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1、椭圆与双曲线常见题型归纳一. “曲线方程 +直线与圆锥曲线位置关系” 的综合型试题的分类求解1.向量综合型例 1.在直角坐标系xOy中，点P到两点(0,3),(0,3)的距离之和为4， 设点P的轨迹为C,直线1ykx与C交于,A B两点。（）写出C的方程 ; （）若OAOBuu u ruu u r，求k的值。例 1. 解:（） 设 P（x，y） ，由椭圆定义可知，点 P 的轨迹 C 是以(03) (03)，为焦点，长半轴为2 的椭圆它的短半轴222( 3)1b，故曲线 C 的方程为2214yx（）设1122(,),(,)A x yB xy，其坐标满足22141.yxykx，消去 y 并整理得2
2、2(4)230kxkx，故1212222344kxxx xkk，若OAOBuuu ruuu r，即12120 x xy y而2121212()1y yk x xk xx，于是22121222233210444kkx xy ykkk，化简得2410k，所以12k例 2设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点 . （）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPFuuu r u uu u r的最大值和最小值; （）设过定点)2,0(M的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点） ，求直线l的斜率k的取值范围例 2解：（）解法一：易知2,1,3abc精选学习资料 - - -
3、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页所以123,0 ,3,0FF，设,P x y，则22123,3,3PFPFxyxyxyu uu r uuu u r2221133844xxx因为2,2x，故当0 x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPFu uu r u uu u r有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPFuu u r u uu u r有最大值1解法二：易知2,1,3abc，所以123,0 ,3,0FF，设,P x y，则22212121212121212cos2PFPFF FPFPFPFPFF PFPFPFPFPFuuu ru
4、uu u ruu uu ru uu r uuu u ru uu ru uu u ruuu ruuu u ruuu ruuu u r2222221331232xyxyxy（以下同解法一）（）显然直线0 x不满足题设条件，可设直线1222:2,lykxA x yB xy，联立22214ykxxy，消去y，整理得：2214304kxkx12122243,1144kxxxxkk由2214434304kkk得：32k或32k又000090cos000A BA BOA OBu uu r uuu r12120OA OBx xy yuuu r uuu r又2121212122224y ykxkxk x xk
5、xx22223841144kkkk22114kk2223101144kkk，即24k22k故由、得322k或322k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页例 3 设1F、2F分别是椭圆1422yx的左、右焦点，)1,0(B（）若P是该椭圆上的一个动点，求12PFPFuuu r uuu u r的最大值和最小值; （）若C 为椭圆上异于B 一点，且11CFBF，求的值；（）设P 是该椭圆上的一个动点，求1PBF的周长的最大值. 例 3解：（）易知2,1,3abc，所以123,0 ,3,0FF, 设,P x y, 则22123
6、,3,3PFPFxyxyxyu uu r uuu u r2221133844xxx因为2,2x，故当0 x，即点P为椭圆短轴端点时，12PFPFu uu r u uu u r有最小值2当2x，即点P为椭圆长轴端点时，12PFPFuu u r u uu u r有最大值1（）设C（0 x0，y） ，) 1,0(B13,0F由11CFBF得1,)1(300yx，又142020yx所以有0762解得)01(7舍去（） 因为|P1F| |PB|4|PF2| |PB|4|BF2|1PBF周长 4 |BF2|B1F| 8所以当 P 点位于直线BF2与椭圆的交点处时，1PBF周长最大，最大值为 8例 4已知中
7、心在原点的双曲线C 的右焦点为 (2,0)，右顶点为)0,3(1) 求双曲线C 的方程；(2) 若直线 l：2kxy与双曲线C 恒有两个不同的交点A 和 B，且2OBOA(其中O 为原点 )，求 k 的取值范围。例 4解：（）设双曲线方程为22221xyab).0,0(ba由已知得.1,2,2,32222bbaca得再由故双曲线C 的方程为.1322yx（）将得代入13222yxkxy.0926)31 (22kxxk由直线 l 与双曲线交于不同的两点得2222130,(62 )36(13)36(1)0.kkkk即.13122kk且设),(),(BBAAyxByxA，则精选学习资料 - - -
8、- - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页226 29,22,1313ABABABABkxxx xOA OBx xy ykku uu r uuu r由得而2(2)(2)(1)2 ()2ABABABABABABx xy yx xkxkxkx xk xx2222296237(1)22.131331kkkkkkk于是222237392,0,3131kkkk即解此不等式得.3312k由、得.1312k故 k 的取值范围为33( 1,)(,1).33例 5已知椭圆2222byax（ab0）的离心率36e，过点A（0，- b）和 B（a，0）的直线与原点的距离为
9、23（1）求椭圆的方程（2）已知定点E（- 1，0） ，若直线ykx2（k 0）与椭圆交于C、D 两点问：是否存在 k 的值，使以CD 为直径的圆过E 点?请说明理由例 5解析：（1）直线 AB 方程为： bx- ay- ab0依题意233622baabac，解得13ba，椭圆方程为1322yx4 分（2）假若存在这样的k 值，由033222yxkxy，得)31(2k09122kxx0)31(36)12(22kk设1(xC，)1y、2(xD，)2y，则2212213193112kxxkkxx，8 分而4)(2)2)(2(212122121xxkxxkkxkxyy要使以 CD 为直径的圆过点E（
