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1、2-1 几何构造分析的几个概念结构力学龙驭球第2章_结构的几何构造分析 Four short words sum up what has lifted most successful Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more. individuals above the crowd: a little bit more. -author -author -date-date2-1 几何构造分析的几个概念1. 几何不变体系和几何可变体
2、系几何不变体系和几何可变体系几何可变体系几何可变体系在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和在不考虑材料应变的条件下，体系的位置和 形状是可以改变的形状是可以改变的。一般结构必须是一般结构必须是几何不变体系几何不变体系几何不变体系几何不变体系在不考虑材料应变的条件下，体系的位置在不考虑材料应变的条件下，体系的位置 和形状是不能改变的。和形状是不能改变的。2-1 几何构造分析的几个概念2. 自由度自由度平面内一点有两种独立运动方式，平面内一点有两种独立运动方式，即即一点一点在平面内有在平面内有两个自由度两个自由度。一个刚片在平面内有三种独立运动方式，一个刚片在平面内有三种独立运动方式，即即一个刚片
3、一个刚片在平面内有在平面内有三个自由度三个自由度。自由度个数自由度个数=体系运动时可以独立改变的坐标数体系运动时可以独立改变的坐标数2-1 几何构造分析的几个概念3. 约束约束一个支杆相当于一个约束，如图一个支杆相当于一个约束，如图(a)一个铰相当于两个约束，如图一个铰相当于两个约束，如图(b)一个刚性结合相当于三个约束，如图一个刚性结合相当于三个约束，如图(c)2-1 几何构造分析的几个概念4. 多余约束多余约束 如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并如果在一个体系中增加一个约束，而体系的自由度并不减少，此约束称为多余约束。不减少，此约束称为多余约束。有一根链杆是多余约束有一根链杆是
4、多余约束2-1 几何构造分析的几个概念5. 瞬变体系瞬变体系特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系；特点：从微小运动的角度看，这是一个可变体系； 经微小位移后又成为几何不变体系；经微小位移后又成为几何不变体系； 在任一瞬变体系中必然存在多余约束。在任一瞬变体系中必然存在多余约束。可变体系可变体系瞬变体系：可产生微小位移瞬变体系：可产生微小位移常变体系：可发生大位移常变体系：可发生大位移2-1 几何构造分析的几个概念6. 瞬铰瞬铰 O为两根链杆轴线的交点，刚片为两根链杆轴线的交点，刚片I可发生以可发生以O为中心的微小转动，为中心的微小转动， O点点称为称为瞬时转动中心瞬时转动中心。 两根链杆
5、所起的约束作用相当于在链两根链杆所起的约束作用相当于在链杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个杆交点处的一个铰所起的约束作用，这个铰铰称为称为瞬铰瞬铰。2-1 几何构造分析的几个概念7. 无穷远处的瞬铰无穷远处的瞬铰 两根平行的链杆把刚片两根平行的链杆把刚片I与基础相连与基础相连接，接， 则两根链杆的交点在无穷远处。两则两根链杆的交点在无穷远处。两根链杆所起的约束作用相当于根链杆所起的约束作用相当于无穷远处无穷远处的瞬铰的瞬铰所起的作用。所起的作用。无穷远处的含义无穷远处的含义（1）每一个方向有一个）每一个方向有一个点；点；（2）不同方向有不同的）不同方向有不同的点；点；（3） 各各点都在同一直
6、线上，此直线称为点都在同一直线上，此直线称为线；线；（4）各有限点都不在线）各有限点都不在线上。上。1. 三个点之间的连接方式三个点之间的连接方式 规律规律1 不共线的三个点用三个链杆两两相连，则所不共线的三个点用三个链杆两两相连，则所组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没有多组成的铰接三角形体系是一个几何不变的整体，且没有多余约束。余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律2. 一个点与一个刚片一个点与一个刚片之间的连接方式之间的连接方式 规律规律2 一个刚片与一个点一个刚片与一个点用两根链杆相连，且三个铰不在用两根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整一直线上，则组成几
