《2022年梅开萍“导数在分析研究函数中的应用”教学案例 .pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年梅开萍“导数在分析研究函数中的应用”教学案例 .pdf（7页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、1 / 7 “ 导数在研究函数中的应用” 教案案例导言： 高中数学内容抽象，推理严谨，应用广泛，难教难学，已成为横跨在相当一部分学子面前一道难以逾越的“ 坎” ，不少学生不免谈 “ 数” 色变，敬而远之，乃至发出数学在时时“ 折磨我们 ” 的惊叹 !笔者从大学毕业一直从事中学数学的课堂教案与教案研究，通过几年的探索发现：要想提高课堂效率，就必须改变传统的“填鸭式”教案让学生成为课堂的主人，并积极引导学生要善于从数学的基本问题与特点出发，善于用数学的思想与方法驾驭数学知识！设计理念： 根据新课程高中数学的教案实际及本节课的内容特点，本课时的教案先从几个基本问题入手，在解决基本问题的过程中唤起学生
2、对基础知识、基本方法、基本技能的回顾，充分体现了 “ 学数学就是做数学 ” 的理念 .；通过变式训练来凸现“数学思维与思想方法”、显现数学问题的紧密联系性，让学生初步感知数学的自然、简约与美好；通过学生自编练习来培养学生的发散性思维和创造性潜能. 教案目标：1、知识目标：掌握利用导数求函数单调区间、极值、最值的一般方法，理解极值、最值区别与联系. 2、能力目标：通过本节内容的教案，渗透数形结合、化归等重要数学思想，增强学生数形结合能力与化归意识，培养学生的创造性潜能. 3、情感目标：通过利用表格研究函数单调性与数形结合的应用，让学生亲身体验数学的简约美，感受极值、最值的和谐统一美，激发学生“学
3、好数学”的情趣，增强学生“学好数学”的信心. 教案重点： 能利用导数求一些初等函数的单调区间、极值、最值. 教案难点： 导数在研究函数中的综合应用. 教案过程实录：1 基本问题：再现知识，夯实“ 双基”教师：牛顿、莱布尼兹创立了微积分，导数作为微积分的重要组成部分，进入了中学教材，有了导数这个工具，我们研究函数如虎添翼.这节课我们从一个基本问题出发，来一次利用导数研究函数的探索之旅.请看下面的问题：问题1 已知函数. （1） 求单调区间； 2）的极值 . 学生1板演）：解： 1）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 7 页2
4、/ 7 令得：或；令得：的单调递增区间为，单调递减区间为2）由1）可知，当时，有极大值；当时，有极小值. 教师：你能根据已经解决的两个问题，画出的大致图象吗？学生众：能！教师：请画出的大致图象 一名学生到黑板上画）教师：请大家对这位同学画的图与屏幕上“ 几何画板 ” 画的图作一下比较 对学生画的图的评价略）教师：从的图象看，在上有无最大值、最小值？学生2：由于的图象无最高点、最低点，所以在上无最大值、最小值 . 教师：很好 .如果将定义域限制在闭区间上呢？学生3：在闭区间上必有最大值和最小值. 教师：为什么？学生3：是可导函数，在闭区间上连续，所以必有最大值和最小值. 教师：不错，这位同学的基
5、本功很扎实.现在请同学们解决问题 2. 问题2 求函数，的最大值、最小值 . 学生4板演）：在问题 1的基础上，列表如下：1 2 -1 O 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 7 页3 / 7 0 0，），2）2 2，）4 0 0 0 0 . 学生3：利用的图象可以直接求出的无最大值、最小值 . 教师：太棒了！学生 4从数的角度解决了问题 2，学生 3从形的角度解决了问题2.如果把这两位同学结合起来，也就是把数跟形结合起来了.学生4采用了表格，不仅单调性表示得很清楚，而且最大值、最小值也很明显，真可谓是“ 一举两得 ” ；而