10、- 1， 0） ，当且仅当CEDE 时，则1112211xyxy，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页即0) 1)(1(2121xxyy10 分05)(1(2)1(21212xxkxxk将式代入整理解得67k经验证，67k，使成立综上可知，存在67k，使得以CD 为直径的圆过点E13 分2 “中点弦型”例 6. 已知椭圆22143xy，试确定m的值，使得在此椭圆上存在不同两点关于直线4yxm对称。例 6. 解：设1122(,),(,)A x yB xy，AB的中点00(,)M xy，21211,4AByykxx而221
11、13412,xy22223412,xy相减得222221213()4()0,xxyy即1212003(),3yyxxyx，000034,3xxm xm ym而00(,)M xy在椭圆内部，则2291,43mm即2 32 31313m例 7.已知双曲线的中心在原点，焦点在x轴上，离心率3e，焦距为32（I）求该双曲线方程 . （II）是否定存在过点P 1 (，1）的直线 l 与该双曲线交于A，B两点，且点P是线段 AB 的中点？若存在，请求出直线l 的方程，若不存在，说明理由. 例 7.（1）1222yx（2）设),(),(2211yxByxA，直线：kkxy1，代入方程1222yx得02)1(
12、)1(2)2(222kxkkxk（022k）则12)1(2221kkkxx，解得2k，此时方程为03422xx，0方程没有实数根。所以直线l 不存在。例 8已知椭圆的中心在原点，焦点为 F1()02 2， F2（0，2 2） ，且离心率e2 23。（I）求椭圆的方程；（II）直线 l（与坐标轴不平行）与椭圆交于不同的两点A、B，且线段AB 中点的横坐标为12，求直线l 倾斜角的取值范围。例 8解：（I）设椭圆方程为yaxbcca222212 22 23，由已知，又精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 9 页解得a=3，所以 b
13、=1，故所求方程为yx22914 分（II）设直线l 的方程为ykxb k()0代入椭圆方程整理得()kxkbxb22292905 分由题意得()()()24990291222122kbkbxxkbk7 分解得kk33或又直线 l 与坐标轴不平行故直线 l 倾斜角的取值范围是()()32223，12 分3 “弦长型”例 9直线 ykxb 与椭圆2214xy交于 A、B 两点，记 AOB 的面积为S(I)求在 k0，0 b1 的条件下， S 的最大值；（ )当 AB 2，S 1 时，求直线AB 的方程例 9(I)解：设点A 的坐标为 (1(, )x b，点 B 的坐标为2(, )x b，由221
14、4xy，解得21,22 1xb所以222121|21112Sb xxbbbb当且仅当22b时， S 取到最大值1（）解：由2214ykxbxy得222(41)8440kxkbxb2216(41)kbAB222212216(41)1|1241kbkxxkkyxOAB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页又因为 O 到 AB 的距离2|21|1bSdABk所以221bk代入并整理，得424410kk解得，2213,22kb，代入式检验，0 故直线 AB 的方程是2622yx或2622yx或2622yx或2622yx例 10已
15、知向量1mu r=（0，x） ，1nr=（1，1） ，2mu r=（ x，0） ，2nr=（y2，1） （其中x，y是实数），又设向量mu r= 1mu r+22nr，nr=2mu r21nr，且mu r/nr，点 P（x，y）的轨迹为曲线 C. （）求曲线C 的方程；（）设直线1:kxyl与曲线 C 交于 M、N 两点，当 |MN |=324时，求直线l 的方程 . 例 10 解：（I）由已知，m22(0, )( 2,2),(2,2),xyyxn( ,0)(2,2)(2,2).xx4 分/ ,Q mn22(2)(2)(2)0yxx5 分即所求曲线的方程是：. 1222yx 7 分（）由. 0
16、4)21(:.1, 122222kxxkykxyyx得消去解得 x1=0, x2=212,(214xxkk分别为 M，N 的横坐标） . 9 分由,234|214|1|1|22212kkkxxkMN.1: k解得11 分所以直线 l 的方程 xy+1=0 或 x+y1=0. 12 分二 “基本性质型”例 11设双曲线1C的方程为22221(0,0)xyabab，A、B 为其左、右两个顶点，P 是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页双曲线1C上的任一点，引,QBPBQAPA， AQ 与 BQ 相交于点Q。（1）求 Q 点
17、的轨迹方程；（2）设（ 1）中所求轨迹为2C，1C、2C的离心率分别为1e、2e，当12e时，求2e的取值范围。例 11. 解： （1）设00(,),( ,)P xyQ x y(,0),( ,0),AaB aQBPBQAPA022002222000111yyxa xayyyyxaxaxa xaggg，2200221xyab，2202220ybxaa，22222yaxab，化简得：22224a xb ya，经检验，点(,0), ( ,0)aa不合题意，点Q 的轨迹方程为22224, (0)a xb yay（2） 由（ 1）得2C的方程为224221xyaab，422222222222111111
18、aaaabeabcae，12e，222112(2)1e，212e。例 12P为椭圆192522yx上一点，1F、2F为左右焦点，若6021PFF（1）求21PFF的面积；（2）求 P点的坐标例 12解析 ：a5，b3c4 （1）设11|tPF，22|tPF，则1021tt2212221860cos2 tttt，由2得1221tt3323122160sin212121ttSPFF（2）设P),(yx，由|4|22121yycSPFF得 433| y433| y433y，将433y代入椭圆方程解得4135x，)433,4135(P或)433,4135(P或)433,4135(P或精选学习资料 -
19、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页)433,4135(P例 13已知双曲线与椭圆1244922yx共焦点，且以xy34为渐近线，求双曲线方程(12分) 例 13 解析 ：由椭圆1244922yx5c设双曲线方程为12222byax，则253422baab16922ba故所求双曲线方程为116922yx例 14.k 代表实数，讨论方程22280kxy所表示的曲线 . 例 14 . 解：当0k时，曲线22184yxk为焦点在y轴的双曲线；当0k时，曲线2280y为两条平行的垂直于y轴的直线；当02k时，曲线22184xyk为焦点在 x轴的椭圆；当2k时，曲线224xy为一个圆；当2k时，曲线22184yxk为焦点在y轴的椭圆。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页