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1、2010 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学数学 本试卷分第卷(选择题)和第卷（非选择题）两部分 第卷 1 至 2 页，第卷 3 至 4 页。 考试结束后，将本试卷降答题卡一同交回，满分 150 分，考试用时 120 分钟 注意事项： 1 答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号答题卡上 填写清楚，并认真找准条形码上的准考证号，姓名、考、谁座位号填写在规定的位置 贴好条形码。 2 每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，答在试卷的答案无效。 第第
2、卷卷 （选择题（选择题 共共 5050 分）分） 选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在，每小题给出的四个选项中， 参考公式： 如果事件 A、B 互斥，那么 球的表面积公式 P（A+B）=P(A)+P(B) S=4R2 如果事件 A、B 相互独立，那么 P（A-B）=P(A)-P(B) 一、选择题 （A） 1,4 （B） 1,5 （C）2,4 （D）2,5 【解析解析】 C C ：本题考查了集合的基本运算：本题考查了集合的基本运算. . 属于基础知识、基本运算的考查属于基础知识、基本运算的考查. . A=A=1,31,3。B=3,5B=3,5， 1,3,5AB ，()2
3、,4 U CAB 故选故选 C C . . （2）不等式 3 2 x x 0 的解集为 （A）23xx （B）2x x （C）23x xx 或 （D） 3x x 【解析解析】A】A ：本题考查了不等式的解法：本题考查了不等式的解法 3 0 2 x x ， 23x ，故选，故选 A A （3）已知 2 sin 3 ，则cos(2 )x （A） 5 3 （B） 1 9 （C） 1 9 （D） 5 3 【解析解析】B】B：本题考查了二倍角公式及诱导公式，：本题考查了二倍角公式及诱导公式， SINA=2/3SINA=2/3， 2 1 cos(2 )cos2(1 2sin) 9 （4）函数 y=1+ln
4、(x-1)(x1)的反函数是 （A）y= 1x e -1(x0) (B) y= 1x e +1(x0) (C) y= 1x e -1(x R) (D）y= 1x e +1 (x R) 【解析解析】D】D：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，：本题考查了函数的反函数及指数对数的互化，函数函数 Y=1+LNY=1+LN（X-1X-1）(X1)(X1)， 11 ln(1)1,1,1 yx xyxeye (5)若变量 x,y 满足约束条件 1 325 x yx xy 则 z=2x+y 的最大值为 （A）1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析解析】C】C：本题考查了线性规划的知识。：本题考查了线性
5、规划的知识。 作出可行域，作出目标函数线，可得直线与作出可行域，作出目标函数线，可得直线与 yx 与与3 25xy 的交点为最优解点，的交点为最优解点， 即为（即为（1 1，1 1） ，当，当 1,1xy 时时 max 3z (6)如果等差数列 n a中， 3 a+ 4 a+ 5 a=12，那么 1 a+ 2 a+ 7 a= （A）14 (B) 21 (C) 28 (D) 35 【解析解析】C】C：本题考查了数列的基础知识。：本题考查了数列的基础知识。 345 12aaa ， 4 4a 127174 1 7 ()728 2 aaaaaa （7）若曲线 2 yxaxb在点(0, )b处的切线方程
6、是10 xy ，则 （A）1,1ab (B) 1,1ab (C) 1,1ab (D) 1,1ab 【解析解析】A】A：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程：本题考查了导数的几何意思即求曲线上一点处的切线方程 0 2 x yxaa ， 1a ，(0, ) b 在切线在切线 10 xy ， 1b （8）已知三棱锥SABC中，底面ABC为边长等于 2 的等边三角形，SA垂直于底面 ABC，SA=3，那么直线AB与平面SBC所成角的正弦值为 （A） 3 4 (B) 5 4 (C) 7 4 (D) 3 4 【解析解析】D】D：本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。：
7、本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角。 过过 A A 作作 AEAE 垂直于垂直于 BCBC 交交 BCBC 于于 E E，连结，连结 SESE，过，过 A A 作作 AFAF 垂直于垂直于 SESE 交交 SESE 于于 F F，连，连 BFBF，正三角形正三角形 ABCABC， E E 为为 BCBC 中点，中点， BCAEBCAE，SABCSABC， BCBC面面 SAESAE， BCAFBCAF，AFSEAFSE， AFAF 面面 SBCSBC，ABFABF 为直线为直线 ABAB 与面与面 SBCSBC 所成角，由正三角形边长所成角，由正三角形边长 3 3，
8、3AE ，AS=3AS=3， SE=SE=2 3，AF=AF= 3 2， ， 3 sin 4 ABF （9）将标号为 1，2，3，4，5，6 的 6 张卡片放入 3 个不同的信封中，若每个信封放 2 张， 其中标号为 1，2 的卡片放入同一信封，则不同的方法共有 （A） 12 种 (B) 18 种 (C) 36 种 (D) 54 种 【解析解析】B】B：本题考查了排列组合的知识：本题考查了排列组合的知识 先从先从 3 3 个信封中选一个放个信封中选一个放 1 1，2 2 有有 3 3 种不同的选法，再从剩下的种不同的选法，再从剩下的 4 4 个数中选两个放一个信个数中选两个放一个信 封有封有
