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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载一元二次方程之判别式法与韦达定理（一）知识点梳理一元二次方程ax2+bx+c=0 （ a、 b、 c 属于 R，a0）根的判别， =b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。(组 )，解不等式，研究函数乃韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根； 已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。2b4ac1、一元二次方程根的
2、判别式：（1）当（2）当（3）当（4）当 0 时=0时 0时0时方程有两个不相等的实数根；方程有两个相等的实数根； 方程没有实数根，无解； 方程有两个实数根 b2 4ac 的意义， 在于不解方程可以判别根的情况，（5）根的判别式还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。2、一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：ba2（ 1 ） 若x1, x2 是 一 元 二 次 方 程 ax，bxc0的 两 个 根 ， 那 么 ： x1x2cax1x22（2）以两个数x1 , x2 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是： x(x1x2 ) xx1 x203、一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几
3、个方面有着广泛的应用：（1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。（2）不解方程，求某些代数式的值。（3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。（4）已知两数和与积，求这两个数。（5）二次三项式的因式分解。00注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。a例题讲解22kx 的方程例 1、 当为何值时，关于x2k1 xk2k3 ：两个不相等的实数根；有两个相等的实数根；没有实数根。欢迎下载第 1 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载2m为何值时，关于x的方程 mx0有两个相等的实数根？并3mxm5例 2、求出这时方程的根。2已知方程 x0的两实数根为、，不解方程
4、求下列各式的值。3 x1例 3、22 ；（ 2）33 ；（ 3）（1）；22（ 4）1 ；（ 5）；（ 6） 31432已知关于x的方程xk2 x2k0例 4、（1）求证：无论k 取任何实数值，方程总有实数根。（2）若等腰三角形的一边长为1，另两边长恰是这个方程的两个根，求三角形的周长。欢迎下载第 2 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载走进中考专题训练一、填空题：1关于 x 的一元二次方程2x1， x2，则x 1+x 2=的两根为， x 1x 2=；若ax +bx+c=0x2+px+q=0方程, 则的两根为，。=2，x1 x 2+ x2x1，x 2，则，x 1+x 2=2若
5、方程2x(x+3)=1 的两根分别为，x 1x 2=1 x2 =4x14x222，。x1x2=+=2x 2a 23 x10 的一个根为3关于 x 的一元二次方程2，则 a 的值为。x2ax2a04已知一元二次方程的两根之和为4a 3，则两根之积为。x 24 xm0 有实根；当m5当时，一元二次方程时，两根同为正；m当 m时，两根异号。116以,为根的一元二次方程为。23x2x1x1x226 x30 的两个实数根，则x1， x2 是方程x7已知的值为。x2y 2mx60 的两个根分别比一元二次方程my60 的两8如果一元二次方程个根均大5，则 m 的值为。二、解答题：9不解方程，求下列各方程的两
6、根之和与两根之积：222 x30x7 x303x( x2)5(1)(2)(3)2（ 2k+1 ）x+k=0 ，（1）有两个不相等的实数根；（ 2）有两个相等10 k 取何值时，方程kx的实数根；（ 3）无实数根欢迎下载第 3 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载x 2(m2)x2m10.11已知关于x 的方程（1）求证：方程有两个不相等的实数根；（2）当 m 为何值时，方程的两根互为相反数？并求出此时方程的解。x 2m 2( 2m1) x40 ，如果方程的两个不相等的实数根的平12已知关于x 的方程方和等于15，求 m 的值。x22 xa0 .a 的取值范围；13已知关于x
7、的一元二次方程（1）如果此方程有两个不相等的实数根，求1x11x223（2）如果此方程有两个实数根为x 1， x 2，且满足，求 a 的值。222ax4a20 的两个实数根，当x 1， x2 是关于 x 的一元二次方程xa14设a 为22何值时，x1x2有最小值？最小值是多少？欢迎下载第 4 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载自我检测1方程（ m+2 ） x A m2 m+3mx+1=0 是关于B m=2x 的一元二次方程，则（C m= 2）D m=2142（ m 3） x+m 22已知关于x 的方程=0 有两个不相等的实数根，则m 的最大整数x值是（A 2）B 1C 0D
