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1、同济高等数学第六版上册同济高等数学第六版上册2222,( ),(),.d yddyd fyfxdxdx dxdx 3333,( ),d yd fyfxdxdx 同理二阶导数的导数称为三阶导数同理二阶导数的导数称为三阶导数. . 记为记为 函数函数 y =(x) 的导数的导数 仍仍 x 是的函数是的函数. 若若 在点在点 x 处仍可导处仍可导, 则称则称 在在 x 处的导数为函数处的导数为函数 y =(x) 在在 x 处处的二阶导数的二阶导数 . 记为记为( )fx( )fx( )fx一、高阶导数的概念一、高阶导数的概念三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数. .记为记为44(4)
2、(4)44,( ),d yd fyfxdxdx【分析】注意对于抽象函数求高阶导数【分析】注意对于抽象函数求高阶导数, 往采用递推法往采用递推法.2( ) ( )fxf x 解解22( ) ( ) ( ) ( )fxf xf xfx24( )2 3 ( )( )3! ( ) ,fxf xfxf x ( )1 ( )! ( ) nnfxnf x 故故32 ( )f x2( ) ( )fxf x 例例5 (x)具有任意阶导数具有任意阶导数, 且且 , 则当则当n 是是( )( ). nfx大于大于2的正整数时的正整数时, 求求(x)的的n 阶导数阶导数抽象函数求高阶导数抽象函数求高阶导数 ( )(
3、)dyfxdxf x 解解2222( )( )( )( )d yfx f xfxdxfx 已知已知( ) ( )0, ln ( ), fxf xyf x 存存在在，且且22 .d ydx求求( )( )f xfxe 解解 2( )( )( )( )f xf xfxefxe 2( )3( )( )2( )2f xf xfxefxe ( )1( ) ( )( 1)(1)!nnnf xfxne 故故( )( ),(0)1f xfxef 设设(x)具有任意阶导数具有任意阶导数, 且且 , 则求则求( )(0). nf(4)3( )4( )( )3 2( )3 2,.,f xf xfxefxe 所以所以
4、( )1 (0)( 1)(1)!nnnfne 2( ) ( ) ( )2( ),( ).nyf xfxfxfx 足足求求2 ( )2( ),fxfx 解解223( )2( )2 2 ( )( )2 2( )fxfxf x fxfx 2322( )2 2( )2 23( )( )fxfxfx fx342 3!( )fx ( )1:( )2!( ).nnnfxn fx 猜猜想想(1)1121() ,1( )2!( ) 2!(1)( )( ) 2(1)!( ) nnnnnnnnnnfxn fxn nfx fxnfx 时时成成立立 条条件件 ；假假设设 成成立立 对对有有成成立立. .2. 高阶导数的
5、运算法则高阶导数的运算法则设设 u = u(x), v = v(x)都都 n 阶可导阶可导, 则则()()()()nnnuvuv (1)()()()(nnCuCuC (2) 为常数为常数 )(0)(0)(1)(1),.!knn nnkuu vv Ck ()()()0()nnknkknkuvC uv (3)其中其中 上述的乘积公式称为上述的乘积公式称为莱布尼兹公式莱布尼兹公式.( )sin()2nuxn ( )2,2 ,0(3)nvxvvn 例例6 设设 , , 求求 . .2sinyxx (10)y 解解令令 , 则则2sin,ux vx 由莱布尼兹公式由莱布尼兹公式(10)0(10)(0)1
6、(9)2(8)101010yC uvC u vC u v 210 9sin(10) 10 2 sin(9)2sin(8)2222xxxxx 2sin20cos90sinxxxx 2 2(20,. xyx ey ）设设求求解解 设设22,xuevx 则则( )22kkxue 2,vx 2 ,v ( )0kv 代入莱布尼兹公式代入莱布尼兹公式 , 得得(20)202219218220 19220 22222!xxxyexexe 20222(2095)xexx (1, 2 , 20 )k (3 , 20)k 3. .间接法间接法: :利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, , 通过四则运算通
7、过四则运算, , 变量代换等变量代换等方法方法, , 求出求出n 阶导数阶导数. . 常用高阶导数公式常用高阶导数公式:( )(1)()=ln( 0)xnxnaaaa( )()=xnxee( )(2)(sin)=sin(+)2nnkxkkxn( )(3)(cos)=cos(+)2nnkxkkxn( )(4)()= ( -1)( - +1)nnxnx ( )-1(1)!(5)(ln )=(-1)nnnnxx ( )11!( )=(-1)nnnnxx 21.1ynx 求求函函数数的的 阶阶导导数数例例721111()2 111yxxx 因因为为 解解( )11!1( 1)( )(0,1,2,)2 (1)(1)nnnnnynxx 得得 ( )-1(1)!(6)(ln 1)(-1)1nnnnxx （）（）( )11!()=(-1)11（）nnnnxx ( )11!()=11（）nnnxx )( )( )ln3ln1nnnyxx（所所以以 (1)(1)(1)!(1)!( 1)( 1)(3)(1)nnnnnnxx 2ln23.yxxn 求求函函数数的的 阶阶导导数数ln3ln1yxx 因因为为 解解19 结束语结束语