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1、专题01 子集、交集、并集、补集之间的关系式一、结论1、子集、交集、并集、补集之间的关系式：(其中为全集)（1）当时，显然成立（2）当时，图如图所示，结论正确.2、子集个数问题：若一个集合含有（）个元素，则集合的子集有个，非空子集有个.真子集有个，非空真子集有个.理解：的子集有个，从每个元素的取舍来理解，例如每个元素都有两种选择，则个元素共有种选择，该结论需要掌握并会灵活应用.二、典型例题（高考真题+高考模拟）1（2012湖北高考（文）已知集合，则满足条件的集合的个数为（ ）A1B2C3D4【解析】求解一元二次方程，得，易知.因为，所以根据子集的定义，集合必须含有元素1,2，且可能含有元素3,
2、4，原题即求集合的子集个数，即有个，故选D.【反思】本题考查子集的概念，不等式，解一元二次方程.本题在求集合个数时，由于集合元素个数少，也可采用列举法，列出集合的所有可能情况，再数个数即可.2（2021全国模拟预测）已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【解析】解不等式，得，所以.由，得，画出数轴：，解得故选：B【反思】在利用数轴求包含关系时，特别注意最后答案区间的开闭细节问题；解此类题目时可以遵循两步法原则：先确定大方向：由，结合数轴可以得到：注意此时不要把等号写上去，所谓先确定大方向，就是只确定与的大小，与的大小；再确定个别点：经过上述步骤再确定不等式组中等号是否可以取到
3、等号；假设；则由数轴可以观察出几何中左端是开区间；而集合左端是闭区间，结合数轴假设不成立；同理假设，也不成立；故本题最后得到的关系式为.三、针对训练 举一反三1（2013福建高考真题（文）若集合的子集个数为A2B3C4D162（2011安徽高考真题（理）设集合则满足且的集合的个数为A57B56C49D83（2022安徽黄山一模（文）已知集合，则的真子集的个数是（ ）A1B2C3D44（2022全国模拟预测）已知，则的子集的个数为（ ）ABCD5（2022重庆实验外国语学校一模）已知集合，则集合的所有非空子集的个数为（ ）A5个B6个C7个D8个6（2021全国模拟预测）已知集合，若，则（ ）A
4、1B1或0C1D0或17（2021江西新余市第一中学模拟预测（理）已知集合，集合，且，则实数的取值集合为（ ）ABCD8（2021全国全国模拟预测）已知集合，且，则满足条件的集合P的个数是（ ）A8B9C15D169.（2021辽宁实验中学二模）已知非空集合、满足：，则（ ）ABCD10（2021湖南雅礼中学高一期中）定义，设集合，则集合的所有子集中的所有元素之和为_11（2022全国高三专题练习）集合，是的一个子集，当时，若有且，则称为的一个“孤立元素”，那么的元子集中无“孤立元素”的子集个数是_12（2022天津西青高三期末）若集合，则集合的所有子集的个数是_.13（2021江西模拟预测）
5、设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.14（2021江西模拟预测）设全集，集合，.(1)当时，求；(2)若，求实数的取值范围.15（2021陕西高新一中高一期中）已知集合或，其中(1)求；(2)若，求实数的取值范围16（2021安徽芜湖一中高一阶段练习）已知集合.(1)当时，求的非空真子集的个数；(2)若，求实数的取值范围；(3)若，求实数的取值范围.专题02 交、并、补(且、或、非)之间的关系(德摩根定律)一、结论交、并、补(且、或、非)之间的关系(德摩根定律)(1)集合形式,(2)命题形式：，二、典型例题1（2017四川三模（理）已知全集，集合，满足，则下列结论正确的
6、是（ ）ABCD【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C正确；对于D：； D错误；故选：C【反思】本题主要借助图，对于B，D选项，充分利用德摩根律,，再结合图，可以快速，准确判断正误.2（2011广东汕头一模（理）设是全集的三个非空子集，且，则下面论断正确的是ABCD【解析】根据公式 ，即可推出正确的结论，.故选：C.【反思】本题考查交、并、补集的混合运算，熟练运用公式，是解题的关键。三、针对训练 举一反三1（2021上海市进才中学高一期中）已知为全集，集合、非空，且，则下列式子中一定是空集的为（ ）ABCD2（2021全国高一课时练习）