6、学生 3采用图象，让我们从直观上看到函数增减性很最值，可谓是各有千秋啊！他们的共同点是：简洁明了. 教师：力求简约，追求卓越，是数学的一大魅力.数学实际上很美，只是我们缺少了审美的眼光！有人说数学是无声的诗、立体的画，而我个人认为数学如同音乐般美丽，可以说“ 音乐是感性的数学，数学乃理性的音乐” ，你听说过吗？学生众：没有！教师：要学好数学、玩好数学，我们需要一双慧眼，去努力发掘蕴涵数学之中的美 如图形美、结构美、对称美、简洁美、和谐美等等，要学会处处体验数学的自然、简约与美好！教师：问题 1与问题 2说明利用导数可以研究函数的哪些性质？如何研究？学生众：其一，求函数的单调区间；其二，求函数的
7、极值；其三，求函数的最值 .方法从略）教师：这三类问题是利用导数研究的主要问题，刚才同学们归纳得相当不错，表明大家对导数的应用有了较深刻的认识. 教师：学数学如果到这里就停下来，那你肯定称不上是一个数学“ 高手” ，至少你是一个学数学很累的人！那么怎样才能学好数学？我们不仅要掌握数学的知识，而且更要增强用数学思维去理解、思考与解决问题的意识！下面我们将问题 1、2进行变式，首先将的解读式中的一次项系数改为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 7 页4 / 7 ，就成为含参数的函数了，得到如下的变式1，请同学们思考 . 2 变式
8、练习：知识迁移，触类旁通变式1 已知函数在1，2）上为减函数，在 2，）上为增函数，求实数的值. 学生5：，由已知，是的极小值点，所以，得. 教师：这样做有没有缺陷？学生3：还要检验，不过经过检验室符合的. 教师：很好，如果去掉 “ 在：由已知，对恒成立，所以，解得. 教师：我们暂时把这个问题搁置一下，来研究函数在上的单调性与其导函数的关系 . 学生：，所以函数在上是减函数 . 教师：回头看前面的解法有无问题？学生1：有点小问题 .应该是对恒成立，下同 . 学生2：我还有一种解法 .由前面的解法，得对恒成立，而当时，所以. 教师：已知含参数的函数在某区间上是增减）函数，求参数的范围问题，通常利
9、用 “ 若是非常数函数，且为可导函数，则在某区间上是增 减）函数某区间上恒有”.转化为含有参数的不等式恒成立问题，学生 1利用了二次函数的图象的性质，学生2利用了参数分离法，都是常用的方法.再来解决变式 2. 变式2 已知函数在处有极小值，求的值. 学生6板演）：.令，得或.由已知精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 7 页5 / 7 .是函数的极小值点，. 教师：变式 2是问题 2第2）小题的逆向问题：已知含参数的函数的极值点，求参数问题 .请同学们归纳解决的策略. 学生7：利用 “ 可导函数在点处有极值的必要条件是” 得到
10、关于参数的方程，解出方程的根，再检验. 教师：完全正确，再来解决变式3. 变式3 设函数，是否有 “ 对任意不等式恒成立.” 请说明理由 . 学生3：由问题 3知，在上的最大值为，最小值为 0，所以对任意恒有. 教师：这种方法你是怎么想到的？学生3：从的图象得到启发 . 教师：讲得很在理，函数图象是研究函数不可或缺的工具，在今后可别忘了它的作用！变式 3实际上是证明某区间上任意两个函数值的差的绝对值小于某正常数，我们的策略是转化为证明最大值与最小值的差小于此正常数，当然有一个前提是 学生众：在此区间上有最大值与最小值 . 学生1：我的想法是将，代入，行吗？教师：这位同学爱动脑筋，这种方法请课后
11、取探讨.现在请同学们编一道题目，就叫变式 4吧. 3编题练习：提升能力，发展思维学生4：我编的题目是： 变式4）已知函数的图象与直线有相异的三个公共点，求实数的取值范围 .改为有相异的两个公共点呢？改为有相异的一个公共点呢？教师：你们觉得这位同学编的题目如何？学生：很有创意！教师：同学们还可以编出许多其他问题，请课后继续研究，现在请同学们精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 7 页6 / 7 解决这个问题 变式4）. 学生：由图象可得当时，函数的图象与直线有相异的三个公共点；当或时，有相异的两个公共点；当或时，有一个公共点 .
