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1、向量法向量法-求二面角的大小求二面角的大小空间向量法空间向量法-求二面角的大小求二面角的大小 “空间向量法空间向量法”- -求二面角的大小,这个方法求二面角的大小,这个方法在这几年高考解题中经常被不少考生运用在这几年高考解题中经常被不少考生运用【例例1】如图,在五面体】如图,在五面体ABCDEFABCDEF中中, FA, FA平面平面ABCDABCD , ADBCFE, ADBCFE , , ABAD ABAD,AFAF=ABAB=BCBC=FEFE= AD.AD. (1) (1)求二面角求二面角A-CD-EA-CD-E的余弦值的余弦值. .ABDCFE21【例例1】如图,在五面体】如图,在五
2、面体ABCDEFABCDEF中中, FA, FA平面平面ABCDABCD , ADBCFE, ADBCFE , , ABAD ABAD,AFAF=ABAB=BCBC=FEFE= AD.AD. (1) (1)求二面角求二面角A-CD-EA-CD-E的余弦值的余弦值. .A11112BDCFE21KA(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).A(0,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),E(0,1,1).解:解:以点以点A A为原点为原点, , 建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系, ,设设AD=2, AD=2, 则则 BADCzyxFE设设 平面平
3、面ACDACD的一个法向量为的一个法向量为n1 1 =(x(x1 1,y,y1 1,z,z1 1) ), , 平面平面CDECDE的一个法向量为的一个法向量为n2 2 =(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), ), 另外另外 AFAF =(0,0,1), (0,0,1), (0,-1,1)(0,-1,1)CECE =DEDE =(-1,0,1) (-1,0,1) 由由 , ,得得 n2 CECE = 0 n2 DEDE = 0又又 AF平面平面ABCD AF是平面是平面ACD的一个法向量的一个法向量 , n1 1 =(0,0,1). (0,0,1). -x2+z2 = 0-y2+z2=
4、 0得得x2=z2 y2=z2令令z2 2= 1, 1, 则则 n2 2 =(1,1,1), (1,1,1), 11111【例例1】如图,在五面体】如图,在五面体ABCDEFABCDEF中中, FA, FA平面平面ABCDABCD , ADBCFE, ADBCFE , , ABAD ABAD,AFAF=ABAB=BCBC=FEFE= AD.AD. (1) (1)求二面角求二面角A-CD-EA-CD-E的余弦值的余弦值. .21n1 1 n2 2| |n1 1| | |n2 2| | cos cos = 1 1 3 31 1= 3 3 3 3=由条件知由条件知, ,二面角二面角A-CD-EA-C
5、D-E为锐角,为锐角, 所求二面角的余弦值为所求二面角的余弦值为 3 3 3 3211【练习练习1】 如下图如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中中, ABC=90O , SA面面ABCD,SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面求面SCD与面与面SBA所成二面角的正切值所成二面角的正切值 .21ABCDSABCDS1112 1【练习练习1】 如下图如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中中, ABC=90O , SA面面ABCD,SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面求面SCD与面与面SBA所成二面角的正切值所成
6、二面角的正切值 .21【练习练习1】 如下图如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中中, ABC=90O , SA面面ABCD,SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面求面SCD与面与面SBA所成二面角的正切值所成二面角的正切值 .21ABCDS1112 1zxyABCDS1112 1zxy(1) 解解:以点以点A为原点为原点,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系 A-xyz,得得: A(0,0,0), B(0,1,0),C(1,1,0), S(0,0,1), 设设 平面平面SCDSCD的一个法向量为的一个法向量为n1 1 =(x(x1 1,y
7、,y1 1,z,z1 1) ), ,由由 , ,得得 n1 SCSC = 0 n1 SDSD = 0另外另外 SCSC =(1,1, -1) , SDSD =( ,0,-1), 2 1得得y1=-z1 x1=2z1令令z1 1= 1, 1, 则则 n1 1 =(2,-1,1), (2,-1,1), x1+y1- z1=0 0 x1-z1 = 0 02 1 平面平面SBASBA的一个法向量为的一个法向量为n2 2 =(x(x2 2,y,y2 2,z,z2 2), ), 又又 BC平面平面SBA BC是平面是平面SBA的一个法向量的一个法向量 .BCBC =(1,0, 0) , n2 2 =(1,
8、0,0), (1,0,0), D( ,0,0) 21【练习练习1】 如下图如下图, 在底面是直角梯形的四棱锥在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中中, ABC=90O , SA面面ABCD,SA=AB=BC=1, AD= .(1) 求面求面SCD与面与面SBA所成二面角的正切值所成二面角的正切值 .21n1 1 n2 2| |n1 1| | |n2 2| | cos cos = 6 62 2=1 1= 3 36 6 得得 tanq q = 2 22 2 所求面所求面SCDSCD与面与面SBASBA所成二面角的正切值是所成二面角的正切值是2 22 2设设 所求面所求面SCDSCD与面与面SBAS
