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1、 导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步导数和微分是继连续性之后，函数研究的进一步深化。深化。导数导数反映的是反映的是因变量相对于自变量变化的快因变量相对于自变量变化的快慢程度和增减情况慢程度和增减情况，而，而微分微分则是指明则是指明当自变量有微当自变量有微小变化时，函数大体上变化多少小变化时，函数大体上变化多少。重点重点导数与微分的定义及几何解释导数与微分的定义及几何解释导数与微分基本公式导数与微分基本公式四则运算法则四则运算法则复合函数求导的链式法则复合函数求导的链式法则高阶导数高阶导数隐函数和参量函数求导隐函数和参量函数求导难点难点导数的实质，用定义求导，链式法则导数的实质，用定义求
2、导，链式法则关于导数的说明：关于导数的说明： 导数概念是概括了各种各样的变化率而得出导数概念是概括了各种各样的变化率而得出的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量的一个更一般、更抽象的概念，它撇开了变量所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画所代表的特殊意义，而纯粹从数量方面来刻画变化率的本质变化率的本质.,0慢程度慢程度而变化的快而变化的快因变量随自变量的变化因变量随自变量的变化反映了反映了它它处的变化率处的变化率点导数是因变量在点点导数是因变量在点 x平平均均变变化化率率为为端端点点的的区区间间上上的的和和在在以以是是xxxyxy 00.)(,)(内内可可导导在在开开区区间间就就称称函函数
3、数处处都都可可导导内内的的每每点点在在开开区区间间如如果果函函数数IxfIxfy .)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或记记作作的的导导函函数数这这个个函函数数叫叫做做原原来来函函数数导导数数值值的的一一个个确确定定的的都都对对应应着着对对于于任任一一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或单侧导数单侧导数1.左导数左导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 2.右导数右导数:;)()(lim)()(lim)(00000000 xxfxxfxxxfxfxfxxx 函数
4、函数)(xf在点在点0 x处可导处可导左导数左导数)(0 xf 和右和右导数导数)(0 xf 都存在且相等都存在且相等.如如果果)(xf在在开开区区间间 ba,内内可可导导，且且)(af 及及)(bf 都都存存在在，就就说说)(xf在在闭闭区区间间 ba,上上可可导导.,),(),()(000可导性可导性的的讨论在点讨论在点设函数设函数xxxxxxxxf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf xxfxxfx )()(lim000若若xxxxx )()(lim000 ,)(0存存在在xf ,)()(00axfxf 且且则则)(xf在在点点
5、0 x可可导导， .)(0axf 且且三、由定义求导数（三步法）三、由定义求导数（三步法）步骤步骤:);()()1(xfxxfy 求求增增量量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求极极限限例例1 1.)()(的的导导数数为为常常数数求求函函数数CCxf 解解hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即例例2 2.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求设设函函数数解解hxhxxhsin)sin(lim)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即4
6、4cos)(sin xxxx.22 例例3 3.)(的的导导数数为为正正整整数数求求函函数数nxyn 解解hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx 例如例如,)( x12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 例例4 4.)1, 0()(的的导导数数求求函函数数 aaaxfx解解haaaxhxhx 0lim)(haahhx1lim0 .lnaax .ln)(aaaxx 即即特别地特别地.)(xxee 例例5 5.)1, 0(log的的导导数数求求函函数数 aaxya解
