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1、2022年下半年教师资格证考试高中数学真题试题解析-正文内容开始- PAGE PAGE 1 2022年下半年教师资格证考试高中数学真题 一、单项选择题。本大题共8小题，每小题5分，共40分 1 极限的值为（?）。 A、0 B、1 C、 D、不存在 2 空间曲面xyz=1被平面x=1截得的曲线是（?）。 A、圆 B、椭圆 C、抛物线 D、双曲线 3 矩阵A?的行向量组的极大线性无关组所含向量的个数是（?）。? A、1 B、2 C、3 D、4 4 直线与平面4x-2y-2z=3的位置关系是（?）。 A、平行 B、直线在平面内 C、垂直相交 D、相交但不垂直 5 已知函数，则f(x)在点x=0处（?
2、）。 A、连续但不可导 B、可导但导函数不连续 C、可导且导函数连续 D、二阶可导 6 已知球面方程为，在z轴上取一点P作球面的切线与球面相切于点M，线段PM长为，则在点P的坐标（0，0，z）中，|z|值为（?）。 A、 B、2 C、3 D、4 7 阅读下面的试题：已知角的顶点与原点重合，始边与x轴正半轴重合，终边在直线y=2x上，则为：（1）；（2）；（3）；（4）。能力考查是数学测试的重点，该试题突出考查了学生（?）。 A、抽象概括能力 B、运算求解能力 C、推理论证能力 D、数据处理能力 8 在图中的（1）（2）（3）处填写表达各知识点之间的逻辑关系，其中（1）（2）（3） 处填写正确的
3、是（?）。 A、推广，类比，特殊化 B、特殊化，推广，类比 C、推广，特殊化，类比 D、类比，特殊化，推广 二、简答题。本大题共5小题，每小题7分，共35分 9 证明下列问题： （1）对任意实数，有；（4分） （2）对任意正实数，有。（3分） 10 设A是34矩阵，其秩为3，已知，是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，其中，。 （1）求Ax=0的通解；（4分） （2）求Ax=b的通解。（3分） 11 Poisson（泊松）分布的概率分布是?，k=0，1，2，求X的数学期望。 12 简述为什么函数是普通高中数学课程的主线之一。 13 简述数学运算的基本内涵。 三、解答题。本大题1小题，10分
4、 14 已知一束光线在空气中从点A到达水面上的点P，然后折射到水下的点B（如图所示），设光在空气中的速度为c，在水中的速度为?，光线在点P的入射角为，折射角为。 （1）若PO长为，请你写出光线从点A到达点B所需的时间的表达式；（3分） （2）若是光线由点A到达点B所需时间的极小值，证明：。（7分） 四、论述题。本大题1小题，15分 15 伴随着大数据时代的到来，数据分析已经深入到现代社会生活的各个方面，结合实例阐述在中学数学的教学中培养学生的数据分析能力的意义。 五、案例分析题。本大题共1题，共20分 16 案例：在基本不等式：，a，（表示全体正实数的集合），当且仅当a=b时等号成立的教学中，
5、两位教师创设了如下情境：? 情境1：某商店在“双十一”进行商品降价促销活动，拟分两次降价，有三种降价方案：甲方案是第一次打P折销售，第二次打Q折销售；乙方案是第一次打Q?折销售，第二次打P折销售；丙方案是两次都打折销售，请问哪一次降价最多？? 情境2：现有一台天平，两臂之长略有差异，其他均精确，有人要用它称量物体的质量，只需将物体放在左右两个托盘中各称一次，再将称量结果相加后除以2，就是物体的真实质量，你认为这种做法对不对？如果不对的话，你能否找到一种用这台天平称?量物体质量的正确做法吗？? 问题：（1）请对上述的两种情境创设给予评价。（10分） （2）数学教学中情境创设应该注意哪些问题？（1
6、0分） 六、教学设计题。本大题共1题，共30分 17 二分法是运用函数性质求方程近似解的基本方法，为了帮助学生掌握二分法，普通高中数学课程标准（2022年版）提出的学习要求是： （1）结合学过的函数图象，了解函数零点与方程解的关系； （2）结合具体连续函数及其图象特点，了解函数零点存在定理，探索用二分法求方 程近似解的思路，并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解，了解用二分法求方程近似解的一般性。 请以达到学习要求（2）为目的，设计“二分法”的一个教学方案，要求： （1）写出明确的教学重点；（6分） （2）设计主要的教学环节（问题导入、二分法生成过程、巩固新知识）及其设计意图；（1