7、已知为全集，则下列说法错误的是（ ）A若，则B若，则或C若，则D若，则3（2021全国高一单元测试）已知集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，.设集合中有个元素，则的取值范围是（ ）ABCD4（2020浙江）已知全集中有m个元素，中有n个元素，若非空，则的元素个数为（ ）.ABCD5（2021全国高一单元测试）已知全集，则（ ）ABCD6（2017上海市育才中学）集合中有10个元素，中有6个元素，全集有18个元素，设集合有个元素，则的所有取值组成的集合为_7（2019河南高一阶段练习）已知函数的定义域为A，函数的定义域为B，设全集，则_8（2021宁夏吴忠中学高一期中）下列命题之
8、中，U为全集时，下列说法正确的是_. (1)若= ，则；(2)若，则或; (3)若，则 ; (4)若= ，则 .9（2021天津市滨海新区大港实验中学高一阶段练习）全集U=R，已知集合，.(1)求；(2)若求的范围.10（2020江苏省板浦高级中学高一阶段练习）设全集，集合，（1）求（2）求专题03 奇函数的最值性质一、结论已知函数是定义在区间上的奇函数,则对任意的,都有.特别地,若奇函数在上有最值,则;若，则有.（若是奇函数，且，特别提醒反之不成立）二、典型例题1（2012全国高考真题（文）设函数的最大值为，最小值为，则=_ .【解析】，令，则为奇函数，所以的最大值和最小值和为0，又.有，即
9、.答案为：2.【反思】本题中不是奇函数，无法直接使用结论，但是通过构造，使得是奇函数，从而有2（2022江苏盐城一模）若是奇函数，则_.【解析】因为是奇函数，并且定义域为所以有，即.【反思】在本例中，由于是奇函数，并且0属于定义域，所以可以直接利用奇函数性质求解三、针对训练 举一反三1（2022河南高三阶段练习（文）已知为奇函数，当时，则当时，（ ）ABCD2（2022湖北十堰市教育科学研究院高三期末）已知是定义在R上的奇函数，且当时，则（ ）A2B2C6D63（2022四川遂宁高一期末）若函数在上有最小值6，（a，b为常数），则函数在上（ ）A有最大值5B有最小值5C有最大值9D有最大值12
10、4（2017山西（理）若对，有，则函数在上的最大值与最小值的和为A4B6C9D125（2021甘肃省民乐县第一中学（文）设函数的最大值为5，则的最小值为（ ）AB1C2D36（2022湖北高一期末）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）AB CD7（2021江西模拟预测）已知函数在上的最大值与最小值分别为，则_.8（2022全国高三专题练习）定义在上的奇函数，设函数的最大值为，最小值为，则_9（2022全国高三专题练习）设函数的最大值为，最小值为，则_10（2021江西贵溪市实验中学高二阶段练习）已知定义域为的函数是奇函数，则实数的值_.11（2021山东省莱西市第一中学高一阶段练习）设函数的
11、最大值为，最小值为.则_.12（2021陕西高新一中高一期中）已知函数的最大值为，最小值为，求的值专题04 指数函数与对数函数互为反函数一、结论 若函数是定义在非空数集上的单调函数，则存在反函数.特别地，与（且）互为反函数.在同一直角坐标系内，两函数互为反函数图象关于对称，即与分别在函数与反函数的图象上.若方程的根为，方程的根为，那么.二、典型例题1.若实数满足,实数满足,则 解析：同底数的指数函数和对数函数互为反函数，图像关于对称，可知是函数和交点的横坐标，同理是函数与交点的横坐标，且与垂直，作出图像如下，所以，关于对称，所以【反思】对于利用反函数解题问题，首先要判断题目中两个函数互为反函数