9、2 4 6C ，余下放入最后一个信封，余下放入最后一个信封，共有共有 2 4 318C （10）ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB，若CB = a , CA = b , a= 1 ， b= 2, 则CD = （A） 1 3 a + 2 3 b （B） 2 3 a + 1 3 b （C） 3 5 a + 4 5 b （D） 4 5 a + 3 5 b 【解析解析】B】B：本题考查了平面向量的基础知识：本题考查了平面向量的基础知识 CDCD 为角平分线，为角平分线， 1 2 BDBC ADAC ， ABCBCAab ， 222 333 ADABab ， 2221 3333 CDC
10、AADbabab （11）与正方体 ABCDA1B1C1D1的三条棱 AB、CC1、A1D1所在直线的距离相等的点 （A）有且只有 1 个 （B）有且只有 2 个 （C）有且只有 3 个 （D）有无数个 【解析解析】D】D：本题考查了空间想象能力：本题考查了空间想象能力 到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上，到三条两垂直的直线距离相等的点在以三条直线为轴，以正方体边长为半径的圆柱面上， A B C S E F 三个圆柱面有无数个交点，三个圆柱面有无数个交点， （12）已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （ab0）的离心率为 3 2 ，过右焦点 F
11、 且斜率为 k（k0）的直线于 C 相交于 A、B 两点，若3AFFB 。则 k = （A）1 （B）2 （C）3 （D）2 【解析解析】B】B： 1122 ( ,), (,)A x yB xy ， 3AFFB ， 12 3yy ， 3 2 e ，设，设 2 ,3at ct ，b t ， 222 440 xyt ，直线，直线 ABAB 方程为方程为 3xsyt 。代入消去。代入消去 x， ， 222 (4)2 30systyt ， 2 1212 22 2 3 , 44 stt yyy y ss ， 2 2 22 22 2 3 2, 3 44 stt yy ss ，解得，解得 2 1 2 s ，
12、 2k （13）已知 是第二象限的角,tan=1/2，则 cos=_ 【解析解析】 2 5 5 ：本题考查了同角三角函数的基础知识：本题考查了同角三角函数的基础知识 1 tan 2 ， 2 5 cos 5 (14)(x+1/x)9的展开式中，x3的系数是_ 【解析解析】84】84：本题考查了二项展开式定理的基础知识：本题考查了二项展开式定理的基础知识 9 19 1 ( ) rrr r TC x x ， 9 23,3rr ， 3 9 84C (15)已知抛物线 C：y2=2px（p0）的准线 l，过 M（1,0）且斜率为的直线与 l 相交 于 A，与 C 的一个交点为 B，若，则 p=_ 【解析
13、解析】2】2：本题考查了抛物线的几何性质：本题考查了抛物线的几何性质 设直线设直线 ABAB： 33yx ，代入，代入 2 2ypx 得得 2 3( 62 )30 xp x ，又，又 AMMB ， 1 2 2 xp ，解得，解得 2 4120pP ，解得，解得 2,6pp （舍去）（舍去） （16）已知球O的半径为 4，圆M与圆N为该球的两个小圆，AB为圆M与圆N的公共 弦，4AB ，若3OMON，则两圆圆心的距离MN 。 【解析解析】3】3：本题考查球、直线与圆的基础知识：本题考查球、直线与圆的基础知识 ON=3ON=3，球半径为，球半径为 4 4，小圆小圆 N N 的半径为的半径为 7 ，
14、小圆小圆 N N 中弦长中弦长 AB=4AB=4，作，作 NENE 垂直于垂直于 ABAB， NE=NE= 3 ，同理可得，同理可得 3ME ，在直角三角形，在直角三角形 ONEONE 中，中， NE=NE= 3 ，ON=3ON=3， 6 EON ， 3 MON ， MN=3MN=3 三、解答题；本大题共三、解答题；本大题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 （17） （本小题满分 10 分） ABCA中，D为边BC上的一点，33BD ， 5 sin 13 B ， 3 cos 5 ADC，求 AD。 【
15、解析解析】本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。本题考查了同角三角函数的关系、正弦定理与余弦定理的基础知识。 由由 ADC 与与 B 的差求出的差求出 BAD ，根据同角关系及差角公式求出，根据同角关系及差角公式求出 BAD 的正弦，在三角的正弦，在三角 形形 ABDABD 中，由正弦定理可求得中，由正弦定理可求得 ADAD。 （18） （本小题满分 12 分） 已知 n a是各项均为正数的等比数列，且 12 12 11 2()aa aa ， 345 345 111 64()aaa aaa （）求 n a的通项公式； （）设 2 1 () nn n ba a ，求数列 n
16、 b的前n项和 n T。 【解析解析】本题考查了数列通项、前本题考查了数列通项、前n项和及方程与方程组的基础知识。项和及方程与方程组的基础知识。 O M N E A B （1 1）设出公比根据条件列出关于）设出公比根据条件列出关于 1 a 与与d的方程求得的方程求得 1 a 与与d，可求得数列的通项公式。，可求得数列的通项公式。 （2 2）由（）由（1 1）中求得数列通项公式，可求出）中求得数列通项公式，可求出 BNBN 的通项公式，由其通项公式化可知其和可分的通项公式，由其通项公式化可知其和可分 成两个等比数列分别求和即可求得。成两个等比数列分别求和即可求得。 （19） （本小题满分 12