7、8分） （3）说明教学方案的特色以及实施的注意事项。（6分） 2022年下半年教师资格证考试高中数学真题（解析） 1 本题主要考查极限运算的相关知识。=0。A项正确。? 故正确答案为A。 2 本题考查的是解析几何的相关知识。 用平面x=1截曲面xyz=1时，所截得的曲线为yz=1，是双曲线。D项正确。 故正确答案为D。 3 本题主要考查矩阵的相关知识。? 由此可知，极大线性无关组的个数为4。D项正确。? 故正确答案为D。 4 本题主要考查解析几何的相关知识。 由题意可知，直线的方向向量为(2,7，3)，平面的法向量为(4,2,2)，由于(2)4 +(7)(2)+3(2)=8+14+(6)=0，
8、且直线上一点(3,4，0)不在平面内，所以直线与平面平行。A项正确。? 故正确答案为A。 5 本题主要考查可导与连续的相关知识。? 因为，所以f(x)在点x=0处是连续的。? 因为，=0，即，所以函数f(x)在点x=0处可导。 因为=，而不存在，所以导函数在点x=0处不连续。B项正确。? 故正确答案为B。 6 本题主要考查立体几何的相关知识。? 由题意知，P(0,0,z)，球的半径为R=1，PM与球相切，连接OM，可知OM=R=1，PMO为直角三角形，且，?即，解得=3。C项正确。 故正确答案为C。 7 本题主要考查课标的相关知识。 根据角的终边在直线y=2x上，计算出的值，然后根据运算法则求
9、出，属于对学生运算求解能力的考查。B项正确。? 故正确答案为B。 8 本题主要考查课标的相关知识。过程（1）是由平面向空间的推广过程；过程（2）是向量和代数之间的相同关系的特殊化处理过程；过程（3）是引导学生运用类比的方法探索数轴上的实数与向量运算的共性与差异。C项正确。 故正确答案为C。 9 （1）因为,由均值不等式可得，?，?=，?则+可得：+，即=。 （2）因为由均值不等式可得，?则+可得，即。 10 （1）Ax=0的通解由其基础解系线性组合而成，因为，所以其基础解系中线性无关的解向量个数为n=43=1，设为。?又，是方程组Ax=b的两个不同解，即，A=b，所以，则为?Ax=0?的解，故
10、取，因此Ax=0的通解为，k为任意常数。? （2）方程组Ax=b的通解为对应齐次方程组Ax=0的通解+非齐次方程组Ax=b的特解，由（1）可得，Ax=b的通解为或?，k为任意常数。 11 泊松分布的概率分布为，所以： 。 因为k=0时，kP?X=k=?0，所以期望?=（k=1,2,）。? 根据泰勒展开式：， 故。 12 函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数的?观点和方法贯穿整个高中代数的全程，又渗透到立体几何和解析几何中。? 对函数概念的透彻理解，是求解有关函数应用题的基础，通过求解函数应用题，可以让学生体验“实际问题建立数学模型数学解答得出实际问题的解”的问题
11、解决模式，深化对函数概念的理解。? 函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。在高中数学课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量等都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的出发点。反过来，通?过这些内容的学习，更加深了对函数思想的认识。? 在大学数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程等课程，都是从不同角度研究函数的。 综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度连接起了高中数学课程的很多内容。 13 首先，数学是研究现实世界中数量关系和空间形式的科学
12、，数学运算在数学中具有极其重要的地位。数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养。 其次，数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等。数学运算是解决数学问题的基本手段。数学运算是演绎推理，是计算机解决问题的基础。数学运算的过程中，学生能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神。 最后，高中数学运算素养在课堂培养中需要做到：梳理数学运算常见错误，强化数学运算培养途径，形成数学运算的培养共识。比如计算出错，学生对计算能力的内涵缺乏科学认识，常常将计算过程中的错误原因归结