12、，然后再重复利用结论：若方程的根为，方程的根为，那么.可快速解题.2.设点为曲线上的动点，为曲线上的动点，则称的最小值为曲线，之间的距离，记为：.若，则 解析：和互为反函数，关于对称，设与平行的直线，分别与，相切于点,则,由得，即，由得，即，所以【反思】反函数问题的重点就是图象关于对称，这也是解题的关键，在利用反函数解题时，注意配图，在图象中寻找解题突破口，数形结合.三、针对训练 举一反三1.已知是方程的根，是方程的根，则 2.已知是方程的一个根，方程的一个根，则 3.已知函数，若，图象上分别存在点关于直线对称，则实数的取值范围为（ ）A. B. C. D.4.若是方程的解，是方程的解，则（）
13、A. B. C. D.5.已知实数满足，则 .6.已知实数满足，则（）A.1 B. 2 C.3 D.43专题05 函数周期性问题一、结论已知定义在上的函数,若对任意,总存在非零常数,使得,则称是周期函数,为其一个周期.除周期函数的定义外,还有一些常见的与周期函数有关的结论如下:(1)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期(2)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(3)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(4)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(5)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.(6)如果(),那么是周期函数,其中的一个周期.二、典型例题1（2021全国高考真题
14、）已知函数的定义域为，为偶函数，为奇函数，则（ ）ABCD【答案】B【解析】因为函数为偶函数，则，可得，因为函数为奇函数，则，所以，所以，即，故函数是以为周期的周期函数，因为函数为奇函数，则，故，其它三个选项未知.故选：B.解法二：因为函数为偶函数，所以其图象关于对称，则函数的图象关于直线对称；所以；又函数为奇函数，所以其关于对称；通过图象平移伸缩变换，可以得到关于对称，进而关于对称；可得：；综合（1）（2）可得；利用结论的周期为,故本题中的周期为利用可得【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期
15、.对称性问题：轴对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：；点对称问题：关于对称，可得到如下结论中任意一个：；2（2021全国高考真题（理）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，若，则（ ）ABCD【答案】D【解析】令，由得：，由得：，因为，所以，令，由得：，所以因为是奇函数，所以图象关于对称，所以关于对称，得：因为是偶函数，所以图象关于对称；，所以关于对称，得：；综合（1）（2）得到：得到所以，再利用令代入：故选：D【反思】本例中涉及周期性，奇偶性，对称性的综合问题，其中求解周期的常用结论需直接记忆，可直接使用，本文中的6个周期结论直接记忆，可快速求周期.三、针对训练 举一反三1（
16、2008湖北高考真题（文）已知在R上是奇函数，且，当时，则A-2B2C-98D982（2021全国模拟预测（文）已知定义在上的偶函数，对，有成立，当时，则（ ）ABCD3（2021江西三模（理）已知函数的图象关于原点对称，且满足，且当时，若，则（ ）ABCD4（2021四川石室中学模拟预测（理）已知定义域为R的奇函数满足，当时，则函数在上零点的个数为（ ）A10B11C12D135（2021广西玉林模拟预测（文）已知定义在上的偶函数满足，且当，则下面结论正确的是（ ）ABCD6（2021黑龙江佳木斯一中三模（理）已知为奇函数且对任意，若当时，则（ ）AB0C1D27（2021浙江瑞安中学模拟预
