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1、第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系Arxyo 设一质点在空间做任意曲设一质点在空间做任意曲线运动线运动,某时刻它位于点某时刻它位于点 A ,质质点的速度大小和方向是不断变点的速度大小和方向是不断变化的化的. 在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪在直角坐标系中，加速度公式无法看出哪一部分是由一部分是由速度大小变化产生速度大小变化产生的加速度，哪一的加速度，哪一部分是由部分是由速度方向变化产生速度方向变化产生的加速度，所以引的加速度，所以引入自然坐标系来描写。入自然坐标系来描写。第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系一、一、自然坐
2、标系自然坐标系 自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，的，有两个坐标轴，切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。 nn 切向坐标切向坐标 沿运动轨沿运动轨迹的切线方向；迹的切线方向； 法向坐标法向坐标 沿运动轨沿运动轨迹的法线方向。迹的法线方向。nAB第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系二、切向加速度、法向加速度二、切向加速度、法向加速度dtdvdtdvvdtda )(物体沿平面作曲线运动，速度表示为物体沿平面作曲线运动，速度表示为 )()(tvtv 计算计算dtdv )(t s )(tt )(t AB)(ttn
3、)(tn 第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系dtdva 2van nannaaaa nvdtdv 2 a由于速度由于速度大小大小变化产生的加速度；变化产生的加速度；na由于速度由于速度方向方向变化产生的加速度。变化产生的加速度。 为运动轨迹的曲率半径。为运动轨迹的曲率半径。222vdtdv 22naaa大小大小加速度和速度的夹角加速度和速度的夹角 aaarctgn 第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系讨论讨论 （1）匀速圆周运动：）匀速圆周运动：v是常数，是常数，R ，则，则 Rva,0dtdva2nt ，na的方向始终指向
4、圆心的方向始终指向圆心 (2）变速圆周运动：）变速圆周运动：R),t (vv ，则，则 0dtdvat ，方向沿切线。，方向沿切线。 2Anva ，大小随，大小随 t 变化，方向始终指向圆心。变化，方向始终指向圆心。 第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系解：解：v例例例例1第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系vgana想一想：何处曲率想一想：何处曲率半径最大？何处最半径最大？何处最小？小？第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系 对于作曲线运动的物体，以下几种说法中哪一种对于作曲线运动的物体，以下
5、几种说法中哪一种是正确的：是正确的： （A）切向加速度必不为零；）切向加速度必不为零； （B）法向加速度必不为零（拐点处除外）；）法向加速度必不为零（拐点处除外）； （C）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，）由于速度沿切线方向，法向分速度必为零，因此法向加速度必为零；因此法向加速度必为零； （D）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零；）若物体作匀速率运动，其总加速度必为零； 讨讨 论论第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系三、圆周运动的角量描述三、圆周运动的角量描述1.角位置和角位置和角位移角位移 oxyB：t+ t A：t 设质点在设质点在oxy平面内绕平
6、面内绕o点、沿点、沿半径为半径为R的轨道作圆周运动，的轨道作圆周运动，如图。以如图。以ox轴为参考方向轴为参考方向角位置为角位置为 角位移为角位移为 角元位移矢量角元位移矢量 的方向的方向：用右手用右手四手指沿着角微小增量的方向，四手指沿着角微小增量的方向，右手拇指就是的方向右手拇指就是的方向 d图1-1-10第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系平均角速度为平均角速度为t角速度的大小为角速度的大小为tt0limtdd角速度为角速度为tdd 角加速度角加速度为为22ddddtt角角 速速 度度 的的 单位：单位： 弧度弧度/秒秒(rad s-1) ；角加速度的单
7、位：角加速度的单位： 弧度弧度/平方秒平方秒(rad s-2) 。1.角速度和角速度和角加速度角加速度 第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系 )(22/02022000 ttt (2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、的角速度、角位移与角加速度的关系式为角位移与角加速度的关系式为)(22/02022000 xxavvattvxxatvv与与匀变速直线运动的几个关系式匀变速直线运动的几个关系式比较知：比较知：两者数学形式完全相同两者数学形式完全相同,说明用角量描述说明用角量描述,可把可把平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问
