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1、YOUR LOGO原 创 文 档 请 勿 盗 版名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼特 征 根 法 再 求 递 推 数 列 通 项 中 地 运 用各种数列问题再很多情形下，就为对数列通项公式地求解。特别为再一些综合性比较强地数列问题中，数列通项公式地求解问题往往为解决数列难题地瓶颈。如：2（ 08 年广东高考） 设 p、 q 为实数， 、 为方程 x -px+q=0地两个实数根，2数列x n 满足 x1=p,x 2=p -q,x n=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5)1 ）2）求数列 x n 地通项公式。1，求数列 x43）若p1， q 地前n 项地与 snn(09 年江西高考
2、) 各项均为正数地数列an中a, b1b,且对满足 mpq地正整数 m, n, p, q都有a1n，apaqanam，(1ap )(1aq )(1an )(1am )1 ,b24 时，求通项51）当a。an像上述两道题， 如果不能顺利求出数列地通项公式，就不能继续做后面地题，想得高分就难，对于那些有可能上重点大学地绩优学生来说重点大学之梦就可能为两个字遗憾。本文就一、两种题型进行探讨，重点强调求解数列通项公式地方法之一特征根法地运用，希望能对部分同学有帮助。类型一、 递推公式为qan （其中 p， q 均为非零常数）。anpan21先 把 原 递 推 公 式 转 化 为x2 (anx1 an
3、)， 其 中x1 , x2 满 足anx1an211x1x1 x2x2p ，显然2x1 , x2 为方程 x0 地两个非零根。pxqq第 1 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼1）如果0 ，则 an0 ， an 成等比， 很容易求通项公式。a 2x1 a1x1an212）如果0 ，则 anx1 an 1 成等比。公比为x2 ，a 2x1 a12n1所以anx1 an(a2x1 a1 ) x2，转化成：1anx1x2an1( a2x1 a1 )，n 1n 2x2x2an1( I )又如果 等差，公差为(a 2x1 a1 ) ，x2 ，则x1n 1x2ana21n111所以(n1
4、)( a2x1a1 ) ，即：an a2(n1)(a2x1a1 )x21nx2a2x2(a22)x1a1 ) xx2n1Bn) xn1可以整理成通式：a( Aa( nn2n2anx1x21Ii)如果，1A ， ( a2x1a1 )B , 就有x1x2 ，则令bnn 1x2B ，利用待定系数法可以求出bn 地通项公式bnAbn1a1x2 (1x2 )x1(a 2x1 a1 ) x2x2n 1bn)x1x2x2x1a1 x2 (1x1x2 )x2x1(a2x1a1 ) x2x2n2n1所以 an，化简整理得：()x2 x2x1a1 (1x1x2 )x2a1 x1x1a2x 2n 1n1anx1x2
5、，小结特征根法 ：对于由递推公式， a1给出地anpanqan, a2212数列an，方程q0 ，叫做数列an地特征方程。若x1 , x2 为特征方xpxn 1n 1程地两个根，当x2 时，数列an地通项为anAx1Bx2，其中 A，B 由x1n 1n 1决定（即把 a1, a2 , x1 , x2 与 n1,2 ，代入 anAx1Bx2，得到关a1, a2第 2 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼n 1于 A、B 地方程组）；当x1x2 时，数列 an地通项为an( ABn) x2，其中 A，n 1B 由 a1到关于决定（即把 a1 , a 2 , x1, x2 与 n1,
6、2 ，代入an( ABn ) x2，得, a2A、B 地方程组）。简例应用（特征根法） ：数列N ) ，an： 3an5an2an0(n0, n21232a, a2b 地特征方程为：,a13x5x20x11, x22n 1n 1n 1anAx1Bx2AB()。又由3b ，于为a1a, a 2aAB2 B3AB3b2a2b)() 3n 1故 an3( ab)3b2 a3(abA下面再看 特征根法再08 年广东高考题中地应用：2设p、 q为实数， 、 为方程x -px+q=0地两个实数根，数列x n 满足2x1 =p,x 2=p -q,x n=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5)1 ）2
7、）求数列 x n 地通项公式。1 ，求数列 x43）若p1， q 地前 n 项地与 snn2解： 2）显然 xn=pxn-1 -qx n-2 (n=3,4,5) 地特征根方程就为x -px+q=0 ，而 、2x -px+q=0 地两个实数根，所以可以直接假设：为方程2x =p,x =p -q ，所以n1 ，因为1 当=时，设 x(ABn)2n22PPqAA( A2B)Bpp2解得P 2qqpBp 2n2xn 2pq( pqp)n2n 1n 12 当时，设 xx =p,x =p -q ，所以AB，因为12n第 3 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼22ABpppq ， Bppq