17、测）已知函数是定义在R上的奇函数，满足，且当时，则函数的零点个数是（ ）A2B3C4D58（2021陕西模拟预测（文）已知定义在上的奇函数满足当时，则（ ）A3BCD59（2021全国模拟预测）已知是定义在上的偶函数，且，若，则_10（2021陕西二模（理）已知定义在R上的奇函数满足，且，则_.专题06函数图象的对称性一、结论已知函数是定义在上的函数.（1）若恒成立,则的图象关于直线对称,特别地,若恒成立,则的图象关于直线对称;最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：；周期性与对称性记忆口诀：同号周期，异号对称.（2）若,则的图象关于点对称.特别地,若恒成立,则的图象关于点对称.特别
18、地,若恒成立,则的图象关于点对称.最常逆应用：若关于对称：可得到如下结论中任意一个：二、典型例题1（2021四川雅安模拟预测（文）已知函数是定义域为的奇函数，且是偶函数.当时，则（ ）ABC8D16【答案】B【解析】由是偶函数可知对称轴为，故，又函数为奇函数，故，综合（1）（2）得：可得到函数最小正周期为,所以.故选：B【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，如本例中对称轴为，可以得到很多结论，比如：，等，那么在解题时如何取舍呢，选哪个结论能更快的解题？对于这个疑问，需同时兼顾本例中是定义域为的奇函数，可得到，纵观整体，可以看出对于对称轴为得
19、到的结论中选取从而进行快速求出周期.2（2021全国模拟预测（文）已知定义在上的奇函数满足，且在区间上是增函数，令，则，的大小关系为_.【答案】【解析】是定义在上的奇函数，可得到：联立得所以关于对称.由于在上递增，所以在递减.，在上递增，所以，所以.故答案为：【反思】函数的对称性和周期性，奇偶性，往往是紧密结合在一起的，其综合性更丰富考查函数的性质，本例中，用数学符号表示出是定义在上的奇函数，通过化简再联立，可得到：这样就得到了：关于对称.这也是周期性，奇偶性，对称性常考的形式.解题时注意利用已知条件，尤其是对称性的逆应用.三、针对训练 举一反三1（2021黑龙江哈尔滨市第六中学校二模（理）已
20、知定义域为的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数的取值范围是（ ）AB或C或D或2（2021宁夏六盘山高级中学一模（理）已知函数是上的满足，且的图象关于点对称，当时，则的值为（ ）ABC0D13（2021全国二模（理）已知是定义域为的奇函数，当时，则时，的解析式为（ ）ABCD4（2021山东滨州一模）定义在上的偶函数满足，当时，设函数（为自然对数的底数），则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）A5B6C7D85（2021河南二模（文）已知定义域为R的函数在单调递减，且，则使得不等式成立的实数x的取值范围是（ ）AB或C或D6（2021黑龙江肇州模拟预测（文）已知是定义在上的函数，且对任
21、意都有，若函数的图象关于点对称，且，则（ ）ABCD7（2021广西模拟预测（文）已知是定义在上的奇函数，满足， ，则（ ）A0BC2D68（2021全国全国模拟预测）请写出一个同时满足条件的函数_，；函数的最小值为1；函数不是二次函数9（2021江西新余市第一中学模拟预测（文）已知定义在上的奇函数，满足，且当时，若方程在区间上有四个不同的根，则的值为_.10（2021江西上饶三模（理）已知函数定义域为R，满足，且对任意，均有，则不等式解集为_专题07 经典超越不等式一、结论(1)对数形式:,当且仅当时,等号成立.(2)指数形式:,当且仅当时,等号成立.进一步可得到一组不等式链：（且）上述两个
22、经典不等式的原型是来自于泰勒级数：；截取片段：，当且仅当时,等号成立；进而：当且仅当时,等号成立二、典型例题1（2022江苏苏州高三期末）已知 则下列不等式一定成立的是（ ）ABCD【答案】C【解析】取，则，故A选项错误；取，则B选项错误；取，则，即，故D选项错误；关于C选项，先证明一个不等式：，令，于是时，递增；时，递减；所以时，有极小值，也是最小值，于是，当且仅当取得等号，由，当时，同时取对数可得，再用替换，得到，当且仅当取得等号，由于，得到，即，C选项正确. 故选：C.【反思】对于指数形式:,当且仅当时,等号成立，该不等式是可以变形使用的：注意使用时的取值范围；同样的还可以如下处理：两边
