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1、二次函数中考综合题1、 如图 11， 抛物线)1)(3(xxay与x轴相交于A、 B两点（点A在点 B右侧）， 过点 A的直线交抛物线于另一点C， 点 C的坐标为 （-2 ，6） ， (1) 求 a 的值及直线AC的函数关系式；(2)P 是线段 AC上一动点，过点 P作 y 轴的平行线，交抛物线于点M ，交 x 轴于点 N，求线段PM长度的最大值；在抛物线上是否存在这样的点M ，使得 CMP与APN相似？如果存在，请直接写出所有满足条件的点M的坐标（不必写解答过程） ；如果不存在，请说明理由。解： （1）由题意得 6=a(-2+3)(-2-1)a=-2 抛物线的函数解析式为y=-2(x+3)(
2、x-1)与 x 轴交于 B（-3，0） 、A（1，0）设直线 AC为 y=kx+b，则有 0=k+b，6=-2k+b 解得 k=-2 ，b=2 直线 AC为 y=-2x+2 （2） 设 P的横坐标为a(-2 a 1) ， 则 P （a,-2a+2 ） ，M （a,-2a2-4a+6 ） PM=-2a2-4a+6-(-2a+2)=-2a2-2a+4=-2a2+a+14+92=-2a+122+92 即：当 a=-12 时， PM的最大值为92。 M1 （0，6） ，M2 （-14 ，678）2、如图 9，已知抛物线y=12x2 2x1 的顶点为P，A为抛物线与y轴的交点，过A与y轴垂直的直线与抛物
3、线的另一交点为B，与抛物线对称轴交于点O，过点B和P的直线l交y轴于点C， 连结OC， 将ACO沿OC翻折后，点A落在点D的位置。 (1) 求直线l的函数解析式； (2) 求点D的坐标； (3) 抛物线上是否存在点Q，使得S DQC= SDPB? 若存在，求出所有符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由。解： (1) 配方 ,得y=12(x2)21，抛物线的对称轴为直线x=2，顶点为P(2 ，1) 。取x=0 代入y=12x22x1，得y=1，点A的坐标是 (0 ，1) 由抛物线的对称性知，点A(0 ， 1) 与点B关于直线x=2 对称，点B的坐标是 (4 ，1) 。设直线l的解析式为y=k
4、xb(k0)，将B、P的坐标代入，有14,12,kbkb解得1,3.kb直线l的解析式为y=x3。(2) 连结AD交OC于点E，点D由点A沿OC翻折后得到，OC垂直平分AD由(1) 知，点C的坐标为 (0， 3) ， 在 RtAOC中，OA=2，AC=4，即OC=25 据面积关系，有12OCAE=12OACA，AE=455，AD=2AE=855图 9 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页作DFAB于F，易证 RtADFRtCOA，AFDFADACO AO C，AF=ADO CAC=165，DF=ADO COA=85，
5、又 OA=1，点D的纵坐标为185= 35，点D的坐标为 (165，35) 。(3) 显然，OPAC，且O为AB的中点， 点P是线段BC的中点，SDPC= SDPB 故要使SDQC= SDPB，只需SDQC=SDPC 过P作直线m与CD平行， 则直线m上的任意一点与CD构成的三角形的面积都等于SDPC，故m与抛物线的交点即符合条件的Q点容易求得过点C(0 ， 3)、D(165，35) 的直线的解析式为y=34x 3，据直线m的作法，可以求得直线m的解析式为y=34x52令12x22x1=34x52，解得x1=2，x2=72，代入y=34x52，得y1= 1，y2=18，因此，抛物线上存在两点Q
6、1(2 ， 1)( 即点P) 和Q2(72，18) ，使得SDQC= SDPB。( 仅求出一个符合条件的点Q的坐标，扣1 分) 3、如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC在第一象限内，E是边OB上的动点（不包括端点），作AEF = 90，使EF交矩形的外角平分线BF于点F，设C（m，n） （ 1）若m = n时，如图，求证：EF = AE;（2）若mn时，如图，试问边OB上是否还存在点E，使得EF = AE？若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由 （3）若m = tn（t1）时，试探究点E在边OB的何处时，使得EF = （t + 1 ）AE成立？并求出点E的坐标（1）由题意得m = n
7、时，AOBC是正方形如图，在OA上取点C，使AG = BE，则OG = OE EGO = 45，从而AGE = 135由BF是外角平分线，得EBF = 135，AGE = EBF AEF = 90，FEB + AEO = 90在 RtAEO中，EAO + AEO = 90， EAO = FEB，AGEEBF，EF = AE（2）假设存在点E，使EF = AE设E（a，0） 作FHx轴于H，如图x O E B A y C F x O E B A y C F x O E B A y C F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 1