8、 1）23 k 为实数，则关于x 的方程x +2（ k+1 ）x+k 1=0 的根的情况是（B有两个相等的实数根 D不能确定A 有两个不相等的实数根C无实数根2 8x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）4已知关于A 1x 的方程（2m 1） xB 2C 1 或D 0、 1、 2）222 2mx+m 25对任意实数m，关于x 的方程（m +1 ）x+4=0 一定（A 有两个不相等的实数根C无实数根 6若关于x 的一元二次方程B有两个相等的实数根D不能确定2 2x+1=0 有实数根，则k 的取值范围是（D k1且 k0）kxA k 1B k1C k 1 且 k03x 2ax2b07若方
9、程的两根和为4，积为 2，则 a，b 分别为（）A 12 与 -3B 4 与 3C 12 与 3D 4 与 3ax2bxc0 ，若abc0 ，则该方程一定有一个根为8已知一元二次方程（）A 0B 1C 1D 29试证明：关于方程x 的方程（a2 8a+20）x2+2ax+1=0 ，不论a 取何值，该方程都是一元二次欢迎下载第 5 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载一元二次方程之判别式法与韦达定理（二）走进中考专题训练一、填空题1若方程（ m 1） x m +1 2x=3 是关于 x 的一元二次方程，则m= 22对于方程 （ m 1）x +（ m+1 ）x+3m+2=0 ，当
10、 m 时，为一元一次方程； 当 m 时为一元二次方程23一元二次方程ax +bx+c=0 至少有一个根为零的条件是 12232 mx+25如果 m 为任意实数， 则一元二次方程=0 的解的情况是xm +m+26 k 1 时，关于x 的方程 2（k+1 ） x +4kx+2k 1=0 的根的情况是 27若 x=a（ a2）是关于x 的一元二次方程（k 1） x +2kx+k+3=0的一个实数根，则k 的取值范围是 28 若 关 于x的 方 程 （ m 1 ） x +2mx+m+3=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根， 则 = ，则m 的取值范围是 二、选择题9方程（ m+2 ） x A m
11、2 m是关于x 的一元二次方程，则（C m= 2）D m=2+3mx+1=0B m=214x 2（ m 3）x+m 2 =0 有两个不相等的实数根，则10已知关于x 的方程m 的最大整数值是（）A 2B 1C 0D 1211 k 为实数，则关于x 的方程x +2（ k+1 ） x+k 1=0 的根的情况是（B 有两个相等的实数根D 不能确定）A 有两个不相等的实数根C无实数根2 8x+4=0 有两个实数根，则非负整数m 的值为（）12已知关于A 1x 的方程（2m 1）xB 2C 1 或 2D 0、 1、 222 2mx+m 213对任意实数m，关于x 的方程（ m +1） x+4=0 一定（
12、）A 有两个不相等的实数根C无实数根B 有两个相等的实数根D 不能确定3422 （ a c） x（a c） =0 有两个相等的实数根，则14已知关于x 的方程（b+c） x +以 a、 b、 c 为三边长的三角形是（A 直角三角形C等边三角形）B 等腰三角形D 不能确定2 （2 k4 ） x+k=0有 两 个 不 相 等 的 实 数 根 ， 则 化简15 若 关 于x的 方 程x2k4k4的值为（）k+2+A 416若关于B 2kx 的一元二次方程C 42 2x+1=0 有实数根，则D 2kk 的取值范围是（）kx欢迎下载第 6 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载A k1三
13、、解答题17解关于B k1C k 1 且 k0 Dk1且 k0222x 的方程 2x +（ 3m n） x 2m +3mn n =02218若两个关于x 的方程 x +x+a=0 与 x +ax+1=0 有一个公共根，求a 的值x 的方程（ a28a+20）x 2+2ax+1=0 ，不论 a 取何值，该方程都是一元二19试证明：关于次方程142（ k+1 ） x+21方程 xk=0 能否有相等的实数根若有请求出来1a1b222已知一元二次方程（ab2b）x +2（ b a）x+2a ab=0 有两个相等的实数根，求的值欢迎下载第 7 页，共 8 页精品学习资料精品学习资料学习必备欢迎下载自我检
14、测下列方程中，两实数根之和等于2 的方程是（）301.x2x23x2x2x3300x 22 x6xA.B.D.22C.2x10、x3x20 的两个根为x，那么xx的值分别为与 x x如果一元二次方程2.121212（）3，23，23， 2A. 3 ， 2B.C.D.如果方程 2x 2x 、x6x30 的两个实数根分别为，那么x x2 的值是（）3.12132323A. 3B.C.D.1x11x22如果 x1、 x2x3x是方程10的两个根，那么的值等于（）4.1313A.3B. 3C.D.2x(k2)x6k0 有两个相等的正实数根，已知关于x 的方程则k 的值是（）5.A.2D.251010C. 2 或B.2若方程 x8xm0 两实数根的平方差为16，则m 的值等于（）6.15A. 3B. 5C. 15D.22如果 x1、 x2x12 x1是两个不相等的实数，且满足1 ， x22 x21 ，那么x1 x2等7.于（）21A. 2B.C. 1D.222m，关于 x 的方程 (m1) x2mx(m4)0 一定（8. 对于任意实数）A. 有两个正的实数根B. 有两个负的实数根C. 有一个正实数根、一个负实数根D. 没有实数根欢迎下载第 8 页，共 8 页