7、何不变的整体，且没有多余约束。体，且没有多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律3. 两个刚片之间的连两个刚片之间的连接方式接方式规律规律3 两个刚片用一个两个刚片用一个铰和一根链杆相连，且三铰和一根链杆相连，且三个铰不在一直线上，则组个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没成几何不变的整体，且没有多余约束。有多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律4. 三个刚片之间的连接方式三个刚片之间的连接方式规律规律4 三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线三个刚片用三个铰两两相连，且三个铰不在一直线上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。如图上，则组成几何不变的整体，且没有多余约束
8、。如图(a)。两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，如图两根链杆的约束作用相当于一个瞬铰的约束作用，如图(b)。2-2 平面几何不变体系的组成规律瞬变体系（三链杆交于同一点）瞬变体系（三链杆交于同一点）规律规律5（如图（如图(b) ） 两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，两个刚片用三根链杆相连，且三链杆不交于同一点，则组成几何不变的整体，且没有多余约束。则组成几何不变的整体，且没有多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律四种基本组成规律四种基本组成规律 三种基本装配格式三种基本装配格式（1）固定一个结点的装配格式：用不共线的两根链杆将结点固定）固定一个结点的装配格式：用不共
9、线的两根链杆将结点固定 在基本刚片上，称为简单装配格式。如图：在基本刚片上，称为简单装配格式。如图：2-2 平面几何不变体系的组成规律（2）固定一个刚片的装配格式：用不共线的铰和一根链杆，或用）固定一个刚片的装配格式：用不共线的铰和一根链杆，或用 不共点的三根链杆将一个刚片不共点的三根链杆将一个刚片II固定在基本刚片固定在基本刚片I上，称为联上，称为联 合装配格式。如图：合装配格式。如图：2-2 平面几何不变体系的组成规律（3）固定两个刚片的装配格式：用不共线的三个铰将两个刚片）固定两个刚片的装配格式：用不共线的三个铰将两个刚片 、固定在基本刚片固定在基本刚片I上，称为复合装配格式。如图：上，
10、称为复合装配格式。如图：2-2 平面几何不变体系的组成规律装配过程有两种：装配过程有两种：（1）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某）从基础出发进行装配：取基础作为基本刚片，将周围某 个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩个部件按基本装配格式固定在基本刚片上，形成一个扩 大的基本刚片，直至形成整个体系。如图：大的基本刚片，直至形成整个体系。如图：2-2 平面几何不变体系的组成规律（2）从内部刚片出发进行装配：在体系内部选取一个或几个）从内部刚片出发进行装配：在体系内部选取一个或几个 刚片作为基本刚片，将周围的部件按基本装配格式进行刚片作为基本刚片，将周围的部件按基本装配格
11、式进行 装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。将扩大的基本装配，形成一个或几个扩大的基本刚片。将扩大的基本 刚片与地基装配起来形成整个体系。如图：刚片与地基装配起来形成整个体系。如图：2-2 平面几何不变体系的组成规律例例2-1 试分析图示体系的几何构造。试分析图示体系的几何构造。解解 （1）分析图）分析图(a)中的体系中的体系 三角形三角形ADE刚片刚片I，三角形，三角形AFG刚片刚片，基础，基础刚片刚片，A、B、C、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体、三个铰不共线，则体系为无多余约束的几何不变体系。系。 （2）分析图）分析图(b)中的体系中的体系 折线杆折线杆AC链杆链杆2，折线杆
12、，折线杆BD链杆链杆3，T形刚片由链杆形刚片由链杆1、2、3与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。否则，体系为无与基础相连。如三链杆共点，则体系是瞬变的。否则，体系为无多余约束的几何不变体系。多余约束的几何不变体系。2-2 平面几何不变体系的组成规律例例2-2 试分析图示体系的几何构造。试分析图示体系的几何构造。解解 （1）分析图）分析图(a)中的体系中的体系 以刚片以刚片为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部为为对象，由于三个瞬铰不共线，因此体系内部为几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个自几何不变，且无多余约束。作为一个整体，体系对地面有三个自由度。由度。 （2）分析