12、 教师：学生 4编的题目是方程的根的个数问题，可以归结为函数的极值问题，同学们既能编题，也能解题，体现了较高的数学素质.现在请同学们谈谈学习这节课的感受 . 4体验过程：完善学生认知，发展学生能力学生4：想不到我也会编题 . 学生2：许多利用导数研究函数的问题可以归结为三类基本问题：求单调区间、求极值与求最值 . 学生5：在解决数学问题时，我们要注意各个问题的内在联系与不同之处，今后我要加强变式练习和编题练习. 学生6：利用导数解决学生 2提出的三类基本问题的一般步骤为：1）求导函数2）列表或作图来分析原函数的单调性3）在定义域范围内具体解决问题.具体方法从略）教师：非常好！前面几位同学都发表
13、自己的感受，也总结了本节课的主要内容.我想其他同学也一定有自己的感受，课后大家要好好交流交流，这节课我们就上到这里！5教案反思：1、本节课没有采用传统的数学复习课教案模式：知识归纳例题讲解 反馈练习，而是一开始呈现了问题1和问题 2，在解决问题的同时唤起学生对基础知识、基本方法、基本技能的回顾，充分体现了“ 学数学就是做数学 ” 的理念 .然后，以学生的已有知识利用导数能求单调区间、极值、最值这一认知基础出发，让学生在新的问题情境中，引导学生运用作图、猜想、归纳、验证等方法解决问题，在问题解决过程中获得新知，让学生逐渐体会到数学问题的紧密联系，从而进一步完善数学认知结构 .如果我们长期坚持这样
14、去做，学生的创造潜能一定会得到充分发展. 2、如果说数学新授课教案实现知识“ 从薄到厚 ” 的话，那么数学复习课教案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 7 页7 / 7 应实现 “ 从厚到薄 ”.本节课紧紧抓住了利用导数研究函数的三类基本问题这一核心，变式 1和变式 2作为这三类问题的逆向问题，解决问题的思想方法与原问题一脉相承，变式 3和变式 4最终可以转化为这三类问题，正所谓“ 万变不离其宗 ” .变式教案在培养学生数学技能和思维品质等方面不仅非常有效，而且非常实用，在教案中我们一定要充分运用.在复习课中，从一个有价值的
15、基本问题出发，进而变换问题的条件、结论、逆向思维、变更设问方式，这样复习课就会成为学生数学探究的重要阵地. 3、对于基础较好的班级，还可以让学生探究如下变式：当时，求证：不等式对恒成立 .一方面，引导学生从形的角度去探索，可以利用 “ 几何画板 ” 进行动态演示，揭示问题的几何背景；另一方面，引导学生从数的角度去探索，把问题转化为函数的最值问题，进一步让学生感悟转化思想 . 4、教无定法，教师应根据本班的实际情况灵活安排教案步骤，切实把关注学生的发展放在首位来考虑，并依此制定合理而科学的教案计划.如，对于较好的班级，则可以优先发展，采取居高临下的教案思路，先整体把握再对比击破，或是将其纳入整体结构系统，采取类比的学习方式；而对于基础较薄弱的班级，则应以提高学习兴趣、教会学习、培养成功体验为主，千万不可拔苗助长，以防物极必反 . 总体来讲，我在教案中深刻的体会到新教材与以往的不同，新教材以学生为本的教案理念始终贯穿本课.我对自己教授本课基本上是满意的，完成了制定的教案目标 .但有些细节还有待完善，在今后的工作中我将会改进.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 7 页