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1、例 1第一讲 乘法公式与因式分解模块一整式的乘法公式课堂精讲在初中，我们学习了整式的乘法运算，知道了乘 法公式可以使多项式的运算变得更为简便。初中主 要学习了两个基本的乘法公式平方差公式和完全平方公式。平方差公式完全平方公式a2 -b2 = a -b (a +b)a b 2 =a2 2ab +b2化简：9 - 4 5高中函数部分是以代数的运算为基础的，为研 究函数的性质，需要同学们具有较强的代数恒等变 形能力。也就是说，在高中学习中还会遇到更为复 杂的多项式的乘法运算。因此，在本节中 , 我们将拓展乘法公式的内容，补充一些高中常用的乘法公式。由于 a + b 3 = (a + b)2 (a +
2、 b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b) = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3于是有：完全立方和公式a +b 3 =a3 +3a2b +3ab2 +b3将完全立方和中的 b 换成 -b, 得到完全立方差公式:完全立方差公式a -b 3 =a3 -3a2b +3ab2 -b3由完全立方和公式可得 (a + b)3 - 3a2b - 3ab2 = a3 + b3 , 即 (a + b) (a + b)2 3ab = a3 + b3 于是有：立方和公式a3 +b3 = a +b (a2 -ab +b2)仿照完全立方差公式的推导，请同学们思考立方差公式的由来。立方差公式a3
3、 -b3 = a -b (a2 +ab +b2)例 2 计算下列代数式(1) (4 + m) (16 4m + m2)(2) m n m2 + mn + n2以完全平方公式为基础，可推导三项完全平方和：(a + b + c)2 = (a + b) + c2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2= a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2于是有:三项和平方公式a +b +c 2 =a2 +b2 +c2 +2ab +2ac +2bc 将上式中的 c 全部换成 -c 得到如下公式 :a +b -c 2 =a2 +b2 +c2 +2ab -2ac -2bc 例 3
4、 计算：x2 2x + 21随堂练习练1 若 x + y = 6，x2 + y2 = 20，x - y 等于 ( )A. 2 B. - 2 C. 4 D. 2练2 若 a2 - ab = 7 - m，b2 - ab = 9 + m，则 a - b 的 值为 ( )A. 2 B. 2 C. 4 D. 4模块二因式分解课堂精讲1. 因式分解的概念把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做因 式分解，也叫分解因式。2. 提公因式法分解因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个 相同的因式就叫做公因式。把 ma + mb+ mc = m (a + b + c). 的分解方法称为提公因式法。3. 公式法分
5、解因式利用我们前面讲解的整式的乘法公式进行因式分解的方法称为公式法分解因式。例 4 已知 ab = -2，a - 3b = 5，求 a3b - 6a2b2 + 9ab32练3计算：(1) (a + 2) (a 2) (a4 + 4a2 + 16)(2) (x2 + 2xy + y2) (x2 xy + y2)2练4 已知 x2 3x - 1 = 0，求 x3 + 的值4. 十字相乘法分解二次三项式利用十字交叉线来分解系数，把二次三项式分 解因式的方法叫做十字相乘法。举例： 3x2 + 11x + 10 = 0x25一拆：拆出二次项 与常数项的因式二判：交叉相乘和为3x 5x + 6x = 11
6、x 3x2 + 11x + 10 = 0 (x + 2) (3x + 5) = 0一次项可用该方法 三书写：横向书 写拆出的式子5.主元法分解因式形如Ax2 + By2 + Cx + Dy +E 的代数式可以采 用主元法进行分解。m2 - k2 + 5m +3k +4 = m2 + 5m - 234 = m2 + 5m + (-k +4) (k + 1)主元法分解因式 将m 作主元，k 作常数m m(-k + 4) (k + 1)= (m - k +4) (m + k + 1) (-k +4 + k + 1)m = 5m6.双 ( 长 ) 十字相乘法形如 Am2 + Bmk + Ck2 + D
