《2020年高考数学《立体几何中的平行与垂直问题》专项训练及答案解析.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年高考数学《立体几何中的平行与垂直问题》专项训练及答案解析.doc（21页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、立体几何中的平行与垂直问题一、基础检测1、(2018南京三模） 已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，有如下四个命题：若l，l，则； 若l，则l； 若l，l，则； 若l，则l其中真命题为_（填所有真命题的序号）【答案】【解析】考查定理：垂直同一直线的两个平面平行；直线l可能在平面内；正确；不一定垂直；2、(2017南京、盐城二模）已知，为两个不同的平面，m，n为两条不同的直线，下列命题中正确的是_(填上所有正确命题的序号)若，m，则m；若m，n，则mn；若，n，mn，则m； 若n，n，m，则m.【答案】 【解析】思路分析 逐一判断每个命题的真假这是面面平行的性质，正确；只能确定m，n
2、没有公共点，有可能异面，错误；当m时，才能保证m，错误；由m，n，得mn，又n，所以m，正确3、(2016南京三模）已知，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，l，m.给出下列命题：lm；lm；ml；lm.其中正确的命题是_(填写所有正确命题的序号)【答案】 【解析】由l，得l，又因为m，所以lm；由l，得l或l，又因为m，所以l与m或异面或平行或相交；由l，m，得lm.因为l只垂直于内的一条直线m，所以不能确定l是否垂直于；由l，l，得.因为m，所以m.4、(2016镇江期末） 设b，c表示两条直线，表示两个平面，现给出下列命题：若b，c，则bc；若b，bc，则c；若c，则c；若c，c，
3、则.其中正确的命题是_(写出所有正确命题的序号)【答案】 【解析】b和c可能异面，故错；可能c，故错；可能c，c，故错；根据面面垂直判定，故正确5、(2015镇江期末）设，为互不重合的平面，m，n是互不重合的直线，给出下列四个命题：若mn，n，则m；若m，n，m，n，则；若，m，n，则mn；若，m，n，nm，则n.其中正确命题的序号为_【答案】【解析】对于，直线m可能在平面内，故错误；对于，没有m与n相交的条件，故错误；对于，m与n也可能异面，故错误6、(2015南京、盐城、徐州二模） 已知平面，直线m，n，给出下列命题：若m，n，mn，则；若，m，n，则mn；若m，n，mn，则；若，m，n，
4、则mn.其中是真命题的是_(填序号)【答案】【解析】如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，CD平面ABC1D1，BC平面ADC1B1，且BCCD，又因为平面ABC1D1与平面ADC1B1不垂直，故不正确；因为平面ABCD平面A1B1C1D1，且B1C1平面ABCD，AB平面A1B1C1D1，但AB与B1C1不平行，故不正确同理，我们以正方体的模型来观察，可得正确7、(2015泰州期末）若，是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为_(写出所有真命题的序号)若直线m，则在平面内，一定不存在与直线m平行的直线；若直线m，则在平面内，一定存在无数条直线与直线m垂直；若直线m，则在平面内，不一
5、定存在与直线m垂直的直线；若直线m，则在平面内，一定存在与直线m垂直的直线【答案】【解析】对于，若两个平面互相垂直，显然在平面内存在与直线m平行的直线，故不正确；对于，m，m一定与两平面的交线垂直，有一条直线就有无数条直线，故正确；与是对立的，一定有一个是真命题，对于，若m与两个平面的交线平行或m为交线，显然存在，若m 与交线相交，设交点为A，在直线m上任取一点B(异于A)，过B点向平面引垂线，垂足为C，则直线BC平面，在平面内作直线l垂直于AC，可以证明l平面ABC，则lm，故正确，不正确所以真命题的序号为.二、拓展延伸题型一 直线与平面的平行于垂直知识点拨：证明直线与平面的平行与垂直问题，
6、一定要熟练记忆直线与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。直线与平面的平行有两种方法：一是在面内找线；二是通过面面平行转化。直线与平面垂直关键是找两条相交直线。例1、(2019扬州期末）如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B为矩形，平面AA1B1B平面ABC，点E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点(1) 求证：EF平面ABC；(2) 求证：BB1AC. 规范解答 (1)在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1B1B，四边形BB1C1C均为平行四边形，E，F分别是侧面AA1B1B，BB1C1C对角线的交点，所以E，F分别是AB1，CB1的中点