23、同时取对数：，同样可以变形使用：；注意使用时的取值范围.2（2021安徽高三阶段练习（文）已知函数.(1)若对，都有，求实数a的取值范围；(2)若a、，且，求证：对任意，都有：.【答案】(1)(2)证明见解析【解析】(1)由时：又：,若时，由，故，所以对任意，都有：此时函数在上单调递增，故对任意，都有：满足条件.若时，由，故：故可得：x-0+极小值故函数在上单调递减，在上单调递增,故：不满足条件，都有,综上，实数a的取值范围为.(2)由（1）可知，当时，对任意，都有：,故对任意，都有：,又a、，故对任意，都有：，又，故：故对任意，都有：.【反思】注意在解答题中不能直接使用，需要证明后才可以使用
24、，才可以进一步变形得到有利于解题的不等式.三、针对训练 举一反三一、单选题1（2022广东韶关一模）已知，则（ ）ABCD2（2022山西运城（理）已知命题：，；命题：，则下列命题中为真命题的是（ ）ABCD3（2021广东肇庆）下列不等式中，不恒成立的是（ ）ABCD4（2021安徽东至县第二中学（理）下列不等式正确的个数有（ ）个. ；A0B1C2D35（2020黑龙江哈尔滨（理）下列四个命题中的假命题为（ ）A，B，C，D，6（2019湖北（文）下列不等式中正确的是；.ABCD7（2020全国（理）已知命题：，命题：，则下列命题正确的是ABCD8（2021安徽毛坦厂中学高三阶段练习（理）
25、设，（其中自然对数的底数）则（ ）ABCD9（2022全国高三专题练习）若正实数，满足，则（ ）ABCD二、填空题10（2020广东高三阶段练习）已知函数的反函数为，若实数m、n满足，则 _11（2020北京中关村中学）已知函数，其中，e为自然对数的底数，若，使，则实数a的取值范围是_三、解答题12（2022浙江高三专题练习）证明以下不等式：(1)；(2)；(3).13（2022全国高三专题练习）已知.(1)求函数的单调区间；(2)设函数，若关于的方程有解，求实数的最小值；(3)证明不等式：.专题08三点共线充要条件一、结论1、设平面上三点,不共线,则平面上任意一点与,共线的充要条件是存在实数
26、与,使得,且.特别地,当为线段的中点时,.二、典型例题1（2021安徽铜陵一中高三阶段练习（理）如图，中，为上靠近的三等分点，点在线段上，设，则的最小值为（ ）A6B7CD【答案】D【解析】由于为上靠近的三等分点，故 ,所以,又因为点在线段上，所以 ，故，由题意可知 ，故，当且仅当时，即 时，等号取得，故选：D.【反思】本题重点,三点共线，可以得到且，所以本题中中的如何化简成才是本题的关键，又为上靠近的三等分点，故 ,所以得到这样，由,三点共线，得到，进而才利用均值不等式求解最值.如何利用三点共线时解本题的快速捷径.三、针对训练 举一反三一、单选题1（2020安徽安庆市第二中学高一阶段练习）如
27、图，在三角形OAB中，P为线段AB上的一点，且，则（ ）A，B，C，D，2（2022全国高三专题练习）如图，在中，C是的中点，P在线段上，且.过点P的直线交线段分别于点N，M，且，其中，则的最小值为（ ）ABC1D3（2022全国高三专题练习）在中，设，则（ ）ABCD4（2021福建厦门市湖滨中学高三期中）.如图，在中，是线段上一点，若，则实数的值为（ ）ABC2D5（2022全国高三专题练习），是圆上不同的三点，线段与线段交于点(点与点不重合)，若，则的取值范围是（ ）ABCD6（2021四川成都高三期中（文）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点点N与
28、点C不重合，设，则的最小值为（ ）A2BCD7（2021山西大附中高三阶段练习（文）如图所示，已知点G是的重心，过点G作直线分别与AB，AC两边交于M，N两点（点N与点C不重合），设，则的值为（ ）A3B4C5D68（2021福建省长汀县第一中学高三阶段练习）如图，在中，P是上一点，若，则实数的值为（ ）ABCD二、填空题9（2021湖南周南中学高二开学考试）在中，为上一点，为上任一点，（，），若，则当取最小值时，四边形的面积与的面积之比等于_10（2021黑龙江大庆中学高一阶段练习）如图，经过的重心G的直线与分别交于点，设，则的值为_三、解答题11（2021全国高一课时练习）如图，在中，与相