7、m + Ek +F 的代数 式的因式分解。A. a = -3，b = 2C. a = -4，b = 3步骤 : 运用十字相乘法分解前的二次三项式;在这个十字相乘图右边再画一个十 字，把常数项分解为两个因数，填在第二个十字右 端，使这两因数与含 k 的项交叉之积的和等于原多项 式中含 k 的一次项Ek, 同时这两个因数与含 m 的项 的交叉之积的和等于原多项式中含m 的一次项Dm.m2 - 2mk - 8k2 - m - 14k - 6 m -4k -3= (m - 4k - 3) (m + 2k + 2) m 2k 2 7.试根待定系数法对于一元三次代数式 Ax3 + Bx2 + Cx + D
8、 先将 其化简为系数为 1 的形式：Ax3 + x2 + x + 。 若上述代数式有有理根，则：所有因数中有一个必是方程的根。 10 的因子 1，2，5 代 入原式可得：x = 2 时x3 - 9x + 10 原式 = 0，得因式 : (x - 2)待定系数设出剩余因式= (x - 2) (x2 + ax - 5) 将式子展开，与原式对比可得：a = 2= (x - 2) x22x-5 检查一元二次代数式能否继续因式分解例 5 (2022 湖南模拟改编 ) 设 x3 + ax + b = 0，下列 条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 ( )B. a = -3，b = -2D. a = 1，
9、b = 2随堂练习练5分解因式 x3 - 1练6利用十字相乘法分解因式：(1)x2 + (a + 2)x + 2a (2)x2 - (3 + t)x + 3t练7分解因式：(1) xy - 1 + x - y(2) 2x2 + xy - y2 - 4x + 5y - 6(3) x3 - 3x2 + 4.练8(2021 春 邯郸高一期中 ) 已知在底面半径为 3、 母线长为 5 的圆锥中内接一个高为 2 的圆柱。(1) 求圆柱的体积；(2) 在该圆锥中是否存在另外一个内接的圆柱与(1) 中圆柱体积相等？若存在，求出另一个圆柱的 高；若不存在，请说明理由。3mm nnm课后提升巩固1分解因式(1)
10、x2 +3x +2 (2)x2 +2x -15.巩固2 已知 a +b =7，ab =-2 求：(1)a2 +b2 的值； (2)(a -b)2 的值巩固3分解因式：(1)x3 +2x2 -5x -6 (2)x3 -2x2 -15x +16巩固4把下列各式分解因式：(1)x2 -(a +b)x +ab(2)(x +y)2 -(3 +a)|x +y|+3a.4巩固5分解因式：(1)x3 +9 +3x2 +3x；(2)2x2 +xy -y2 -4x +5y -6巩固6如图，将一张长方形纸板按图中虚线裁剪成九 块，其中有两块是边长都为 m 的大正方形，两块是边 长都为 n 的小正方形，五块是长为 m
11、，宽为 n 的全等 小长方形，且m n.(以上长度单位：cm)(1)用含m、n 的代数式表示图中所有裁 剪线 (虚线部分 )的长度之和；(2)观察图形，可以发现代数式 2m2 + 5mn +2n2 可以因式分解为_；(3)若每块小长方形的面积为 10cm2，四个正方形的面积和为 58cm2，试求 m +n 2 的值。例 1例 2第二讲 不等式的含义与解法模块一一元二次不等式课堂精讲初中阶段我们比较系统的学习了一元二次方程 与二次函数的相关知识点，了解了一元二次方程与 二次函数之间的关系：一元二次方程是二次函数与 x 轴相交的一种特殊情况，方程的解是函数与 x 轴交点 的横坐标。今天我们将探寻二
12、次函数、二次方程与 一元二次不等式的关系。我们先来回顾一次函数与一次不等式的关系： kx + n 0 的解集表示的是一次函数 y = kx + n 在x 轴上方时对应的自变量取值范围的集合。由此，我们可以知道 : 任意一个一元不等式，其含义是：不等式 0 的解集表示不等式对应的函数在 x 轴上方时对应自变量取值范围的集合；不等式 0 (a 0) 的不等式称为一 元二次不等式。2. 一元二次不等式的解法(1) 令 ax2 + bx + c = 0，计算： = b2 - 4ac 当 0 时，解出方程两根：x1 ,x2；(2) 令y = ax2 + bx + c，作出函数草图；(3) 根据不等式的含
13、义翻译不等式，读取解集。 注：作草图时只需画 x 轴。很多学生作函数草图习惯第一步就画坐标系，二次函数由于其特殊性，应 先画抛物线，再根据题意加 x 轴和y 轴以 a 0 为例： 0 = 0 0y 0x2 xx1x0 xxx x2x -全体实数y 0x1 x2 xx0 xxx1 x 0 恒成立的条件是ax2 + bx + c 05随堂练习练1解下列不等式(1) 2x2 - x - 1 0 (2) 6x2 + 5x 0 的解集。 原不等式可以化为：(x + a 1) (x a) 0练3 已知对于任意实数 x，kx2 - 2x +6 恒为正数，求 实数 k 的取值范围。练4 已知不等式 ax2 +