7、，所以EFAC.(4分)因为EF平面ABC，AC平面ABC，所以EF平面ABC.(8分)(2)因为四边形AA1B1B为矩形，所以BB1AB. 因为平面AA1B1B平面ABC，且平面AA1B1B平面ABCAB，BB1平面AA1B1B，所以BB1平面ABC.(12分)因为AC平面ABC，所以BB1AC.(14分)【变式1】(2019南通、泰州、扬州一调）如图，在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点已知侧面PAD底面ABCD，底面ABCD是矩形，DADP.求证：(1)MN平面PBC；MD平面PAB.【证明】(1)在四棱锥PABCD中，M，N分别为棱PA，PD的中点，所以MNAD.(2分
8、)又底面ABCD是矩形，所以BCAD.所以MNBC.(4分)又BC平面PBC，MN平面PBC，所以MN平面PBC. (6分)(2)因为底面ABCD是矩形，所以ABAD.又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCDAD，AB底面ABCD，所以AB侧面PAD.(8分)又MD侧面PAD，所以ABMD.(10分)因为DADP，又M为AP的中点，从而MDPA. (12分)又PA，AB在平面PAB内，PAABA，所以MD平面PAB.(14分)【变式2】(2019南京、盐城二模）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，ABAC，A1CBC1，AB1BC1，D，E分别是AB1和BC的中点求证：(1)DE平面A
9、CC1A1；(2)AE平面BCC1B1.规范解答 (1)连结A1B，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1BB1且AA1BB1，所以四边形AA1B1B是平行四边形又因为D是AB1的中点，所以D也是BA1的中点(2分)在BA1C中，D和E分别是BA1和BC的中点，所以DEA1C.又因为DE平面ACC1A1，A1C平面ACC1A1，所以DE平面ACC1A1.(6分)(2)由(1)知DEA1C，因为A1CBC1，所以BC1DE.(8分)又因为BC1AB1，AB1DED，AB1，DE平面ADE，所以BC1平面ADE.又因为AE平在ADE，所以AEBC1.(10分)在ABC中，ABAC，E是BC的中点，所
10、以AEBC.(12分)因为AEBC1，AEBC，BC1BCB，BC1，BC平面BCC1B1，所以AE平面BCC1B1. (14分)【变式3】(2019苏锡常镇调研（一）如图，三棱锥DABC中，已知ACBC，ACDC，BCDC，E，F分别为BD，CD的中点求证：(1) EF平面ABC；(2) BD平面ACE. 规范解答 (1)三棱锥DABC中，因为E为DB的中点，F为DC的中点，所以EFBC，(3分)因为BC平面ABC，EF平面ABC，所以EF平面ABC.(6分)(2)因为ACBC，ACDC，BCDCC，BC，DC平面BCD所以AC平面BCD，(8分)因为BD平面BCD，所以ACBD，(10分)
11、因为DCBC，E为BD的中点，所以CEBD，(12分)因为ACCEC，AC，CE平面ACE，所以BD平面ACE.(14分)【变式4】(2019苏州三市、苏北四市二调）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，侧面BCC1B1为正方形，A1B1B1C1.设A1C与AC1交于点D，B1C与BC1交于点E.求证：(1) DE平面ABB1A1；(2) BC1平面A1B1C. 规范解答 (1)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以侧面ACC1A1为平行四边形又A1C与AC1交于点D，所以D为AC1的中点，同理，E为BC1的中点所以DEAB.(3分)又AB平面ABB1A1，DE平面ABB1A1，所以DE
12、平面ABB1A1.(6分)(2)因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为A1B1平面A1B1C1，所以BB1A1B1.(8分)又A1B1B1C1，BB1，B1C1平面BCC1B1，BB1B1C1B1，所以A1B1平面BCC1B1.(10分)又因为BC1平面BCC1B1，所以A1B1BC1.(12分)又因为侧面BCC1B1为正方形，所以BC1B1C.又A1B1B1CB1，A1B1，B1C平面A1B1C，所以BC1平面A1B1C.(14分)【变式5】(2018无锡期末）如图，ABCD是菱形，DE平面ABCD，AFDE，DE2AF.(1) 求证：AC平面BDE；(2