29、交于点M，设，（1）试用，表示向量：（2）在线段上取一点E，在上取一点F，使得过点M，设，求证：专题09 三角形”四心“向量形式的充要条件一、结论1、三角形“四心”：重心，垂心，内心，外心（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。2、设为所在平面上一点,内角,所对的边分别为,则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.3、奔驰定理奔驰定理：设是内一点，,的面积分别记作,则.说明：
30、本定理图形酷似奔驰的车标而得名.奔驰定理在三角形四心中的具体形式：是的重心.是的内心.是的外心.是的垂心.奔驰定理是三角形四心向量式的完美统一.二、典型例题1（2022四川西昌高二期末（理）在平面上有及内一点O满足关系式：即称为经典的“奔驰定理”，若的三边为a，b，c，现有则O为的（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】B【解析】记点O到AB、BC、CA的距离分别为，因为，则，即，又因为，所以，所以点P是ABC的内心.故选：B【反思】设为所在平面上一点,内角,所对的边分别为,则为的内心.利用结论可直接得到为的内心.2（2021全国高一课时练习）已知O是ABC所在平面上的一点，若，则点O是ABC的
31、（ ）A外心B内心C重心D垂心【答案】C【解析】作BDOC，CDOB，连接OD，OD与BC相交于点G，则BG=CG(平行四边形对角线互相平分)，又，可得=-，=-，A，O，G在一条直线上，可得AG是BC边上的中线，同理，BO，CO也在ABC的中线上.点O为三角形ABC的重心.故选：C.【反思】设为所在平面上一点,内角,所对的边分别为,则为的重心.利用结论可直接得到为的重心.3（多选）（2022全国高三专题练习）在所在平面内有三点，则下列说法正确的是（ ）A满足，则点是的外心B满足，则点是的重心C满足，则点是的垂心D满足，且，则为等边三角形【答案】ABCD【解析】解：对于，因为，所以点到的三个顶
32、点的距离相等，所以为的外心，故正确；对于B，如图所示，为的中点，由得：，所以，所以是的重心，故B正确；对于C，由得：，即，所以；同理可得：，所以点是的垂心，故C正确；对于D，由得：角的平分线垂直于，所以；由得：，所以，所以为等边三角形，故D正确故选：ABCD【反思】设为所在平面上一点,内角,所对的边分别为,则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.4.已知是的重心，且满足，则= .【答案】【分析】要牢记前面的系数之比为1:1:1，求得三内角的正弦比，再利用正、余弦定理求得.【解析】是的重心，由正弦定理，由余弦定理， .【反思】利用奔驰定理在三角形四心中的具体形式：是的重心，可得到，通过
33、进一步利用三角形的正余弦定理，求出角.三、针对训练 举一反三一、单选题1（2021宁夏银川一中高三阶段练习（理）中，abc分别是BCACAB的长度，若，则O是的（ ）A外心B内心C重心D垂心2（2021山东枣庄高一期中）已知点G是三角形ABC所在平面内一点，满足，则G点是三角形ABC的（ ）A垂心B内心C外心D重心3（2021福建厦门市湖滨中学高二开学考试）若是平面上的定点，是平面上不共线的三点，且满足（），则点的轨迹一定过的（ ）A外心B内心C重心D垂心4（2021全国高一课时练习）若O是平面内一定点，A，B，C是平面内不共线的三点，若点P满足+(0，+)，则点P的轨迹一定通过ABC的（ ）