13、图）分析图(b)中的体系中的体系 同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是同样方法进行分析，由于三个瞬铰共线，因此体系内部也是瞬变的。瞬变的。2-2 平面几何不变体系的组成规律 例例2-3 试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各三铰拱试用无穷远瞬铰的概念，分析图示各三铰拱的几何不变性。的几何不变性。 刚片刚片与基础与基础用三个铰用三个铰O,、O,、O,两两相两两相连，其中连，其中 O,为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆为无穷远瞬铰。如果另外两铰的连线与链杆1、2平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何平行，则三铰共线，体系是瞬变的。否则，体系为几何不变，且无多余约束。不变，且
14、无多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律 刚片刚片与基础与基础用三个铰两两相连，用三个铰两两相连， 其中其中O,和和O,是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应是两个不同方向的无穷远瞬铰，它们对应线上的两个不同的线上的两个不同的点。铰点。铰O,对应有限点。因有限点不在对应有限点。因有限点不在线上，则三铰不共线上，则三铰不共线，体系为几何不变，且无多余约束。线，体系为几何不变，且无多余约束。2-2 平面几何不变体系的组成规律刚片刚片与基础与基础之间的三个铰都在无穷远瞬点。之间的三个铰都在无穷远瞬点。由于各由于各点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。点都在同一直线上，因此体系是瞬变的。2-2 平面
15、几何不变体系的组成规律总结总结（1）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。）体系一般是由多个构造单元逐步形成的。（2）要注意约束的等效替换。）要注意约束的等效替换。（3）体系的装配方式可以不同。）体系的装配方式可以不同。S体系自由度的个数体系自由度的个数n体系多余约束的个数体系多余约束的个数W计算自由度计算自由度体系是由部件加约束组成：体系是由部件加约束组成：a各部件的自由度数的总和各部件的自由度数的总和c全部约束中的非多余约束数全部约束中的非多余约束数d全部约束的总数全部约束的总数S=a-c W=a-d S-W=n2-3 平面杆件体系的计算自由度平面杆件体系的计算自由度2-3 平面杆件不变体系
16、的计算自由度 S0 n0 SW n-WW 是自由度数是自由度数S 的下限，（的下限，（W）是多余约束数）是多余约束数 n的下限的下限（a）内部没有多余约束的刚片）内部没有多余约束的刚片（b）内部有一个多余约束的刚片）内部有一个多余约束的刚片（c）内部有两个多余约束的刚片）内部有两个多余约束的刚片（d）内部有三个多余约束的刚片）内部有三个多余约束的刚片2-3 平面杆件不变体系的计算自由度 图图(a)两个刚片两个刚片间的结合为单结合。间的结合为单结合。 图图(b)三个刚片间的结合相三个刚片间的结合相当于两个单结合，当于两个单结合，n个刚片间的个刚片间的结合相当于（结合相当于（n-1）个单结合。）个
17、单结合。2-3 平面杆件不变体系的计算自由度单链杆：连接两点的链杆单链杆：连接两点的链杆 相当于一个约束相当于一个约束复链杆：连接复链杆：连接n个点的链杆个点的链杆 相当于相当于2n-3个单链杆个单链杆2-3 平面杆件不变体系的计算自由度自由度算法一（体系由刚片加约束组成）自由度算法一（体系由刚片加约束组成）m体系中刚片的个数体系中刚片的个数g单刚结个数单刚结个数h单铰结个数单铰结个数b单链杆根数单链杆根数刚片自由度个数总和：刚片自由度个数总和：3m体系约束总数：体系约束总数： 3g+2h+b体系计算自由度：体系计算自由度： W=3m-（3g+2h+b）自由度算法二（体系由结点加链杆组成）自由
