23,3(故点 A 的坐标为 . )3,23,3(向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹 ,6AO且OAOAAO例8 设点 A 位于第一卦限,空间一点在轴上的投影空间一点在轴上的投影u过
11、点过点A作轴作轴u的垂直平面的垂直平面,即为点即为点A在轴在轴u上上A 交交点点的的投影投影.空间一向量在轴上的投影空间一向量在轴上的投影轴轴u称为投影轴称为投影轴.已知向量的起点已知向量的起点A和终点和终点B在轴在轴u上的投影分别为上的投影分别为BA ,那么轴那么轴u上的有向线段上的有向线段BA 的值的值, 称为向量在轴称为向量在轴u上的上的投影投影.3.向量在轴上的投影向量在轴上的投影 AA B A uABBA ABjuPr cos| AB Projection在轴在轴u上的上的向量向量AB轴与向量的夹角的余弦：轴与向量的夹角的余弦：向量向量AB在轴在轴u上的上的投影投影记为记为投影性质投
12、影性质1 1投影等于向量的模乘以投影等于向量的模乘以向量及其线性运算向量及其线性运算ABjuPr()uAB或投影有正、投影有正、注注负之分负之分;模只为正值模只为正值. cos|)(ABABu B A ABuu B )(Pr21aaju（可推广到有限多个）（可推广到有限多个） )(Praju 两个向量的和在轴上的投影等于两个向量两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影之和在该轴上的投影之和. 1Praju2PrajuajuPr 向量及其线性运算向量及其线性运算投影性质投影性质2 2投影性质投影性质3 3解解pnma 34)853(4kji )742(3kji )45(kji kji1
13、5713 向量及其线性运算向量及其线性运算,742,853kjinkjim 设设,45kjip 求向量求向量例例x轴上的轴上的pnma 34投影及在投影及在y轴上的分向量轴上的分向量.在在x轴上的投影为轴上的投影为,13 xa在在y轴上的分向量为轴上的分向量为.17 jjay 向量及其线性运算向量及其线性运算六、小结六、小结向量的概念向量的概念向量的线性运算向量的线性运算（注意（注意:与数量的区别与记法）与数量的区别与记法）(平行四边形法则平行四边形法则, 三角形法则三角形法则, 注意数乘后注意数乘后的方向的方向)空间直角坐标系空间直角坐标系 空间两点间距离公式空间两点间距离公式(注意它与平面
14、直角坐标系的注意它与平面直角坐标系的区别区别)(点、坐标轴、坐标面、卦限点、坐标轴、坐标面、卦限) 21221221221zzyyxxMM 向量在轴上的投影与投影性质向量在轴上的投影与投影性质.向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标向量在坐标轴上的分向量与向量的坐标.向量的模与方向角向量的模与方向角.(注意分向量与坐标的注意分向量与坐标的区别区别)向量及其线性运算向量及其线性运算利用坐标作向量的利用坐标作向量的线性运算线性运算. .思考题思考题1向量及其线性运算向量及其线性运算 解解对角线的长为对角线的长为|,|nm nm nm |nm |nmnm,2,kjnjim 设设求以向量求以向量nm,为边
15、的平行四边形的对角线的长度为边的平行四边形的对角线的长度.)1 , 1, 1( )1, 3 , 1( 平行四边形的对角线的长度各为平行四边形的对角线的长度各为.11, 3311|nm 2221)1(1 222)1(31)0 , 1 , 1( m)1 , 2, 0( n B 已知平行四边形的三个顶点已知平行四边形的三个顶点 则与顶点则与顶点B相对的第四个顶点相对的第四个顶点D为为 ( ).),(),(),(321rCrBrA提示提示 : ;)(321rrrA ;)(321rrrB ;)(321rrrC .)(321rrrD ).(,4321rDrrr设设均均为为向向径径、思考题思考题2向量及其线性运算向量及其线性运算DBCAO1r2r3r12,rrABOAB 由由4r|CDAB ,CDABABCD ,OCD 由由 CDrr34.321rrr 21rr 3r2112)(rrrr 思考题思考题2解答解答向量及其线性运算向量及其线性运算36 结束语结束语