34、A外心B内心C重心D垂心5（2022全国高三专题练习）设是平面上一定点，ABC是平面上不共线的三点，动点P满足，则动点P的轨迹一定通过ABC的（ ）A外心B内心C重心D垂心6（2022全国高三专题练习）在中，且，则点的轨迹一定通过的（ ）A重心B内心C外心D垂心二、多选题7（2021广东广州高一期末）已知O，N，P，I在所在的平面内，则下列说法正确的是（ ）A若，则O是外心B若，则P是垂心C若，则N是重心D若，则I是内心8（2021重庆实验外国语学校高一期中）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）ABCD若三点共线，则存在实数使9（2021广东东莞市光明
35、中学高一阶段练习）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（ ）A若，则点O是的重心B若，则点O是的内心C若，则点O是的外心D若，则点O是的垂心三、填空题10（2020四川遂宁中学高一阶段练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的_(填序号）内心 垂心 重心 外心四、解答题11（2021全国高一课时练习）已知三角形的三条中线交于一点（也称为三角形的重心），且点将每条中线分为的两段（如图，）设三个顶点分别为，求证：(1)点的坐标为；(2)专题10 与等差数列相关的结论一、结论设为等差数列的前项和.(1);(2)(3);(4)构成等差数列.(5)是关于的一次
36、函数或常数函数，数列也是等差数列.(6)(7)若等差数列的项数为偶数,公差为,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,.(8)若等差数列的项数为奇数,所有奇数项之和为,所有偶数项之和为,则所有项之和,.(9)在等差数列，中，它们的前项和分别记为则.二、典型例题1（2021山西太原高二阶段练习）设等差数列的前n项和为，若，则（ ）A28B32C16D24【答案】B【详解】由等差数列前n项和的性质，可得，成等差数列，解得. 2，6，10，成等差数列，可得，解得.故选：B【反思】等差数列中依次项之和，,组成公差为的等差数列,此结论可以直接用语计算，但是在使用公式时注意避免公式使用错误.2（
37、2022北京人大附中高二期末）已知等差数列的前项和为，并且，若对恒成立，则正整数的值为（ ）A4B5C6D7【答案】C【详解】由题意可得，所以， 又，所以， 又可得， 所以等差数列的前6项为正数，从第7项起为负数，所以， 所以.故选：C.【反思】充分利用和，推出等差数列的正负项（或者单调性），从而确定数列中最大和.3（2020安徽宣城高一阶段练习（文）已知等差数列共有项，若数列中奇数项的和为，偶数项的和为，则公差的值为（ ）ABCD【答案】A【详解】由题意，所以，所以，.故选：A.【反思】对于等差数列奇偶项和问题，首先要判断项数为奇数项还是偶数项，其次再代入相应公式计算，本例中共有项，为偶数项
38、，代入公式：,，计算可得到答案.4（2021江苏高二单元测试）已知两个等差数列和的前n项和分别为Sn和Tn，且=，则使得为整数的正整数n的个数为（ ）A4B5C6D7【答案】B【详解】依题意，又=，于是得，因此，要为整数，当且仅当是正整数，而，则是32的大于1的约数，又32的非1的正约数有2，4，8，16，32五个，则n的值有1，3，7，15，31五个，所以使得为整数的正整数n的个数为5.故选：B【反思】在等差数列，中，它们的前项和分别记为则,注意此公式使用的前提：中分子分母角标一致，比如：，.但如果是这类分子分母角标不一致，不能直接使用该公式,需另寻它法.5（2020贵州铜仁伟才学校高二阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且满足，则（ ）ABCD1【答案】D【详解】由题意，令，故选：D【反思】在此题中，由于角标不一致，不能直接使用公式，所以可以回归等差数列求和公式的本质：(为常数)是等差数列三、针对训练 举一反三一、单选题1（2022甘肃张掖市第二中学高二期末（理）等差数列的前项和为，若，则（ ）A12B18C21D272（2021宁夏石嘴山市第三中学高三阶段练习（文）已知等差数列的前项和为，且，则（ ）A15B23C28D303（2021河南高二阶段练习）已知等差数列和的前项和分别为和，且有，则的值为（ ）ABC2D34（20