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1、 20202021学年度茂名市普通高中高二年级教学质量监测数学试卷本试卷共4页，22题.全卷满分150 分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交.一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选
2、项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则中元素的个数为（ ）A B C D 2.已知命题，则为（ ）A，B，C，D， 3.已知双曲线的一条渐近线为第一象限与第三象限的角平分线，则的离心率为（ ）A B C D 4.已知倾斜角为的直线与直线平行，则的值为（ ）A B C D 5.冼夫人故里、放鸡岛、窦州古城、茂名森林公园这个景区均为广东茂名市的热门旅游景区，现有5名学生决定于今年暑假前往这个景区旅游，若每个景区至少有名学生前去，且每名学生只去一个景点，则不同的旅游方案种数为（ ）A B C D 6.某圆柱的轴截面是周长为的矩形，则该圆柱的侧面积的最大值是（ ）A B C D 7.记的面积
3、为，若， ，则的最大值为（ ）A B C D 8.草地贪夜蛾是一种起源于美洲的繁殖能力很强的农业害虫，日增长率为，若只草地贪夜蛾经过天后，数量落在区间内，则的值可能为（参考数据：，）（ ）A B C D 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知复数满足，则（ ）A的虚部为 B的共轭复数为 C D在复平面内对应的点位于第二象限10.茂名市某单位在定点帮扶贫困村村的过程中，因地制宜，优化产业结构，使得该村人均年纯收入逐年提高. 村村民，年这年的人均年纯收入（单位：万元）与年份代号之间的
4、一组数据如表所示： 年份年份代号 人均年纯收入 若与线性相关，且求得其线性回归方程为，则下列说法错误的是（ ）A人均纯收人（单位：万元）与年份代号负相关BC从2016年起，每经过年，村民人均年纯收入约增加万元D2023年村人均年纯收人约为万元11.已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）A B C把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象D把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数在上是减函数12.已知函数是定义在上的可导函数，其导函数为，若，且，则使不等式成立的的值不可能为（ ）A B C D 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量，
5、则向量，夹角的余弦值为 14.已知等比数列的前项和为，则的值为 ，若，则 （本题第一空2分，第二空3分）15.已知函数为定义在上的偶函数，且在区间内单调递减，在区间上单调递增，写出一个满足条件的函数 16.在我国古代数学名著九章算术中，将底面为直角三角形的直棱柱称为“堑堵”.如图，已知三棱柱是一“堑堵”，点为的中点.则三棱锥的外接球的表面积为 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在，三个条件中任选一个，补充到下面问题并解答.已知等差数列的前项和为， ， 若，求数列的前项和.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.在中，角，的对边分别为
6、，且.（1）求角的大小；（2）若的面积为，且的外接圆半径为，试判断的形状，并说明理由.19.如图，在四棱锥中，平面，.（1）证明：平面平面；（2）求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.20.随着智能手机的迅速普及，外卖点餐也开始成为不少人日常饮食中的一部分，但方便群众生活的同时，部分外卖派送人员诸如服务态度差、派送不及时、包装损坏等一系列问题也让市民感到不满，影响了整个行业的持续健康发展.市外卖行业协会为掌握本市外卖派送人员的服务质量水平，随机选取了名外卖派送人员，并针对他们的服务质量细化打分（满分分），根据他们的服务质量得分分成以下组：，统计得出以下频率分布直方图：（1）求这名外卖派送人员服务
7、质量的平均得分（每组数据以区间的中点值为代表）；（2）市外卖派送人员的服务质量得分（单位：分）近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数.若市恰有万名外卖派送人员，试估计这些外卖派送人员服务质量得分位于区间的人数；（3）为答谢外卖派送人员积极参与调查，该协会决定给所抽取的这人一定的现金补助，并准备了两种补助方案.方案一：按每人服务质量得分进行补助，每分补助元；方案二：以抽奖的方式进行补助，得分不低于中位数的可抽奖次，反之只能抽奖次.在每次抽奖中，若中奖，则补助元/次，若不中奖，则只补助元/次，且假定每次中奖的概率均为.问：哪一种补助方案补助总金额更低.参考数据：若随机变量Z服从正态分布，即，则，