13、到非智力因素上；强化运算能力培养途径，首先要理解概念夯实运算根基，准确理解概念是取得数学运算成功的重要前提，而学生许多错误的原因主要是概念理解出错，或者概念理解不全，因此在课堂上就需要把概念讲清讲透，通过举一反三，强化学生对概念的理解；计算是数学运算不可逾越的基本功，需要学生在平时锻炼提升自己的运算能力。 14 （1）由题意可知，。?图中：在直角三角形AOP?中，AP=，同理，在折射光线与法线构成的直角三角形中，。? 所以?=+。? （2）由题图可知，=，=? ，又由（1）知，=，T()是关于的函数，则 =-。又有极小值，令，解得，即。 15 数据分析是指针对研究对象获取数据，运用数学方法对数
14、据进行整理、分析和推断，形成关于研究对象知识的素养。数据分析过程主要包括：收集数据，整理数据，提取信息，构建模型，进行推断，获得结论。 数据分析是研究随机现象的重要数学技术，是大数据时代数学应用的主要方法，也是“互联网 +”相关领域的主要数学方法。数据分析已经深入到科学、技术、工程和现代社会生活的各个方面。例如：要研究某一地区的生活质量水平，通过前期的抽样调查，获得数据，要知道调查结果的有效性，则需要运用一定的分析方法（平均数、众数、中位数、方差等）对数据进行分析。 数据分析充分体现了归纳推理的有效性，体现了归纳推理是逻辑推理的本质特征，高中阶段培养数据分析能力有效地迎合了大数据时代的要求。
15、高中数学课程改革着力于发展学生的数学核心素养，数据分析能力作为六大核心素养之一至关重要。通过高中数学课程的学习，学生能提升获取有价值信息并进行定量分析的意识和能力；适应数字化学习的需要，增强基于数据表达现实问题的意识，形成通过数据认识事物的思维品质；积累依托数据探索事物本质、关联和规律的活动经验。 16 （1）普通高中数学课程标准（2022版）提出基于数学学科核心素养的教学活动应该把握数学的本质，创设合适的教学情境，从而引发学生思考与交流，形成和发展数学学科核心素养。教学情境是多样的、多层次的。教学情境包括：现实情境、数学情境、科学情境，数学学科核心素养在学生与情境、问题的有效互动中得到提升。
16、 情景1创设了商店双十一商品降价促销的现实情景，将抽象的数学知识具体到实际的生活情境中，拉近了数学与生活的距离。课标要求教师要在教学活动中对数学问题进行合理的情境创设，在具体的情境中引导学生发现问题、提出问题进而解决问题，要充分调动学生的主观能动性，突出学生的主体地位，学生要能够在解决问题的过程中提升数学学科素养，感受知识的形成和探究过程。 情景2虽然没有创设具体的生活情境，但通过数学的应用性创设了一个数学情境和科学情景，通过天平称重的探究问题，引发学生进行数学思考，学生经历观察思考、讨论概括、合作实践的过程寻找正确测量方法，不仅可以加深对基础知识、基本技能的掌握程度也能够体会其中蕴含的数学思
17、想，获得丰富的数学活动经验，提升发现问题、分析和解决的问题的能力，形成严谨求实，敢于反思质疑的科学精神。 （2）实施高中数学情景教学时应注意以下问题： 在教学活动中，应结合教学任务创设合理的教学情境。情景创设要能够针对教学目标，突出教学的重点、突破难点，也要考虑到数学知识的形成过程.如在创设的情境中，要能够提出并发现针对性的数学问题，在解决的过程中感受知识的形成过程，也能够更好地理解知识，理解重难点。 应根据知识所蕴含的数学学科核心素养设计合理、恰当的情境和问题，引导学生用数学的眼光观察现象、发现问题，使用恰当的数学语言描述问题，用数学的思想、方法解决问题，例如情境创设要根据每节课知识的不同，
18、逐步提升学生的数学抽象、直观想象、数学建模、数学运算、逻辑推理以及数据分析能力。 情境的创设应注重数学知识的运用。要在问题解决的过程中，理解数学内容的本质，促进学生数学学科核心素养的形成和发展，在运用数学知识解决现实问题提的过程中体会数学知识的价值和意义。 17 （1）教学重点：结合函数图象特点理解函数零点存在性定理，理解二分法求解方程近似解的思路并会画程序框图，能借助计算工具用二分法求方程近似解。 （2）教学过程 环节一：复习导入 教师活动：复习函数零点定义及零点存在性定理，提出问题：你能利用零点存在性定理求解函数在区间（2,3）内是否存在一个零点吗？ 学生活动：就老师提出的问题进行思考或讨