13、) 求证：AC平面BEF.规范解答 (1) 证明：因为DE平面ABCD，AC平面ABCD，所以DEAC.(2分)因为四边形ABCD是菱形，所以ACBD，(4分)因为DE，BD平面BDE，且DEBDD，所以AC平面BDE.(6分)(2) 证明：设ACBDO，取BE中点G，连结FG，OG，易知OGDE且OGDE.(8分)因为AFDE，DE2AF，所以AFOG且AFOG，从而四边形AFGO是平行四边形，所以FGAO.(10分)因为FG平面BEF，AO平面BEF，所以AO平面BEF，即AC平面BEF.(14分)【变式6】(2018苏北四市期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABAA
14、1，M，N分别是AC，B1C1的中点求证：(1) MN平面ABB1A1；(2) ANA1B.规范解答 (1) 如图，取AB的中点P，连结PM，PB1.因为P，M分别是AB，AC的中点，所以PMBC，且PMBC.在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCB1C1，BCB1C1，又因为N是B1C1的中点，所以PMB1N，且PMB1N.(2分)所以四边形PMNB1是平行四边形，所以MNPB1.(4分)而MN平面ABB1A1，PB1平面ABB1A1，所以MN平面ABB1A1.(6分)(2) 因为三棱柱ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面A1B1C1.又因为BB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1
15、平面A1B1C1.(8分)又因为ABC90，所以B1C1B1A1.又平面ABB1A1平面A1B1C1B1A1，B1C1平面A1B1C1，所以B1C1平面ABB1A1.(10分)又因为A1B平面ABB1A1，所以B1C1A1B，即NB1A1B.连结AB1，在平行四边形ABB1A1中，ABAA1，所以AB1A1B.又因为NB1AB1B1，且AB1，NB1平面AB1N，所以A1B平面AB1N.(12分)而AN平面AB1N，所以ANA1B.(14分)【变式7】(2018南京、盐城、连云港二模）如图，已知矩形ABCD所在平面与ABE所在平面互相垂直，AEAB，M，N，H分别为DE，AB，BE的中点(1)
16、 求证：MN平面BEC；(2) 求证：AHCE.规范解答 (1) 解法1 取CE中点F，连结FB，MF. 因为M为DE的中点，F为CE的中点，所以MFCD 且MFCD.(2分) 又因为在矩形ABCD中，N为AB的中点，所以BNCD 且BNCD，所以MFBN 且MFBN，所以四边形BNMF为平行四边形，所以MNBF.(4分) 又MN平面BEC，BF平面BEC，所以MN平面BEC.(6分) 解法2 取AE中点G，连结MG，GN. 因为G为AE的中点，M为DE的中点，所以MGAD.又因为在矩形ABCD中，BCAD，所以MGBC.又因为MG平面BEC，BC平面BEC，所以MG平面BEC.(2分) 因为
17、G为AE的中点，N为AB的中点，所以GNBE.又因为GN平面BEC，BE平面BEC，所以GN平面BEC.又因为MGGNG，MG，GN平面GMN，所以平面GMN平面BEC.(4分) 又因为MN平面GMN，所以MN平面BEC.(6分) (2) 因为四边形ABCD为矩形，所以BCAB.因为平面ABCD平面ABE，平面ABCD平面ABEAB，BC平面ABCD，且BCAB，所以BC平面ABE.(8分) 因为AH平面ABE，所以BCAH.因为ABAE，H为BE的中点，所以BEAH.(10分) 因为BCBEB，BC平面BEC，BE 平面BEC，所以AH平面BEC.(12分) 又因为CE平面BEC，所以AHC
18、E.(14分) 【变式8】(2018苏锡常镇调研（二）如图，在四棱锥中，点为棱的中点（1）若，求证：；（2）求证：/平面规范解答 证明：（1）取的中点，连结，因为，所以为等腰三角形，所以因为，所以为等腰三角形，所以又，所以平面 因为平面，所以 （2）由为中点，连，则，又平面，所以平面 由，以及，所以，又平面，所以平面 又，所以平面平面， 而平面，所以平面 【变式9】(2017苏州暑假测试）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是正方形，侧面PAD底面ABCD，且PAPDAD，E，F分别为PC，BD的中点(1) 求证：EF平面PAD；(2) 求证：EF平面PDC. 规范解答 (1) 连结AC.