8、解得A2ABpq22ppqppqn1n 1+xn1 时，41 ，由第 2）小题地项可以直接得到2，可以用错位相减法求与顺利拿下第3）p1 ， q1213）小题。ABxn(n1)n2本题为 08 年广东高考真题， 开始前两问均以字母地形式出现，给考生设置了接题障碍，如果再考前曾经学过特征根法 ，记住公式，那本题对这同学来说无疑为几分种地事情， 或对特征根法有一定地了解，也许为多花点时间地问题，至少为接题思路与方向明确，绝不会象无头苍蝇一样乱撞。知道特征根法 地来龙去脉、公式、以及运用也为学生能力拓展地一种表现。特征根法 还能应用于下面一种数列题型地解答：panra nqh类型二、an1解 法 ：
9、 如 果 数 列 an满 足 下 列 条 件 ： 已 知a1 地 值 且 对 于nN ， 都 有panra nqhhrp、q、r 、h 均为常数，且（其中an），那么，phqr , r0, a11pxrxqh可 作 特 征 方 程, 当 特征 方 程 有 且 仅有 一 根x时 , 如 果ax则x0101为等差数列。当特征方程有两个相异地根anx0 ；如果x0 则x1 、a1anx0ananx1x2为等比数列。（证明方法如同类型一，从略）x2 时，则an2an43例： 已知数列 an 满足性质：对于, 且 a13, 求 an 地通项nN ,an1公式.第 4 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容
10、可掬，更上一层楼x2 x432解 :数 列 an 地 特 征 方 程 为 x, 变 形 得 2 x0, 其 根 为2 x42. 故特征方程有两个相异地根，则有1,12appr3311(2112222515111)n 1)n1 , nn 1N. c), nN.c(nna12 r22 (1) n551221n2 cncn(5)4 , n1 a, nN.即 aN.nnn112(5)n 1()15513anan253例：已知数列 an 满足：对于N, 都有 an.（1）若 a15, 求 an ;（2）n1若 a1再？3, 求 an ; （3）若 a16, 求 an ; （4）当 a1 取哪些值时，无穷
11、数列 an 不存13xx25 .变形得2x解：作特征方程10x250,x3特征方程有两个相同地特征根5.(1) a15,.对于 nN, 都有 ana15;1r111 5(2) a13,. bna1(n1)(n1)a1pr351312n1 ,令0，得 n5 . 故数列 an从第5 项开始都不存再，bn81bn5nn175当 n 4， nN 时，.an1rn1(3) a16,5, a1. bn(n1)1, nN.a1pr8令0,则n7n.对于bnnN, bn0.115nn43, n7a5N.nn1bn18第 5 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼(4) 、显然当3 时，数列从第2
12、 项开始便不存再 . 由本题地第（1）小题地a1解 答 过 程 知 ，5时 ， 数 列 an 为 存 再 地 ， 当时 ， 则 有a1a151r1n1令0,则得bn( n1), nN.bna1pra1585nn131且 n 2.a1, nN5nn13 （其中 n1当 aN 且N2）时，数列 a 从第 n 项开始便不存再。1n5nn131于为知：当 a1 再集合 N, 且 n 2 上取值时，无穷数列 an 3 或: n都不存再。变式 : （2005，重庆 , 文,22, 本小题满分 12 分）数列1 an 满足 a11且8an0(n1). 记 bn(n1).1an16an2an5112an（）求
13、 b1、b2、b3、b4 地值；（）求数列 bn 地通项公式及数列 an bn 地前 n项与Sn .2an1658an2 x1658x1 或254解：由已知 , 得 a, 其特征方程为解之得 ,xxxn 112128an512( an)46(an)1254,anan1116168an1254125412541254ananana1n 1112( 1) n24n22541,an2 nananana111343n112bn2(n1)由b得 a bb1,nn nn12an故 Sna1b1a2 b2an bn第 6 页，共 7 页名师归纳大肚能容，笑容可掬，更上一层楼1 (12n )35313n12n
14、(25n1)( b1b2bn )n12下面再欣赏用 特征根法 解决09 年江西高考真题中各项均为正数地数列ana, b1b,且对满足 mpq地正整数m, n, p, q都有a1n，apaqanam，(1ap )(1aq )(1an )(1am )1,b2an4 时，求通项51）当aanapaqamana1ana21解：由得(1ap )(1aq )(1an )(1am )(1an )(1a1 )(1an 1 )(1a 2 )2an1，作特征方程22 xx1 ， x21化间得1， x1 。axn12an1nanan111 an3 an11anan11133111所以annn31从上面地解答不难看出特征根法再某些特殊地数列递推题型中有比较轻巧灵活简便地运用，而离开特征根法，这些题目不仅难度较大，运算较烦，许多同学只能为望题兴叹！ 其实从网络上搜索便知特征根法再许多地数学分支领域、科学应用领域都有着广泛地应用。第 7 页，共 7 页