19、论，得出：可以将2、3带入函数解析式，计算出，从而在区间（2,3）上函数存在零点。 教师活动：教师顺势提问如何求出这个零点呢？引发学生的思考，导入新课二分法。 设计意图：采用复习导入，回顾旧知，为新知的学习和理解做好知识上的准备，同时结合启发式问题，激发学生的学习兴趣，引发学生的思考，进而引入新课的学习。 环节二：探索新知 1.合作探究，得出方法 教师活动：老师给与提示，大多数函数不能像二次函数那样直接计算出根的精确值，在实际问题中只需要求出满足一定精确度的近似值即可。 提出问题：根据零点存在性定理，想一想如何将函数的零点范围尽可能缩小？（可以借助计算器计算） （给予一定的时间，组织学生思考并
20、抢答或自主探究再回答，教师针对学生的回答结果作相应评价或让学生自评或互评。） 学生活动：预设用计算机计算出的大小，与,正负进行比较，再次根据零点存在性定理确定零点范围，为（2.5,3）； 计算，与正负进行比较，再次根据零点存在性定理缩小零点范围 教师活动：计算过程完整，结论准确。教师给出适当讲解并总结上述尝试过程就是二分法的具体思路，通过这样的过程可以一步一步求得某一精确度下的零点。给出二分法的数学表述并板书。 2.体会思路，动手实践 教师活动：请学生重复上述过程，借助计算器计算结果，并将结果填写在教材的表格中，将零点所在区间缩小为原来的；结合动手过程，尝试总结二分法求解方程近似解的流程框图和
21、计算步骤。 （请同学们前后四人为一个数学小组，利用3分钟的时间合作交流讨论，动手实践过程中老师进行巡视指导。结束后小组代表来展示计算过程和答案。针对回答结果给予评价。） 学生活动： 根据问题探究出结果。 教师活动：根据学生结果适当补充并总结用二分法求解方程近似解的步骤并板书。 设计意图：通过设置问题和实践探究的教学活动，引导学生进行问题的思考并进一步的讨论，体现了教师的主导性作用；学生采用小组讨论和自主探究等多种学习方法，进行问题的探究，提高学生之间的合作交流意识、语言表达和信息共享意识，为提高解决问题的能力奠定基础，这也是体现学生主体性作用的一种重要学习方法。 环节三：巩固练习 教师通过多媒
22、体展示练习题目，引导学生借助计算机工具尝试利用二分法得出函数的近似解（精确度0.1），找同学代表到黑板上进行板演，完成后教师针对结果给予评价并总结。 设计意图：通过设置针对性的练习题，不仅能使学生的新知得到及时巩固，也使学生思维能力得到有效提高，能更好的将知识学以致用，找学生代表去黑板练习，这也充分体现学生的主体性地位。也能进一步增强学生的自信心和数学学习的严谨性，加深对二分法思想的理解和体会。 （3）上述教学方案的特点有： 充分突出学生主体地位。该教学过程设置了提问法、讨论法和动手实践等教学活动，充分发挥学生的主观能动性，引导学生多思考，多动手，多总结，不仅能够提升发现问题、分析和解决问题的
23、能力，也能够加深对知识的理解、对二分法思想的感悟。 注重知识的过渡和形成过程。通过启发式引导式提问，激发学生学习兴趣， 课堂起始就引导学生回顾函数零点及存在性定理，在探究的过程中又不断设置问题，如何进一步利用存在性定理缩小零点区间，在这样的问题设置中，一步一步感受二分法的步骤和思路，由浅入深，层层递进。 合理借助信息技术进行教学。该教学方案多次提示学生可以借助计算器计算结果，在保证计算精确度的前提下，加快区间缩小的速度，更好地感受二分法的巧妙之处，更快地体会二分法的思想，学生也能在计算的过程感受信息技术对数学学习的重要作用。 上述教学方案的实施的注意事项如下： 在设置问题时，教师一定要注意问题
24、的层次性、启发性和目的性，在学生思考的过程中也要根据具体情况给出适当的提示和引导，时刻回归知识本身，关注教学重难点； 在设置教学活动时，充分发挥学生的能动性，教师也要适时地巡视指导，给出恰当合理的提示和指导，起到一个良好的组织者，引导者和合作者的作用，突出学生主体地位； 借助计算机辅助计算时，既要让学生体会计算机的便捷之处以及对数学学习的重要作用，也要注意合理运用并不等于完全依赖。 第18页 共18页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页第 18 页 共 18 页