19、因为正方形ABCD中，F是BD的中点，则F也是AC的中点又E是PC的中点，在CPA中，EFPA.(3分)又PA平面PAD，EF平面PAD，所以EF平面PAD. (6分)(2) 因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD，CD平面ABCD，又CDAD，所以CD平面PAD.(8分)又PA平面PAD，所以CDPA.因为EFPA, 故CDEF.(10分)又PAPDAD，所以PAD是等腰直角三角形，且APD，即PAPD.又EFPA, 所以PDEF.(13分)而CDPDD，CD，PD平面PDC，所以EF平面PDC.(14分)【变式10】(2017苏北四市一模）如图，在正三棱柱ABCA1B1C1
20、中，已知D，E分别为BC，B1C1的中点，点F在棱CC1上，且EFC1D.求证：(1) 直线A1E平面ADC1；(2) 直线EF平面ADC1.规范解答 (1) 证法1 连结ED，因为D，E分别为BC，B1C1的中点，所以B1EBD且B1EBD，所以四边形B1BDE是平行四边形，(2分)所以BB1DE且BB1DE.又BB1AA1且BB1AA1，所以AA1DE且AA1DE，所以四边形AA1ED是平行四边形，所以A1EAD.(4分)又因为A1E平面ADC1，AD平面ADC1，所以直线A1E平面ADC1.(7分)证法2 连结ED，连结A1C，EC分别交AC1，DC1于点M，N，连结MN，则因为D，E分
21、别为BC，B1C1的中点，所以C1ECD且C1ECD，所以四边形C1EDC是平行四边形，所以N是CE的中点(2分)因为A1ACC1为平行四边形，所以M是A1C的中点，(4分)所以MNA1E.又因为A1E平面ADC1，MN平面ADC1，所以直线A1E平面ADC1.(7分)(2) 在正三棱柱ABCA1B1C1中，BB1平面ABC.又AD平面ABC，所以ADBB1.又ABC是正三角形，且D为BC的中点，所以ADBC.(9分)又BB1，BC平面B1BCC1，BB1BCB，所以AD平面B1BCC1，又EF平面B1BCC1，所以ADEF.(11分)又EFC1D，C1D，AD平面ADC1，C1DADD，所以
22、直线EF平面ADC1.(14分)题型二 平面与平面的平行于垂直知识点拨：证明平面与平面的平行与垂直问题，一定要熟练记忆平面与平面的平行与垂直判定定理和性质定理，切记不可缺条件。平面与平面的平行关键是在一个平面内找两条相交直线；平面与平面垂直可以从二面角入手页可以从线面垂直进行转化。例1、(2019泰州期末）如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为平行四边形，点O为对角线BD的中点，点E，F分别为棱PC，PD的中点已知PAAB，PAAD.求证：(1) 直线PB平面OEF；(2) 平面OEF平面ABCD.规范解答 证明：(1) 在PBD中，O为BD的中点，F为PD的中点所以OFPB，(3分)因为
23、PB平面OEF，OF平面OEF，(7分)所以直线PB平面OEF(2)解法1连结AC，因为底面ABCD为平行四边形，O为BD的中点，所以O为AC的中点在PAC中，O为AC的中点，E为PC的中点，所以OEPA，(9分)因为PAAB，PAAD，所以OEAB，OEAD，(11分)又因为ABADA，AB，AD在平面ABCD内，所以OE平面ABCD.因为OE平面OEF，所以平面OEF平面ABCD.(14分)解法2连结AC，因为ABCD为平行四边形，所以AC与BD交于点O，O为AC中点，又E为PC中点，所以PAOE，因为PAAB，PAAD，ABADA，所以PA平面ABCD，所以OE平面ABCD.又OE平面O
24、EF，所以OEF平面ABCD.【变式1】(2019苏州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABBC，E，F分别是A1C1，BC的中点(1) 求证：平面ABE平面B1BCC1；(2) 求证：C1F平面ABE.解：(1) 证明：在直三棱柱ABCA1B1C1中，BB1底面ABC，因为AB平面ABC，所以BB1AB.(2分)又因为ABBC，BB1BCB，BB1，BC平面B1BCC1，所以AB平面B1BCC1.(4分)又AB平面ABE，所以平面ABE平面B1BCC1.(6分)(2)证明：取AB中点G，连结EG，FG.因为E，F分别是A1C1，BC的中点，所以FGAC，且FGAC.(8分)因为