8、题平面圆周运动转化为一维运动形式，从而简化问题。第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系2、角量与线量的关系、角量与线量的关系 一质点作圆周运动，在一质点作圆周运动，在 t 时时间内，质点的角位移为间内，质点的角位移为 ，则则A、B间的间的有向线段有向线段与弧将与弧将满足下面的关系满足下面的关系ROx + t+ tBtA 0ABABtt00limlim两边同除以两边同除以 t，得到：，得到：Rv 将上式两端对时间求导，得到将上式两端对时间求导，得到 Rat 将速度与角速度的关系代入法将速度与角速度的关系代入法向加速度的定义式，得到：向加速度的定义式，得到：Rvan
9、22R法向加速度也叫向心加速度法向加速度也叫向心加速度第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系矢量关系矢量关系rdrd 角位移与线位移之间的关系角位移与线位移之间的关系 上式两边对时间求导得上式两边对时间求导得到到 rva 上式两边除以上式两边除以dtdt得到得到rrdtddtrdv 图1-1-11向心加速度向心加速度 2 rvan 切向加速度切向加速度 ra 图1-1-10第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系1. 质点作匀变速圆周运动，则质点作匀变速圆周运动，则切向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的大小和方向都在变化法向加速
10、度的大小和方向都在变化法向加速度的大小和方向都在变化切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向变化，大小不变切向加速度的方向不变，大小变化切向加速度的方向不变，大小变化Ro思考题思考题第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系2.2.判断下列说法的正、误：判断下列说法的正、误：a. 加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。加速度恒定不变时，物体的运动方向必定不变。b. 平均速率等于平均速度的大小。平均速率等于平均速度的大小。d. 运动物体的速率不变时，速度可以变化。运动物体的速率不变时，速度可以变化。 例如：物体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。例如：物
11、体做抛体运动，加速度恒定，而速度方向改变。c. 不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成不论加速度如何，平均速率的表达式总可以写成2/)(21vvv,其中其中 v1是初速度，是初速度， v2 是末速度。是末速度。tsv/依据依据 平均速率平均速率 t/rv平均速度的大小平均速度的大小第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系Ro 在在t t 时刻，质点运动到位时刻，质点运动到位置置 s s 处。处。s解解：先作图如右，先作图如右，t t = 0 = 0 时，时，质点位于质点位于s s = 0 = 0 的的p p点处。点处。P（1 1） t t 时刻质点的总加速度的
12、大小；时刻质点的总加速度的大小；（2 2） t t 为何值时，总加速度的大小为为何值时，总加速度的大小为b b ；（3 3）当总加速度大小为）当总加速度大小为b b 时，质点沿圆周运行了时，质点沿圆周运行了多少圈。多少圈。例例2 2 一质点沿半径为一质点沿半径为R R的圆周按规律的圆周按规律 运动，运动，v v0 0、b b都是正的常量。求：都是正的常量。求：2/20bttvsn第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系naa22naaa （2）令）令a = b ，即，即bRbRbtva220)()(Ros （1）t 时刻切向加速度、法向加速度及加速度大小时刻切向加
13、速度、法向加速度及加速度大小:tvddRv222ddtsbRbtv20)(RbRbtv220)()(n第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系（3）当当a = b 时，时，t = v0/b ，由此可求得质点历经，由此可求得质点历经 的弧长为的弧长为 /220bttvs它与圆周长之比即为圈数：它与圆周长之比即为圈数：Rsn2Rosbvt/0bv /220Rbv420得得n第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系 例例3 在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可在高速旋转的微型电机里，有一圆柱形转子可绕垂直其横截面通过中心的轴转动绕垂直其
14、横截面通过中心的轴转动 . 开始时，它的角速开始时，它的角速度度 ，经，经300s 后，其转速达到后，其转速达到 18000rmin-1 . 已知转已知转子的角加速度与时间成正比子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转问在这段时间内，转子转过多少转？过多少转？00解解 由题意，令由题意，令 ，即，即 ，积分，积分 ctcttddtttc00dd得得221ct当当t=300s 时时11srad600minr18000所以所以3322srad75srad30060022tc第一章第一章 运动的描述运动的描述1-2 1-2 自然坐标系自然坐标系转子的角速度转子的角速度232srad15021tct由角速度的定义由角速度的定义23srad150ddtt得得tttdsrad150d0230有有33srad450t在在 300 s 内转子转过的转数内转子转过的转数43103)300(45022N32srad)75(2tc