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1、1 / 10 概率论与数理统计作业班级姓名 学号 任课教师第四章随机变量的数字特征教案要求：一、理解随机变量数学期望和方差的概念，掌握数学期望和方差的性质与计算方法；二、了解0-1分布、二项分布、泊松分布、正态分布、均匀分布和指数分布的数学期望及方差；三、了解矩、协方差、相关系数的概念及性质，并会计算. 重点：数学期望与方差的概念和性质. 难点：相关系数练习一一维随机变量的数字特征1. 填空题1）将三个球随机地放到5 个盒子中去，则有球的盒子数的数学期望为61/252）若随机变量的分布律且，则，3）设随机变量，且，则,4）已知连续型随机变量的概率密度为，则1，1/25）设随机变量表示 10 次
2、重复独立射击命中目标的次数，且每次射击命中目标的概率为 0.4，则6）设随机变量服从参数为的泊松分布，且已知，则12在射击比赛中，每人射击4 次，每次一发子弹，规定4 弹全都不中得0 分，只中一弹得 15 分，中 2 弹得 30 分，中 3 弹得 55 分，中 4 弹得 100 分某人每次射击的命中率为0.6求他期望得多少分？解： 设表示射击 4 次得的分数，则的所有可能取值为且, , , 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 10 页2 / 10 ,所以3设随机变量的概率密度为求解：由于则4已知随机变量的概率分布律为：. 解
3、：。. 5设随机变量X 的概率密度为求 1）的期望； 2）的期望解： 1）-2 0 2 0.4 0.3 0.3 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 10 页3 / 10 2）6对球的直径做近似测量，设其值均匀分布在区间内，求球的体积的均值解： 设球的直径为,球的体积为,则,且于是练习二二维随机变量的数字特征1. 填空题1）设随机变量相互独立，方差分别为6 和 3，则272 ） 设 随 机 变 量相 互 独 立 ， 则23）设随机变量相互独立，且, 则随机变量的概率密度=4）设随机变量与相互独立，且，服从参数为3 的指数分布，
4、则5）设二维随机变量的相关系数为，与的方差分别为，则612设随机变量的概率密度为求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 10 页4 / 10 解：；。3设随机变量相互独立 ,概率密度分别为求解： 由于随机变量相互独立 , 则.4. 随机变量相互独立，并服从同一分布，数学期望为，方差为，求这些随机变量的算术平均值的数学期望及方差解： 由于随机变量相互独立，且，,，于是由性质得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 10 页5 / 10 ，. 5设连续型随机变量相
5、互独立，且均服从求解： 设,由于相互独立，且均服从则也服从正态分布，且即,于是. 综合练习题1甲乙两台机床生产同一种零件，在一天生产中的次品数分别记为，已知的概率分布分别下表所示如果两台机床的产量相同，问哪台机床较好？0 1 2 3 0.3 0.5 0.2 0 解：由于, 则甲机床生产中的次品数的均值大于乙机床生产中的次品数，所以乙机床较好。2 已 知 随 机 变 量的 概 率 密 度 为， 求及解：，0 1 2 3 0.4 0.3 0.2 0.1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 10 页6 / 10 . 3某人每次射击
6、命中目标的概率都是0.8，现连续向一目标射击，直到第一次命中目标为止，求射击次数的期望解： 设射击次数为,则的分布律为，；其中.于是. 提示：利用求幂级数的和函数的方法求数项级数的和）4设随机变量的概率密度为求，和解：；. 5设，求和精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 10 页7 / 10 解： 由于及由条件知,所以, .6. 假设一部机器在一天内发生故障的概率为0.2，机器发生故障时全天停止工作，若一周 5 个工作日无故障，可获利润10 万元，发生1 次故障，仍可获5 万元，发生2 次故障获利 0 万元，发生3次或 3 次
7、以上故障就要亏损2 万元，求一周内期望利润是多少？解： 设这部机器一周内有天发生故障，这一周的利润为万元。由题意知,且所以. 7. 市场上对某商品需求量为，每售出1 吨可得 3 万元，若售不出去而囤积在仓库中则每吨保养费1 万元，问需要组织多少货源，才能使收益最大？解： 设商品的货源量为, 销售商品的收益为万元 ,依题意有精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 10 页8 / 10 于是，由于令，得，且，所以当时，最大。8设X，Y相互独立，证明：证： 因为由于 X，Y相互独立，则, 又, , 于是. 9若随机变量的联合分布律为:
8、 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 10 页9 / 10 -1 0 1 -1 1/8 1/8 1/8 0 1/8 0 1/8 1 1/8 1/8 1/8 试证与既独立不也不相关证：的边缘分布律为-1 0 1 的边缘分布律为-1 0 1 由于，如，所以与不相互独立。又,的所有可能取值为，且, , 即的分布律为：-1 0 1 则, 于是,所以与不相关。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 10 页10 / 10 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 10 页