25、ACA1C1，且ACA1C1，所以FGEC1，且FGEC1.所以四边形FGEC1为平面四边形，(11分)所以C1FEG.又因为EG平面ABE，C1F平面ABE，所以C1F平面ABE.(14分)【变式2】(2019无锡期末）在四棱锥PABCD 中，锐角三角形 PAD 所在平面垂直于平面 PAB，ABAD，ABBC.(1) 求证：BC平面 PAD；(2) 平面 PAD 平面 ABCD. (1) 因为ABAD，ABBC，且A，B，C，D共面，所以ADBC.(3分)因为BC平面PAD，AD平面PAD，所以BC平面PAD.(5分)(2)过点D作DHPA于点H，因为是锐角PAD，所以H与A不重合(7分)因
26、为平面PAD平面PAB，平面PAD平面PABPA，DH平面PAD.所以DH平面PAB，(9分)因为AB平面PAB，所以DHAB.(11分)因为ABAD，ADDHDAD，DH平面PAD，所以AB平面PAD.因为AB平面ABCD.所以平面PAD平面ABCD.(14分)【变式3】(2018南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市二调）如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知ABAC，点E，F分别在棱BB1，CC1上(均异于端点)，且ABEACF，AEBB1，AFCC1.求证：(1) 平面AEF平面BB1C1C；(2) BC平面AEF.规范解答 (1) 在三棱柱ABCA1B1C1中，BB1CC1.因为A
27、FCC1，所以AFBB1.(2分) 又AEBB1，AEAFA，AE，AF平面AEF，所以BB1平面AEF.(5分) 又因为BB1平面BB1C1C，所以平面AEF平面BB1C1C.(7分) (2) 因为AEBB1，AFCC1，ABEACF，ABAC，所以RtAEBRtAFC.所以BECF.(9分) 又由(1)知，BECF，所以四边形BEFC是平行四边形从而BCEF.(11分) 又BC平面AEF，EF平面AEF，所以BC平面AEF.(14分) 【变式4】(2018镇江期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为BC中点，ABAC，BC1B1D.求证：(1) A1C平面ADB1；(2) 平面A1
28、BC1平面ADB1.规范解答 (1) 设A1BAB1E，连结DE.因为ABCA1B1C1为直三棱柱，所以AA1B1B为矩形，所以E为A1B中点(1分)又因为D为BC中点，所以DE为BA1C的中位线，(2分)所以DEA1C且DEA1C.(3分)因为A1C平面ADB1，DE平面ADB1，(5分)所以A1C平面ADB1.(7分)(2) 因为ABAC，D为BC中点，所以ADBC.(8分)又因为ABCA1B1C1为直三棱柱，所以BB1平面ABC.因为AD平面ABC，所以BB1AD.(9分)因为BC平面BCC1B1，BB1平面BCC1B1，BCBB1B，所以AD平面BCC1B1.(10分)又BC1平面BC
29、C1B1，所以ADBC1.(11分)因为BC1B1D，AD平面ADB1，B1D平面ADB1，ADB1DD，所以BC1平面ADB1.(13分)因为BC1平面A1BC1，所以平面A1BC1平面ADB1.(14分)(注意：有一个条件不交代书写，扣1分，扣满为止)【变式5】(2017无锡期末）在四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，AP平面PCD，E，F分别为PC，AB的中点(1) 求证：平面PAD平面ABCD；(2) 求证：EF平面PAD. 规范解答 (1) 因为AP平面PCD，CD平面PCD，所以APCD.因为ABCD为矩形，所以ADCD，(2分)又因为APADA，AP平面PAD，AD平面PAD
30、，所以CD平面PAD，(4分)又CD平面ABCD，故平面PAD平面ABCD.(6分)(2) 连结AC，BD交于O，连结OE，OF.因为ABCD为矩形，所以O为AC的中点因为E为PC中点，所以OEPA.因为OE平面PAD，PA平面PAD，所以OE平面PAD，(8分)同理OF平面PAD.(10分)因为OEOFO，所以平面OEF平面PAD.(12分)因为EF平面OEF，所以EF平面PAD.(14分)题型三 直线、平面的平行于垂直的综合问题知识点拨：解决此类问题首先要熟练掌握直线、平面的平行与垂直性质定理和判定定理，也要熟悉一些探索性问题的解决途径（假设存在，进行探究），有些题目要正确做出辅助线。例3