14、 bx + c 0 (a 0) 的解是 x 3，求不等式 bx2 + ax + c 0 的解。6练5 (2021 秋 惠州高一期末 ) 已知不等式 (1 - a)x2- 4x + 6 0 的解集是 -3 x 1(1) 求常数 a 的值；(2) 若关于 x 的不等式 ax2 + mx + 3 0 的解集为 全体实数，求m 的取值范围。练6 (2021 秋 泸州高一期末 )已知函数y = 2x2 - 2ax + 1( 1 ) 若y b 的解集为 -1 x a + 1 - x解不等式：(x - 1) (x + 2) (x - 3) 0；模块二分式型不等式课堂精讲1. 分式不等式形如 0 的不等式称为
15、分式不等式。2. 分式不等式的解法将分式不等式转化为一元二次不等式求解，需 要注意分式有意义的条件：分母不为 0。转化方法： 0 (ax + b) (cx + d) 0 (ax + b) (cx + d) 0 0 0 例 3 解不等式： 0随堂练习练7解下列不等式(1) 0( 0( 0(0”，则找“线”在 x 轴上方的区间；若不等式是“0”，则找 “线”在 x 轴下方的区间。注：因式 (x - x1)n 中，n 为奇数时，曲线在 x1 点 处穿过数轴；n 为偶数时，曲线在 x1 点处不穿过数 轴，归纳为“奇穿偶不穿”。例 47随堂练习练9 解不等式：(x - 2)2 (x - 3)3 (x +
16、 1) 0练10 解不等式：(x - 3) (x + 1) (x2 + 4x + 4) 0练11解不等式(1)x - 2 (2) 0课后提升巩固1解下列不等式：(1) x2 - 2x - 8 0 (2) x2 - 4x + 4 0(3) x2 - x + 2 1 (2) 3巩固3 已知对于任意实数 x，kx2 - 2x + k 恒为正数， 求实数 k 的取值范围。巩固4 已知不等式 ax2 + bx + 1 0 的解为 - x ，求 a 和 b 的值，并解不等式 bx2 - 5x - a 08巩固5 (2021 秋 顺义区高一期末 )已知不等式 ax2 - 5x + 2 0(1) 若 1 是不
17、等式的一个解，求 a 的取值范围；(2) 若ax2 - 5x + 2 0 的解集是 x 2，求不 等式 -ax2 + (2a + 3)x - 6 0 时，解关于 x 的不等式；(2) 当 2 x 3 时，不等式 ax2 - x + 1 - a 0 恒 成立，求实数 a 的取值范围。巩固7 已知f(x) = ax2 + bx + c( 1 ) 当 a = -1，b = 2，c = 4 时，求f(x) 1 解集； ( 2 ) 当f(1) = f(3) = 0，且当 x (1,3) 时，f(x) 1 恒成立，求实数 a 的最小值9A D B例 1第三讲 基本不等式模块一基本不等式课堂精讲我们知道，乘
18、法公式在代数式的运算中有重要 作用。那么，是否也有一些不等式，它们在解决不等 式问题时有着与乘法公式类似的重要作用呢？下面就来研究这个问题。由完全平方公式：a - b 2 = a2 + b2 - 2ab我们知道 , 平方具有非负性，所以上面的代数式满足：a2 + b2 - 2ab 0 a2 + b2 2ab，该不等式在数学中具有重要的作用，我们把：a2 + b2 2ab 中a和 b 代换为 a 和 b，可得： .1. 基本不等式对于任意两个正实数 a，b 有： ，当 且仅当 a = b 时，等号成立。我们称不等式 为基本不等式，也称均值不等式。其中 叫a，b 的算术平均值， 叫做 a，b 的几
19、何平均值。2. 基本不等式的几何解释作一圆，直径为AB，过 C 作垂线，连接AC、BC设AD =a，BD = b，则圆的半径 OH = 由 ACDBCD 可得： = CD2 = AD BD， CD = 由图可得不等式：OH CD 恒成立，当且仅当 CD = OH，即 OA = OB 时取等号。HCO103. 基本不等式的变形应用应用条件：一正、二定、三相等变式一：a + b 2，用求 a + b 的最小值。 变式二：a2 + b2 ab，用于求 ab 积的最大值。当 x 0 时，求x + 的最小值。随堂练习练1 (2021 秋 阎良区高一期末 ) 函数 y = x + (x 1) 的最小值是