8、3 页由（ 1）知EAO = FEH，于是 RtAOERtEHFFH = OE，EH = OA 点F的纵坐标为a，即FH = a由BF是外角平分线，知FBH = 45，BH = FH = a又由C（m，n）有OB = m，BE = OBOE = ma，EH = ma + a = m又EH = OA = n， m = n，这与已知mn相矛盾因此在边OB上不存在点E，使EF = AE成立（3）如（ 2）图，设E（a，0） ，FH = h，则EH = OHOE = h + ma由 AEF = 90，EAO = FEH，得AOEEHF，EF = （t + 1 ）AE等价于FH = （t + 1 ）OE
9、，即h = （t + 1 ）a，且FHOEEHAO，即haamhn，整理得nh = ah + ama2，anamaanaamh)(2把h = （t + 1 ）a代入得atanama)1()(，即ma = （t + 1 ） （na） 而m = tn，因此tna = （t + 1 ） （na） 化简得ta = n，解得tnat1， tnnm，故E在OB边上当E在OB边上且离原点距离为tn处时满足条件，此时E（tn， 0） 4、已知：直线112yx与y轴交于A，与x轴交于D，抛物线212yxbxc与直线交于A、E，与x轴交于B、C两点，且B点坐标为（ 1，0） （1）求抛物线的解析式； （2）动点P
10、在x轴上移动，当PAE是直角三角形时， 求点P的坐标 （ 3）在抛物线对称轴上找一点M，使|AMMC的值最大， 求出点M的坐标解、 （1）将A（0，1） 、B（1， 0）坐标代入212yxbxc得：1102cbc解得321bc抛物线的解折式为213122yxx。y x O D E A B C x O E B A y C F G H x O E B A y C F 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页（2）设点E的横坐标为m，则它的纵坐标为213122mm则E（m，213122mm） 又点E在直线112yx上，2131
11、11222mmm解得10m（舍去），24mE的坐标为（ 4，3） 。（）当A为直角顶点时：过A作1APDE交x轴于1P点，设1(0)P a，易知D点坐标为（2，0） 由RtRtAODPOA得DOOAOAOP即211a，a211102P，。（）同理，当E为直角顶点时，2P点坐标为（112，0） （）当P为直角顶点时，过E作EFx轴于F，设3( 0)P b，由90OPAFPE，得OPAFEPRtRtAOPPFE由AOOPPFEF得143bb解得11b，23b此时的点3P的坐标为（ 1，0）或（ 3，0） 综上所述，满足条件的点P的坐标为（21，0）或（ 1，0）或（ 3，0）或（112，0）（）抛
12、物线的对称轴为32xB、C关于x23对称，MCMB要使|AMMC最大，即是使|AMMB最大由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AMMB的值最大。易知直线AB的解折式为1yx由132yxx得3212xyM（23，21） 。5、在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=2(1)(0)a xc a与 x 轴交于 A、B两点 ( 点 A在点 B的左侧 ) ， 与 y 轴交于点C， 其顶点为M,若直线 MC的函数表达式为3ykx, 与 x 轴的交点为N， 且 COS BCO3 1010。 (1) 求此抛物线的函数表达式；(2) 在此抛物线上是否存在异于点C的点 P，使以 N、 P、C
13、为顶点的三角形是以NC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标：若不存在，请说明理由；(3) 过点 A作 x 轴的垂线，交直线MC于点 Q.若将抛物线沿其对称轴上下平移，使抛物线与线段NQ总有公共点，则抛物线向上最多可平移多少个单位长度?向下最多可平移多少个单位长度? y x O D E A B C P1 F P2 P3 M 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 13 页6、已知：抛物线2yaxbxc与x轴
14、交于A、B两点，与y轴交于点C 其中点A在x轴的负半轴上，点C在y轴的负半轴上，线段OA、OC的长（OAOC）是方程2540 xx的两个根，且抛物线的对称轴是直线1x （1）求A、B、C三点的坐标； （2）求此抛物线的解析式；（3）若点D是线段AB上的一个动点（与点A、B不重合），过点D作DEBC交AC于点E，连结CD，设BD的长为m，CDE的面积为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围 S是否存在最大值？若存在，求出最大值并求此时D点坐标；若不存在，请说明理由解： （
15、1）OA、OC的长是x25x+4=0 的根，OAOC，OA=1，OC=4 点A在x轴的负半轴，点C在y轴的负半轴A（ 1，0）C（ 0， 4）抛物线2yaxbxc的对称轴为1x，由对称性可得B点坐标为（ 3，0）即A、B、C三点坐标分别是：A（ 1，0） ，B（3，0） ，C（0， 4）（2）点C（0， 4）在抛物线2yaxbxc图象上4c将A（ 1，0） ，B（3，0）代入24yaxbx得043904baba解之得3834ba 所求抛物线解析式为：438342xxy（ 3）根据题意，BDm，则4ADm，在 RtOBC中，BC=22OCOB=5 DEBC，ADEABC，即ABADBCDE也即5