18、度算法二（体系由结点加链杆组成）j体系中结点的个数体系中结点的个数b单链杆根数单链杆根数结点自由度个数总和：结点自由度个数总和：2j体系约束总数：体系约束总数： b体系计算自由度：体系计算自由度： W=2j-b2-3 平面杆件不变体系的计算自由度若若W0，则，则S 0，体系是几何可变的，体系是几何可变的若若W=0， 则则S=n， 如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则如无多余约束则为几何不变，如有多余约束则 为几何可变为几何可变若若W0，则，则n0， 体系有多余约束体系有多余约束例例 2-4 试计算图示体系的试计算图示体系的W。方法一：方法一：m=7，h=9，b=3， g=0W=3m-2h-
19、b=37-29-3=0方法二：方法二：j=7，b=14W=2j-b=27-14=02-3 平面杆件不变体系的计算自由度例例 2-5 试计算图示体系的试计算图示体系的W。将图将图(a)中全部支座去掉，在中全部支座去掉，在G处切开，如图处切开，如图(b)m=1，h=0，b=4， g=3W=3m-（3g+2h+b）=31-（33+20+4）=-10体系几何不变，体系几何不变，S=0 n=S-W=0-（-10）=10 具有具有10个多余约束的几何不变体系个多余约束的几何不变体系2-3 平面杆件不变体系的计算自由度例例 2-6 试计算图示体系的试计算图示体系的W。两个体系两个体系 j=6，b=9， W=
20、2j-b=26-9=3图图(a)是一个内部几何不变且无多余约束的体系是一个内部几何不变且无多余约束的体系 S-3=0 n=0图图(b)是一个内部瞬变且有多余约束的体系是一个内部瞬变且有多余约束的体系 S-3= n02-6 小结1 几何构造分析的两个主要问题几何构造分析的两个主要问题对杆件体系进行几何构造分析对杆件体系进行几何构造分析判断体系是否可变，确定判断体系是否可变，确定S判断体系中有无多余约束，确定判断体系中有无多余约束，确定n对杆件结构进行几何构造分析对杆件结构进行几何构造分析结构应是几何不变体系，结构应是几何不变体系，S=0结构分为静定（结构分为静定（n=0） 和超静定（和超静定（n
21、0）2-6 小结2 几何构造分析中采用的方法几何构造分析中采用的方法 经典方法：经典方法： 主要作法应用组成规律，辅助作法求体系的计算自由度数主要作法应用组成规律，辅助作法求体系的计算自由度数W。计算机方法：计算机方法： 利用求解器分析利用求解器分析3 关于三角形规律的运用问题关于三角形规律的运用问题三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律三角形规律是组成无多余约束的几何不变体系的基本组成规律学会搭积木的方法：整个体系是搭起来的学会搭积木的方法：整个体系是搭起来的装配方式有：从内部刚片出发或从地基出发进行装配装配方式有：从内部刚片出发或从地基出发进行装配进行等效变换：瞬铰替代两个
22、链杆，直线链杆替代曲线链杆等进行等效变换：瞬铰替代两个链杆，直线链杆替代曲线链杆等2-6 小结4 关于计算自由度数关于计算自由度数WW的数值的数值几何构造特性几何构造特性W0对象的自由度数大于约束数对象的自由度数大于约束数体系为几何可变，不能用作结构体系为几何可变，不能用作结构W=0对象的自由度数等于约束数对象的自由度数等于约束数如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构如体系为几何不变，则无多余约束，为静定结构如体系为几何可变，则有多余约束如体系为几何可变，则有多余约束W0对象的自由度数小于约束数对象的自由度数小于约束数体系有多余约束体系有多余约束如体系为几何可变，则为超静定结构如体系为几何
23、可变，则为超静定结构1. 几何可变几何可变体系是否在任何荷载作用下都不能平衡？体系是否在任何荷载作用下都不能平衡？ 思考题思考题提示：如图。提示：如图。 FF2. 有多余约束的体系一定是超静定结构有多余约束的体系一定是超静定结构 吗？吗？ 3. 图中的哪一个不是二元体图中的哪一个不是二元体(或二杆结点或二杆结点)？ (c)(b)(a)(d) 4. W 0 是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗？是保证体系为几何不变的必要和充分条件吗？3. 图示体系作几何分析时，可把图示体系作几何分析时，可把A点看作点看作杆杆1、杆杆2形成的瞬铰。形成的瞬铰。A12一、判断题一、判断题 1. 瞬变体系的计算自由
24、度一定等零。瞬变体系的计算自由度一定等零。2. 有多余约束的体系一定是几何不变体系。有多余约束的体系一定是几何不变体系。4. 图示体系是几何不变体系。图示体系是几何不变体系。题题3 3图图题题4 4图图3. 图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，对于图示结构为了受力需要一共设置了五个支座链杆，对于保持其几何不变来说有保持其几何不变来说有 个多余约束，其中第个多余约束，其中第 个个链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。链杆是必要约束，不能由其他约束来代替。2. 三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系三个刚片每两个刚片之间由一个铰相连接构成的体系是是 。1. 体系计算自由度体系计算自