20、( )A. 3 B. 4 C. 5 D. 6练2 (2021 秋 高要区校级期中 ) 若 x 1，则函数 y =x + 的最小值为 ( )A. 6 B. 7 C. 8 D. 9练3设 x 0，则 3 - 3x - 的最大值是 ( )A. 3 B. 3 - 2 2C. - 1 D. 3 - 2 3练4当直线在 x 轴上和 y 轴上的截距(直线与坐标轴 的交点离原点的距离)分别为 a,b 时，直线的解析式可以用 + = 1 表示。已知直线 l 过点 P(1,2) , 与两坐标轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点。(1) 若 OAB 的面积为，求直线 l 的方程；(2) 求 OAB 的面
21、积的最小值。模块二构造法解决二元最值课堂精讲由模块一的知识,我们知道了：在任意的正二项 式中，我们可以通过套用基本不等式来解决正二项 式的最值。如果我们现在把正二项式转化为二元代 数式，是否也能通过基本不等式来求解二元代数式 的最值呢？例 2 (2022 春 渝中区校级月考 ) 已知正实数 x，y 满 足 xy + 2x - 2 = 0，则 4x +y 的最小值是 ( )A. 2 B. 4 2 - 2C. 4 3 - 2 D. 6练5 (2020 新课标改编 )ABC 中角 A,B,C 所对 边为 a，b，c。已知：A = 120 ,a = 3，求 ABC 周 长的取值范围。上面的例题，利用代
22、入消元的方法，消去了一个 未知数，从而使二元问题转化为单元问题，然后再对 其结构使用了均值不等式求最值。但并非所有的二 元结构都可以通过消元来解决，有时通过消元还有 可能使其结构变得更复杂。接下来我们将介绍几类 改写二元代数式的方法。1. 数字“1”的构造题目给定二元变量关系 mx + ny = t 时，我们可以将不等式化为：x + y = 1然后在问题所涉及的二元代数式中构造“1”, 再将上面改写的“1”代by + dx入化简，会出现：ax cy 分子分母倒置的形式，再使用均值不等式即可求最值。 ax cy = ( 出现定值 )。 by dx + 211B. (0，1 D. (-，8 例 3
23、 (2021 秋 凉州区期末 ) 已知 ab 0，a + b= 1，则 + 的最小值为 ( )A. 0.5 B. 1 C. 2 D. 42. 结构化构造通过观察所给二元代数式的结构，以及问题的二元代数式结构出发，对一些结构进行简单改写。例 4 若正实数 x，y 满足 x + y = 1，则 + 的最小值为 3. 初识成立与恒成立我们经常会遇到一些成立与恒成立的问题，对 于成立与恒成立的翻译如下：设词结论a h(x)恒成立a h(x)min有解a h(x)max成立a h(x)maxa h(x)恒成立a h(x)max有解a h(x)min成立a h(x)min例 5 (2021 秋 兰山期中
24、) 已知 a 0，b 0，a + 2b = ab，若 2a + b 2m2 - 9 恒成立，则m 的最大值 ( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 712随堂练习练6 已知正实数 x，y 满足 x + y= 2，则 + 的最小值为 ( )A. B. 5 C. 9 D. 10练7 已知 x 0，y 0，2x + y = 2，则 + 的最小值是 ( )A. 1 B. 2 C. 4 D. 6练8 (2021 秋 湛江期末 ) 已知 a 0，b 0，且 + = 1，则 2a + b 的最小值是 ( )A. 8 B. 9 C. 10 D. 11练9 (2021 秋 城厢区校级期中 ) 已知 m 0，n
25、 0， m + n= 1，则 + 的最小值为 ( )A. 1 B. + 2C. + 2 D. 练10 设 a 0，b 0， + = 2，则使得 a + b m恒成立，求m 的取值范围是 ( )A. (- ,9)C. - , A. - 8 m 1C. m 8练11 若 x 0，y 0，且 + = 1，x + 2y m2 +7m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )B. m 1D. - 1 m 0,y 0)，且 + 的最小值为m(1) 求m；(2) 若关于 x 的不等式 ax2 - ax + m 0 的解集为 全体实数，求 a 的取值范围。模块三基本不等式解决应用题课堂精讲初中阶段我们学习了用函
26、数方法解决实际生活 中的应用，并且求出其最优解的方法，今天我们将学 习如何用基本不等式来解决实际生活中的最优解。例 6 某化工厂生产的某种化工产品，当年产量在 150吨至 250 吨之间时，其生产的总成本 y( 万元 ) 与年产量 ( 吨 )之间的函数关系式近似地表示为 y = - 30x + 4000 问：( 1 ) 每吨平均出厂价为 16 万元，年产量为多少吨 时，可获得最大利润？并求出最大利润；练13 已知函数y = x + (m 0)(1) 若m= 1，求当 x 1 时函数的最小值；(2) 当 x 0)(1) 在该时段内，当汽车的平均速度 为多少时，车流量最大？最大车流量为多少?(2