16、(4)20544AD BCmmDEAB过点E作EFAB于点F，则 sin EDF=sin CBA=54BCOC54DEEF，EF=54DE=452054m=4m即SCDE=S ADCSADE=21（4m） 421（4m） （ 4 m）=21m2+2m（0m4）S=21（m2）2+2，a=210，当m=2 时，S有最大值2. 即：点D的坐标为（ 1，0）. 7、如图9，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点(3 3)A， （1）求正比例函数和反比例函数的解析式；（2）把直线OA向下平移后与反比例函数的图象交于点(6)Bm，求m的值和这个一次函数的解析式；（3）第（ 2）问中的一次函数的图象与x
17、轴、y轴分别交于C、D，求过A、B、D三点的二次函数的解析式；（4）在第（ 3）问的条件下，二次函数的图象上是否存在点E，使四边形OECD的面积1S与四边形OABD的面积 S满足：123SS？若存在， 求点E的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）设正比例函数的解析式为11(0)yk x k，因为1yk x的图象过点(3 3)A，所以133k，解得11k这个正比例函数的解析式为yxy x B D O A E C y x O C D B A 3 3 6 y x A F O D B E C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 1
18、3 页设反比例函数的解析式为22(0)kykx因为2kyx的图象过点(3 3)A，所以233k，解得29k这个反比例函数的解析式为9yx（ 2）因为点(6)Bm，在9yx的图象上，所以9362m，则点362B，设一次函数解析式为33(0)yk xb k因为3yk xb的图象是由yx平移得到的，所以31k，即yxb又因为yxb的图象过点362B，所以362b，解得92b，即：一次函数的解析式为92yx（ 3） 因 为92yx的 图 象 交y轴 于 点D， 所 以D的 坐 标 为902， 设 二 次 函 数 的 解 析 式 为2(0)yaxbxc a因为2yaxbxc的图象过点(3 3)A，、36
19、2B，、和D902，所以933336629.2abcabcc，解得1249.2abc，这个二次函数的解析式为219422yxx（4）92yx交x轴于点C，点C的坐标是902，如图所示，15113166633322222S99451842814假设存在点00()E xy，使12812273432SS四边形CDOE的顶点E只能在x轴上方，00y，1OCDOCESSS01991922222y081984y081927842y，032y00()E xy，在二次函数的图象上，2001934222xx解得02x或06x当06x时，点362E，与点B重合，这时CDOE不是四边形，故06x舍去，点E的坐标为3
20、22，y x O C D B A 3 3 6 E 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页8、如图， 已知抛物线2yxbxc经过(1 0)A ，(0 2)B，两点， 顶点为D （1）求抛物线的解析式； （2）将OAB绕点A顺时针旋转90后，点B落到点C的位置， 将抛物线沿y轴平移后经过点C，求平移后所得图象的函数关系式；（ 3）设（ 2）中平移后，所得抛物线与y轴的交点为1B，顶点为1D，若点N在平移后的抛物线上，且满足1NBB的面积是1NDD面积的 2倍，求点N的坐标解： （1）已知抛物线2yxbxc经过(10)(0
21、2)AB，01200bcc解得32bc所求抛物线的解析式为232yxx（2）(10)A ，(0 2)B，12OAOB，可得旋转后C点的坐标为(31)， 当3x时，由232yxx得2y，可知抛物线232yxx过点(3 2)，将原抛物线沿y轴向下平移1 个单位后过点C平移后的抛物线解析式为：231yxx（3）点N在231yxx上，可设N点坐标为2000(31)xxx，将231yxx配方得23524yx，其对称轴为32x当0302x时，如图，112NBBNDDSS，00113121222xx，01x此时200311xx，N点的坐标为(11)，。当032x时，如图，同理可得0011312222xx03
22、x，此时20031 1xx，点N的坐标为(31)，综上，点N的坐标为(11)，或(31)，9、如图（16） ，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于AB、两点，D为抛物线的顶点，O为坐标原点若OAOB OAOB、（）的长分别是方程2430 xx的两根，且45DAB （1）求抛物线对应的二次函数解析式；（2）过点A作ACAD交抛物线于点C，求点C的坐标；（3）在（ 2）的条件下，过A作直线l交线段CD于点P，求CD、到直线l的距离分别为12dd、，试求12dd+的最大值y x B A O D （第 26 题）y x C B A O N D B1D1图y x C B A O D B1D1图