8、.21.已知函数.（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，若不等式恒成立，求实数的取值范围.22.已知圆与抛物线相交于，两点，且.（1）求的标准方程；（2）过点的动直线交于，两点，点与点关于原点对称，求证：.高二数学参考答案及解析一、选择题1.解析：，故中元素的个数为.故选.2.解析：先变量词，再否结论，故可知命题的否定为，.故选.3.解析：由题意可知双曲线的一条渐近线方程为，即，所以的离心率.故选.4.解析：由已知得，故，故选.5.解析：不同的旅游方案种数为.故选.6.解析：设该圆柱的底面圆半径为，高为，则，所以，该圆柱的侧面积，当且仅当时取等号.故选.7.解析：以的中点为原点，直线为轴建
9、立，直角坐标系，由椭圆的定义易知，点的轨迹是分别以，为左、右焦点的椭圆（不含长轴两端点），且，则，故该椭圆的标准方程为，.当且仅当时取等号.故选.8.解析：由题意得，两边取对数得，所以，且，即，对照各选项，只有符合.故选.二、多项选择题9.解析：因为，所以的虚部为，的共轭复数为，它在复平面内对应的点位于第二象限，故正确，正确，正确；，故错误.故选.10.解析：由回归直线的斜率为，得人均年纯收人（单位：万元）与年份代号正相关；错误；因为，所以，于是得，解得，正确；由每增加，约增，可知每经过年，村民人均年纯收人约增加万元，正确；2023年的年份代号为，故，故可估计2023年村人均年纯收人约为万元，
10、错误.故选.11.解析：设点在轴上的投影为，则，.，又，即，正确；正确；，错误；把图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到的函数为，当时，故函数在时为减函数，正确，故选.12.解析：设 ，则.，即函数在定义域上单调递减.，不等式等价于，即，解得.故不等式的解集为.故选.三、填空题13.解析：由，得，所以，所以.14.解析：由得，.设公比为，若，则为正数，故，.15.（答案不唯一）解析：若，则，所以为偶函数，当时，显然在区间内单调递减，在区间上单调递增，故的解析式可以是.16.解析：如图，取的中点，的中点，连接，则，且.所以，又，所以平面，连接，则，且，所以平面.设该球的球心为，设的
11、外心为，连接，则平面，所以.连接，由是的外心得平面，所以，可得四边形为矩形.，所以为等边三角形，可知，所以，所以三棱锥的外接球的表面积为.四、解答题17.解：设数列的公差为.若选：由，得解得，所以.因为，所以.则.若选：由，得解得，所以.因为，所以.则若选：因为，所以，所以，解得，则.因为满足上式，所以.因为，所以则18.解：（1）由正弦定理及，得，即，.，即.，.（2）为等边三角形.理由如下：，即， ，的外接圆半径为，.由余弦定理得，即，由得，为等边三角形.19.解：（1）在梯形中，过点作于点.由已知可知，.所以，即.因为平面，平面，所以.由及，得平面.又由平面，所以平面平面.（2）因为，两
12、两垂直，所以以为原点，以，所在的直线分别为，轴建立空间直角坐标系，可得，.设平面的法向量为，则，取，则，则.平面的一个法向量为，所以，所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为：.20.解：（1）由题意知：中间值 概率 所以样本平均数为.所以这名外卖派送人员服务质量的平均得分为.（2）由（1）可知，故，所以，而.故万名外卖派送人员中服务质量得分位于区间的人数约为（人）.（3）按方案一：所补助的总费用为（元）按方案二：设一个人所得补助为元，则的可能取值为，.由题意知，所以的分布列为 ，估算补助的总金额为：（元）.，所以选择方案二补助的总金额更低.21.解：（1）的定义域为，.当时，令，得；令，得，或.在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. （2）由，得，当时，即对恒成立.设，则.设，则.，在上单调递增，即，在上单调递减，在上单调递增，.的取值范围是.22.解：（1）由题意得圆心到弦的距离，则由拋物线和圆的对称性可得，两点的坐标分别为，代入的方程可得，解得，所以的方程为.（2）法一：当直线垂直于轴时，不适合题意；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，.联立方程，可得，要证明，只需要证，.法二：当直线垂直于轴时，不适合题意；当直线不垂直于轴时，设直线方程为，.要证明，只需要证点关于轴的对称点在直线上即可.直线方程为，即，联立方程，可得，将代入，可得，点在直线上，.