9、BA所成二面角的大小为所成二面角的大小为q, q, 由图形知由图形知q q是锐角是锐角, , cosq q = 3 36 6【练习练习2】 已知点已知点E、F分别是正方体分别是正方体ABCD-A1B1C1D1的棱的棱BB1、CC1上的点上的点, 且且 BE1=2EB, CF=2FC1 .(1) 求面求面AEF与面与面ABC所成二面角的正切值所成二面角的正切值 .【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-
10、N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .BDCPMAN【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(1) 证明证明: PA底面底面ABCD, N为为BC的中点的中点. PAAN又又 菱形菱形ABCD, ABC=60O . ANAD AN平面平面PAD又又 PAAD=A ,N【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱
11、锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(2) 分析分析:N【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(2)
12、 分析分析:N【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(2) 分析分析: N? 平面平面AMC或或 C? 平面平面AMN N? 平面平面APC或或 C? 平面平面AMN或或 平面平面C? 平面平面AMN平面平面N?平面平面APCNF【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱
13、形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(2) 分析分析: N? 平面平面AMC则则 NE平面平面APCE或或 C? 平面平面AMN N? 平面平面APC或或 C? 平面平面AMN平面平面NAC平面平面APC 或或 平面平面C? 平面平面AMN平面平面NAC 平面平面APC = AC作作 NEAC于于E ,则则 NFAM作作 EFAM于于F ,NFE是二面角是二面角C-AM-N的一个的一个平面角平面角N(2) 求二面角求二面角C
14、-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .FABDCPME(2) 解解: PA底面底面ABCD, N为为BC的中点的中点.PA底面底面ANC又又 M为为PC的中点的中点, PA平面平面AMC 底面底面ANC平面平面AMC又又 底面底面ANC平面平面AMC = AC则则 NE平面平面APC作作 NEAC于于E ,则则 NFAM作作 EFAM于于F , NFE是二面角是二面角C-AM-N的一个平面角的一个平面角.【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M
15、,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.N(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .FABDCPME(2) 解解: NFE是二面角是二面角C-AM-N的一个平面角的一个平面角. 菱形菱形ABCD的边长为的边长为2, ABC=60O , PA=2 ,M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.在在NFE中中, 可得可得: tanNFE= AMAQ NE=32342, EF= 32342= 63 二面角二面角C-AM-N的大小是的大小是 arctan63【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形
16、的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.N(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPM(2) 分析分析:【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.如何如何 运用运用”空间向量法空间向量法”, 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小?N(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN
17、平面平面PAD .ABDCPMN(2) 解解:【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.以点以点A为原点为原点,建立如图的空间直角坐标系建立如图的空间直角坐标系 A-xyz ,空间向量法空间向量法-求二面角的大小求二面角的大小 建建系系; 求求坐标坐标; 求求法向量法向量; 求求夹角夹角; 得得结论结论. 小结小结运用这个方法解题的五个基本步骤基本步骤: 本节课学习了:求本节课学习了:求“二面角的大小二面角的大小”的一个方法的一个方法“空间向量法空间向量法”F【练习练习3】 如图如图, 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中中, 底面是边长为底面是边长为2的菱形的菱形, ABC=60O , PA底面底面ABCD,PA=2, M,N分别为分别为PC,BC的中点的中点.(2) 求二面角求二面角C-AM-N的大小的大小 .(1) 证明证明: AN平面平面PAD .ABDCPMN(2) 分析分析:E32 结束语结束语