7、解hxhxyaahlog)(loglim0 xxhxhah1)1(loglim0 hxahxhx)1(loglim10 .log1exa .log1)(logexxaa 即即特别地特别地.1)(lnxx 例例6 6.0)(处处的的可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxf解解xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(点点不不可可导导在在函函数数 xxfy四、导数的几何意义与物理意义四、导数的几何意义与物理意义1.几何意义几何意义oxy)(xfy 0 xT )
8、(,tan)(,)(,()()(0000为倾角为倾角即即切线的斜率切线的斜率处的处的在点在点表示曲线表示曲线 xfxfxMxfyxfM且且有有限限时时若若0)(0 xf切线方程为切线方程为的的过过)(,(00 xfx).)(000 xxxfyy 法线法线（与切线垂直）（与切线垂直）方程为方程为).()(1000 xxxfyy 时时当当0)(0 xf切线方程为切线方程为)(0 xfy 法线方程为法线方程为0 xx 时时当当 )(0 xf切线方程为切线方程为0 xx 法线方程为法线方程为)(0 xfy 例例7 7.,)2 ,21(1方程和法线方程方程和法线方程并写出在该点处的切线并写出在该点处的切
9、线斜率斜率处的切线的处的切线的在点在点求等边双曲线求等边双曲线xy 解解由导数的几何意义由导数的几何意义, 得切线斜率为得切线斜率为21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切线方程为所求切线方程为),21(42 xy. 044 yx即即法线方程为法线方程为),21(412 xy. 01582 yx即即2.物理意义物理意义非均匀变化量的瞬时变化率非均匀变化量的瞬时变化率.变速直线运动变速直线运动: :路程对时间的导数为物体的路程对时间的导数为物体的瞬时速度瞬时速度.lim)(0dtdststvt 交流电路交流电路: :电量对时间的导数为电流强度电量对时间的导数为电流强度.lim)(
10、0dtdqtqtit 非均匀的物体非均匀的物体: :质量对长度质量对长度(面积面积,体积体积)的导的导数为物体的线数为物体的线(面面,体体)密度密度.五、可导与连续的关系五、可导与连续的关系定理定理 凡可导函数都是连续函数凡可导函数都是连续函数. .证证,)(0可可导导在在点点设设函函数数xxf)(lim00 xfxyx )(0 xfxy)0(0 x xxxfy )(0)(limlim000 xxxfyxx 0 .)(0连续连续在点在点函数函数xxf注意注意: : 该定理的逆定理不成立该定理的逆定理不成立.连续函数不存在导数举例连续函数不存在导数举例.,)()()(,)(. 1000函数在角点
11、不可导函数在角点不可导的角点的角点为函数为函数则称点则称点若若连续连续函数函数xfxxfxfxf xy2xy 0 xy 例如例如,0,0,)(2 xxxxxf.)(0,0的的角角点点为为处处不不可可导导在在xfxx )( .)(,)()(limlim,)(. 2000000不不可可导导有有无无穷穷导导数数在在点点称称函函数数但但连连续续在在点点设设函函数数xxfxxfxxfxyxxfxx 例如例如, 1)(3 xxf.1处不可导处不可导在在 x31 xyxy01.,)()(. 30点不可导点不可导则则指摆动不定指摆动不定不存在不存在在连续点的左右导数都在连续点的左右导数都函数函数xxf例如例如
12、,0, 00,1sin)( xxxxxf.0处处不不可可导导在在 x011/1/xy. )()(,)(. 4000不不可可导导点点的的尖尖点点为为函函数数则则称称点点符符号号相相反反的的两两个个单单侧侧导导数数且且在在点点若若xfxxxf xyoxy0 xo)(xfy )(xfy 例例8 8.0,0, 00,1sin)(处处的的连连续续性性与与可可导导性性在在讨讨论论函函数数 xxxxxxf解解,1sin是是有有界界函函数数x01sinlim0 xxx0)(lim)0(0 xffx.0)(处连续处连续在在 xxf处有处有但在但在0 xxxxxy 001sin)0( x 1sin.11,0之之间间振振荡荡而而极极限限不不存存在在和和在在时时当当 xyx.0)(处不可导处不可导在在 xxf六、小结六、小结1. 导数的实质导数的实质: 增量比的极限增量比的极限;2. axf )(0 )(0 xf;)(0axf 3. 导数的几何意义导数的几何意义: 切线的斜率切线的斜率;4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导函数可导一定连续，但连续不一定可导;5. 求导数最基本的方法求导数最基本的方法: 由定义求导数由定义求导数.6. 判断可导性判断可导性不连续不连续,一定不可导一定不可导.连续连续直接用定义直接用定义;看左右导数是否存在且相等看左右导数是否存在且相等.