17、分） 如图，直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC=BC， AA1=AB，D 为 BB1的中点，E 为 AB 1上的一点，AE=3 EB1 （）证明：DE 为异面直线 AB1与 CD 的公垂线； （）设异面直线 AB1与 CD 的夹角为 45,求二面角 A1-AC1-B1的大小 【解析解析】本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基本题考查了立体几何中直线与平面、平面与平面及异面直线所成角与二面角的基 础知识。础知识。 （1 1）要证明）要证明 DEDE 为为 AB1AB1 与与 CDCD 的公垂线，即证明的公垂线，即证明 DEDE 与它们都垂直，由与它们都垂直，
18、由 AE=3EB1AE=3EB1，有，有 DEDE 与与 BA1BA1 平行，由平行，由 A1ABB1A1ABB1 为正方形，可证得，证明为正方形，可证得，证明 CDCD 与与 DEDE 垂直，取垂直，取 ABAB 中点中点 F F。连结。连结 DFDF、FCFC，证明，证明 DEDE 与平面与平面 CFDCFD 垂直即可证明垂直即可证明 DEDE 与与 CDCD 垂直。垂直。 （2 2）由条件将异面直线）由条件将异面直线 AB1AB1，CDCD 所成角找出即为所成角找出即为FDCFDC，设出，设出 ABAB 连长，求出所有能求出连长，求出所有能求出 的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边
19、长可通过解三角形求得。的边长，再作出二面角的平面角，根据所求的边长可通过解三角形求得。 （20） （本小题满分 12 分） 如图，由 M 到 N 的电路中有 4 个元件，分别标为 T1，T2，T3，T4，电源能通过 T1，T2，T3的概率都是 P，电源能通过 T4的概率是 0.9，电源能否通过各元件相互独立。 已知 T1，T2，T3中至少有一个能通过电流的概率为 0.999。 （）求 P； （）求电流能在 M 与 N 之间通过的概率。 【解析解析】本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率，本题考查了概率中的互斥事件、对立事件及独立事件的概率， （1 1）设出基本事件，将要求事件用基
20、本事件的来表示，将）设出基本事件，将要求事件用基本事件的来表示，将 T1T1，T2T2，T3T3 至少有一个能通过至少有一个能通过 电流用基本事件表示并求出概率即可求得电流用基本事件表示并求出概率即可求得 P P。 （2 2）将）将 MNMN 之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。之间能通过电流用基本事件表示出来，由互斥事件与独立事件的概率求得。 （21） （本小题满分 12 分） 已知函数 f（x）=x 3 -3ax 2 +3x+1。 （）设 a=2，求 f（x）的单调期间； （）设 f（x）在区间（2,3）中至少有一个极值点，求 a 的取值范围。 【解析解析】本
21、题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、本题考查了导数在函数性质中的应用，主要考查了用导数研究函数的单调区间、 极值及函数与方程的知识。极值及函数与方程的知识。 （1 1）求出函数的导数，由导数大于）求出函数的导数，由导数大于 0 0，可求得增区间，由导数小于，可求得增区间，由导数小于 0 0，可求得减区间。，可求得减区间。 （2 2）求出函数的导数）求出函数的导数 ( )fx ，在（，在（2 2，3 3）内有极值，即为）内有极值，即为 ( )fx 在（在（2 2，3 3）内有一个零点，）内有一个零点， 即可根据即可根据 (2)(3)0ff ，即可求出，即可求出 A
22、 A 的取值范围。的取值范围。 （22） （本小题满分 12 分） 已知斜率为 1 的直线 1 与双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 相交于 B、D 两点，且 BD 的中点为 M（1.3） （） （）求 C 的离心率； （） （）设 C 的右顶点为 A，右焦点为 F，|DF|BF|=17 证明：过 A、B、D 三点的圆 与 x 轴相切。 【解析解析】本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。本题考查了圆锥曲线、直线与圆的知识，考查学生运用所学知识解决问题的能力。 （1 1）由直线过点（）由直线过点（1 1，3 3）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于）及斜率可得直线方程，直线与双曲线交于 BDBD 两点的中点为两点的中点为 （1 1，3 3） ，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出，可利用直线与双曲线消元后根据中点坐标公式找出 A,BA,B 的关系式即求得离心率。的关系式即求得离心率。 （2 2）利用离心率将条件）利用离心率将条件|FA|FB|=17|FA|FB|=17，用含，用含 A A 的代数式表示，即可求得的代数式表示，即可求得 A A，则，则 A A 点坐标可点坐标可 得（得（1 1，0 0） ，由于，由于 A A 在在 X X 轴上所以，只要证明轴上所以，只要证明 2AM=BD2AM=BD 即证得。即证得。