23、N 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页解： （1） 解方程2430 xx得13xx或，而OAOB，则点A的坐标为( 10)，点B的坐标为(3 0)，过点D作1DDx轴于1D，则1D为AB的中点1D的坐标为(1 0)，又因为11452DABADDD ，D的坐标为(12)，令抛物线对应的二次函数解析式为2(1)2ya x抛物线过点( 1 0)A，则042a，得12a故抛物线对应的二次函数解析式为21(1)22yx（或写成21322yxx） 。（2）90CAADDAC， 14545DABCAD ， 令点C的坐标为()mn
24、，则有1mn点C在抛物线上，21(1)22nm化简得2450mm解得51mm，（舍去），故点C的坐标为(5 6)，（3）由（ 2）知6 2AC，而2 2AD，224 5DCADAC过A作AMCD1122ACADDCAM ，246 554 5AMADCAPDAPCSSS，12111222ACADAPdAPd 1224245244 56 5ddAPAM即此时12dd的最大值为4 510、如图 12，已知二次函数cbxxy221(0)c的图象与x 轴的正半轴相交于点A、 B，与 y 轴相交于点C，且OBOAOC2(1) 求 c 的值； (2) 若 ABC的面积为3，求该二次函数的解析式； (3)设
25、D是(2) 中所确定的二次函数图象的顶点，试问在直线AC上是否存在一点 P使 PBD的周长最小 ?若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由yCl xBPDO 图（ 16）图精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页11、 （2008 四川省广安市）如图10，已知抛物线2yxbxc经过点（ 1，-5 ）和（ -2 ，4）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页（1）求这条抛物线的解析式（2） 设此抛物线与直线yx相交于点A，B（点B在点A的右侧
26、）， 平行于y轴的直线051xmm与抛物线交于点M，与直线yx交于点N，交x轴于点P，求线段MN的长（用含m的代数式表示） （3）在条件（ 2）的情况下，连接OM、BM，是否存在m的值，使BOM的面积S最大？若存在，请求出m的值，若不存在，请说明理由12、 （重庆市） 已知：如图，在平面 直 角 坐 标 系xOy中 ， 矩 形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在x轴的正半轴 上 ，OA=2 ，OC=3过原点O作AOC的平分线交AB于点D，连接DC，过点D作DEDC， 交OA于点E（ 1）求过点E、D、C的抛物线的解析式；（ 2）将EDC绕点D按顺时针方向旋转后，角的一边与y轴的正半轴交于点
27、F，另 一 边 与 线 段OC交于点G如果DF与（ 1）中的抛物线交于另一点M，点M的横坐标为65，那么EF=2GO是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（ 3）对于（ 2）中的点G，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q，使得直线GQ与AB的交点P与点C、G构成的PCG是等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由解： （1）由已知，得(3 0)C，(2 2)D，90ADECDBBCD，1tan2tan212AEADADEBCD即：(0 1)E，26 题图y x D B C A E O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
28、- - - -第 12 页，共 13 页设过点EDC、的抛物线的解析式为2(0)yaxbxc a将点E的坐标代入，得1c将1c和点DC、的坐标分别代入，得42129310.abab，解这个方程组，得56136ab故抛物线的解析式为2513166yxx（2）2EFGO成立点M在该抛物线上，且它的横坐标为65，点M的纵坐标为125设DM的解析式为1(0)ykxb k，将点DM、的坐标分别代入，得1122612.55kbkb，解得1123kb，DM的解析式为132yx(0 3)F，2EF过点D作DKOC于点K，则DADK90ADKFDG，FDAGDK又90FADGKD，DAFDKG1KGAF即1GO
29、2EFGO（3）点P在AB上，(10)G ，(3 0)C， 则设(12)P ，222(1)2PGt，222(3)2PCt，2GC若PGPC，则2222(1)2(3)2tt，解得2t(2 2)P，此时点Q与点P重合(2 2)Q，若PGGC，则22(1)22t，解得1t，(12)P ，此时GPx轴GP与该抛物线在第一象限内的交点Q的横坐标为1，点Q的纵坐标为73713Q，若PCGC，则222(3)22t，解得3t，(3 2)P，此时2PCGC，PCG是等腰直角三角形过点Q作QHx轴于点H，则QHGH，设QHh，(1)Q hh，2513(1)(1)166hhh解得12725hh，（舍去）12 755Q，综上所述，存在三个满足条件的点Q，即(2 2)Q，或713Q，或12755Q，y x D B C A E O F K G y x D B C A E O Q P H G (P)(Q)Q (P)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页