25、由度W0是保证体系几何不变的是保证体系几何不变的 条件。条件。二、选择填空二、选择填空 A. .必要必要 B. .充分充分 C. .非必要非必要 D. 必要和充分必要和充分A2115234 A. .几何可变体系几何可变体系 B. 无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系 C. .瞬变体系瞬变体系 D. .体系的组成不确定体系的组成不确定D4.4.多余约束多余约束”从哪个角度来看才是多余的从哪个角度来看才是多余的? ?（ ） A. .从对体系的自由度是否有影响的角度看从对体系的自由度是否有影响的角度看 B. .从对体系的计算自由度是否有影响的角度看从对体系的计算自由度是否有影响的角度看
26、C. .从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看从对体系的受力和变形状态是否有影响的角度看 D. .从区分静定与超静定两类问题的角度看从区分静定与超静定两类问题的角度看A(d)(b)(a)(c)5.5.下列各个简图分别有几个多余约束：下列各个简图分别有几个多余约束： 图图a 个多余约束个多余约束 图图b 个多余约束个多余约束 图图c 个多余约束个多余约束 图图d 个多余约束个多余约束 01326.6.图图a a 属几何属几何 体系体系。 A. .不变，无多余约束不变，无多余约束 B. .不变，有多余约束不变，有多余约束 C. .可变，无多余约束可变，无多余约束 D. .可变，有多余约束可变，
27、有多余约束 1.2.10(a)(b)21431.2.115图图b b属几何属几何 体系体系。 A. .不变，无多余约束不变，无多余约束 B. .不变，有多余约束不变，有多余约束 C. .可变，无多余约束可变，无多余约束 D. .可变，有多余约束可变，有多余约束 BA7. .图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何图示体系与大地之间用三根链杆相连成几何 的的体系。体系。 A. .不变且无多余约束不变且无多余约束 B. .瞬变瞬变 C. .常变常变 D. . 不变，有多余约束不变，有多余约束B 8. .图示体系为：图示体系为： A. .几何不变无多余约束几何不变无多余约束 B. .几何不变有多余约束
28、几何不变有多余约束 C. .几何常变几何常变 D. .几何瞬变。几何瞬变。A题题7图图题题8图图9. .图示体系是图示体系是 。（。（3分）分） A. .无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系 B. .瞬变体系瞬变体系 B. .有无多余约束的几何不变体系有无多余约束的几何不变体系 D. .常变体系常变体系IIIIII题题9图图A10. .对图示结构作几何组成分析。对图示结构作几何组成分析。解：解：将刚片将刚片ABC 做等效变换，变换成三角形，并选择刚做等效变换，变换成三角形，并选择刚片如图片如图b。刚片。刚片I I与基础与基础IIIIII之间之间由由铰铰A相连相连，刚片刚片IIII与
29、基础与基础IIIIII之间由铰之间由铰B 相连，相连，刚片刚片I I、刚片刚片IIII之间由链之间由链杆杆1、2 组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰组成的无穷远处的瞬铰相连，由于铰A与铰与铰B 的连线与链杆的连线与链杆1、2平行，故该体系为瞬变体系。平行，故该体系为瞬变体系。ED21IIIIII(b)(a)CBACBA123456解：解：刚片刚片124与基础用铰与基础用铰1相连，刚片相连，刚片356与基础用铰与基础用铰6相连，刚片相连，刚片124与刚片与刚片356之间用两个平行链杆之间用两个平行链杆45、23相连，二铰相连，二铰1、6的连线不与与两个平行链杆的连线不与与两个平行链杆45、23平行
30、，原体系为无多余约束的几何不变体系，所平行，原体系为无多余约束的几何不变体系，所以答案选择以答案选择 。 11 11. .图示体系的几何组成为图示体系的几何组成为： A. .常变体系常变体系 B. .无多余约束的几何不变体系无多余约束的几何不变体系 C. .瞬变体系瞬变体系 D. .有多余约束有多余约束 的几何不变体系的几何不变体系 Bn12.求体系的计算自由度求体系的计算自由度WW=3m-2h-b=3*4-2*4-4=0W=3m-3g-b =3*5-3*8-3=-12W=3m-2h-b=3*15-2*21=3W=3m-2h-b =3*3-2*1-4=3W=3m-2h-b =3*12-2*16-4=0 返返 回回