27、) 若要求在该时段内车流量超过 10 千辆 / 小 时，则汽车的平均速度应在什么范围内?课后提升巩固1 (2021 秋 南阳期中 ) 设x 0，y 0， + = 1，则 2x + y 的最小值为 ( )A. 7 B. 8 C. 9 D. 10巩固2 (2021 秋 桐庐县校级月考 ) 已知 x 0，y 0，且 x + 2y = 1，则 + 的最小值是 ( )B. 3 + 2D. 3 - 214练15 某产品的年销售量 ( 即该厂的年产量 )x 万件与年促销费用 m 万元 (m 0) 满足：x = 3 - (k 为常数 )，不搞促销，该产品年销售量是 1 万件。 已知 2022 年生产该产品的固
28、定投入为 8 万元，每 生产 1 万件该产品需要再投入 16 万元，厂家将每 件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的 1.5倍 ( 成本为固定投入和再投入 )。(1) 求产品利润y 与年促销费用m 的函数；(2) 促销费用投入多少万元时，厂家利润最大?巩固3(2021 秋 湖北月考 ) 若正实数m，n 满足 + = 1，则 2m + n 的最小值为 ( )A. 4 2 B. 6 C. 2 2 D. 9巩固4 设 a 0，b 0， + = 1，若不等式 a + b m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. (-，8 B. (-，16 C. (-，7 D. 16，+)巩固5 若实数 x +
29、 2y = 4x 1,y ，则 + 的最小值为 ( )A. B. 1D. 2C. 巩固6 已知 x 0，y 0，且 x + 2y = 1， + m2 + 7m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. - 8 m 1 B. m -8 或m 1C. - 1 m 8 D. m -1 或m 8巩固7 设 x 0，y 0，设 + = 1，若 3x + 2y m2 + 2m 恒成立，则实数m 的取值范围是 ( )A. x|x -6 或 x 4B. x|x -4 或 x 6C. x|-6 x 4D. x|-4 x 6巩固8 (1)x 1) 的最小值。巩固9 函数y1 = ,y2 = ,x 0(1) 求y
30、1 的最大值与最小值；(2) 当 1 x 5 时，y1 y2 恒成立，求实数m 的取 值范围。巩固10某旅游公司在相距为 100km 的两景点间开 设了一个游船观光项目。游船最大时速为 50km/h， 游船每小时的燃料费用与速度的平方成正比例，当游 船速度为 20km/h 时，燃料费用为每小时 60 元。其它 费用为每小时 240 元，单程的收入为 6000 元。( 1 ) 当游船以 30km/h 航行时，旅游公司单程获得 的利润是多少？ ( 利润 = 收入 -成本 )( 2 ) 游船的航速为何值时，旅游公司单程获得的利 润最大，最大利润是多少？15A B第四讲 元素与集合模块一集合的概念与表
31、示课堂精讲情境 1，说到集合，相信同学对这个名词并不陌生， 我们一定在某个场合下听到过“集合”这个词。问题：军训时，我们经常听到教官下达“集合”的口 令，eg :“高一(1)班全体学生，集合！”这里所谈到的 “集合”有什么特点？“高一(1)班的高个子男生，集 合！”这样的口令教官能下达吗？为什么？设计意图：让学生理解集合中元素的特征:确定性。情境 2, 请仿照下列叙述，介绍你初中毕业的学校 及班级情况：我来自第三十一中学初三(2)班，全班 共有学生 45 人，其中男生 22 人，女生 23 人。问题：情景中的“学校”“班级”“男生”“女生”等概 念有什么共同的特征？设计意图：通过对这些概念，感
32、知集合含义：“一定 范围内可以确定的，不同对象的全体”。情境 3 : 高一(1)班全体同学参加校运会进场方阵. 问题：同学们会通过变换方阵展示高一(1)班风采。 方阵变换前后，高一(1)班同学只是位置改变了是吗？ 设计意图：通过同班同学位置的改变，让学生理解 集合中元素的特征：无序性。1. 元素与集合的概念元素：一般地，把研究的对象统称为元素，常用小写拉丁字母 a，b，c， 表示 .集合：把一些元素组成的总体叫做集合 ( 简称集 ) . 用大写拉丁字母A、B、C 表示 .集合中元素具有的特性：确定性、无序性、互异性。162. 常用数集常用数集自然数集正整数集整数集有理数集实数集记 法NN 或N+ZQR例 1 判断下列各组能否构成一个集合 , 说明理由。(1) 所有著名的数学家；(2) 全校身高超过 185cm