31、、(2019宿迁期末）在四棱锥SABCD中，SA平面ABCD，底面ABCD是菱形(1) 求证：平面SAC平面SBD；(2) 若点M是棱AD的中点，点N在棱SA上，且ANNS，求证：SC平面BMN. 规范解答 (1)因为SA平面ABCD，BD平面ABCD，所以SABD.(2分)又因为底面ABCD是菱形，所以ACBD.又SA，AC平面SAC，且SAACA，所以BD平面SAC.(5分)由BD平面SBD，得平面SAC平面SBD.(7分)(2)设AC与BM的交点为E，连结NE.由底面ABCD是菱形，得ADBC.所以.(9分)又因为ANNS，所以，所以NESC.(11分)因为NE平面BMN，SC平面BMN
32、，所以SC平面BMN.(14分) 在使用直线与平面垂直的判定定理、直线与平面平行的判定定理等定理时，一定要将定理的条件写全，否则犯了“推不出”的错误，导致扣分【变式1】(2018苏州暑假测试）如图，在三棱锥PABC中，已知平面PBC平面ABC.(1) 若ABBC，CPPB，求证：CPPA；(2) 若过点A作直线l平面ABC，求证：l平面PBC.规范解答 (1) 因为平面PBC平面ABC，平面PBC平面ABCBC，AB平面ABC，ABBC，所以AB平面PBC.(2分)因为CP平面PBC，所以CPAB.(4分)又因为CPPB，且PBABB，PB，AB平面PAB，所以CP平面PAB.(6分)又因为P
33、A平面PAB，所以CPPA.(8分)(2) 如图，在平面PBC内过点P作PDBC，垂足为D.因为平面PBC平面ABC，又平面PBC平面ABCBC，PD平面PBC，所以PD平面ABC.(11分)又l平面ABC，所以lPD.又l平面PBC，PD平面PBC，所以l平面PBC.(14分) 一般地，已知面面垂直，需要将面面垂直转化为线面垂直，找出两平面的交线后，寻找平面中是否有直线垂直于另外一个平面，若没有，则在某平面内构造一条线垂直于交线即可【变式2】(2018常州期末）如图，四棱锥PABCD的底面ABCD是平行四边形，PC平面ABCD，PBPD，点Q是棱PC上异于P，C的一点(1) 求证：BDAC；
34、(2) 过点Q和AD的平面截四棱锥得到截面ADQF(点F在棱PB上)，求证：QFBC.规范解答 (1) 因为PC平面ABCD，BD平面ABCD，所以BDPC.记AC，BD交于点O，连结OP.因为平行四边形对角线互相平分，则O为BD的中点又PBD中，PBPD，所以BDOP.(4分)又PCOPP，PC，OP平面PAC.所以BD平面PAC，又AC平面PAC，所以BDAC.(7分)(第(1)问也可按如下方式证明：可由PC平面ABCD，得PCCD，PCCB，则由PD，PB，得CDCB，故ABCD为菱形，从而ACBD.)(2) 因为四边形ABCD是平行四边形，所以ADBC.又AD平面PBC，BC平面PBC
35、，所以AD平面PBC.(10分)又AD平面ADQF，平面ADQF平面PBCQF，所以ADQF，所以QFBC.(14分)【变式3】(2018扬州期末）如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，AC的中点(1) 求证：B1C1平面A1DE；(2) 若平面A1DE平面ABB1A1，求证：ABDE. 规范解答 (1) 在直三棱柱ABCA1B1C1中，四边形B1BCC1是平行四边形，所以B1C1BC.(2分)在ABC中，D，E分别为AB，AC的中点，故BCDE，所以B1C1DE.(4分)又B1C1平面A1DE，DE平面A1DE，所以B1C1平面A1DE.(7分)(2) 如图，在平面ABB1
36、A1内，过A作AFA1D于F.因为平面A1DE平面A1ABB1，平面A1DE平面A1ABB1A1D，AF平面A1ABB1，所以AF平面A1DE.(11分)又DE平面A1DE，所以AFDE.在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1A平面ABC，DE平面ABC，所以A1ADE.因为AFA1AA，AF平面A1ABB1，A1A平面A1ABB1，所以DE平面A1ABB1.因为AB平面A1ABB1，所以DEAB.(14分)(注：作AFA1D时要交代在平面内作或要交代垂足，否则扣1分)【变式4】(2017徐州、连云港、宿迁三检）如图，在四棱锥中，底面是矩形，点在棱上(异于点，)，平面与棱交于点（1）求证：；（2）若平面平面，求证：规范解答 （1）因为是矩形，所以又因为平面，平面，所以平面又因为平面，平面平面，所以（2）因为是矩形，所以 又因为平面平面，平面平面，平面，所以平面 又平面，所以 又由（1）知，所以