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1、九年级数学中考复习圆常考热点解答题考前强化提升训练（附答案）1如图，点P在O外，PC是O的切线，C为切点，直线PO与O相交于点A、B（1）若A30，求证：PA3PB；（2）小明发现，A在一定范围内变化时，始终有BCP（90P）成立请你写出推理过程2如图，ABC中，ABAC，以AC为直径的O交BC于点D，点E为AC延长线上一点，且CDEBAC（1）求证：DE是O的切线；（2）若AB3BD，CE2，求O的半径3如图，AB、CD是O的两条直径，过点C的O的切线交AB的延长线于点E，连接AC、BD（1）求证；ABDCAB；（2）若B是OE的中点，AC12，求O的半径4如图，四边形ABCD为菱形，以AD
2、为直径作O交AB于点F，连接DB交O于点H，E是BC上的一点，且BEBF，连接DE（1）求证：DE是O的切线（2）若BF2，DH，求O的半径5如图，在RtABC中，ACB90，D是AC上一点，过B，C，D三点的O交AB于点E，连接ED，EC，点F是线段AE上的一点，连接FD，其中FDEDCE（1）求证：DF是O的切线（2）若D是AC的中点，A30，BC4，求DF的长6如图，M，N是以AB为直径的O上的点，且，弦MN交AB于点C，BM平分ABD，MFBD于点F（1）求证：MF是O的切线；（2）若CN3，BN4，求CM的长7如图，AB是O的直径，弦CDAB，垂足为H，连接AC过上一点E作EGAC交
3、CD的延长线于点G，连接AE交CD于点F，且EGFG（1）求证：EG是O的切线；（2）延长AB交GE的延长线于点M，若AH2，CH2，求OM的长8如图，AB是O的直径，BC是O的弦，直线MN与O相切于点C，过点B作BDMN于点D（1）求证：ABCCBD；（2）若BC4，CD4，则O的半径是 9如图，已知AB是O的直径，AC，BC是O的弦，OEAC交BC于E，过点B作O的切线交OE的延长线于点D，连接DC并延长交BA的延长线于点F（1）求证：DC是O的切线；（2）若ABC30，AB8，求线段CF的长10如图1，四边形ABCD内接于O，AC是O的直径，过点A的切线与CD的延长线相交于点P且APCB
4、CP（1）求证：BAC2ACD；（2）过图1中点D作DEAC，垂足为E（如图2），当BC6，AE2时，求O半径11如图，AB为O的直径，C为O上一点，D为的中点过点D作直线AC的垂线，垂足为E，连接OD（1）求证：ADOB；（2）DE与O有怎样的位置关系？请说明理由12在平面内，给定不在同一条直线上的点A，B，C，如图所示，点O到点A，B，C的距离均等于a（a为常数），到点O的距离等于a的所有点组成图形G，ABC的平分线交图形G于点D，连接AD，CD（1）求证：ADCD；（2）过点D作DEBA，垂足为E，作DFBC，垂足为F，延长DF交图形G于点M，连接CM若ADCM，求直线DE与图形G的公共
5、点个数13如图，以RtABC的直角边AB为直径的O交斜边AC于点D，过点D作O的切线与BC交于点E，弦DM与AB垂直，垂足为H（1）求证：E为BC的中点；（2）若O的面积为12，两个三角形AHD和BMH的外接圆面积之比为3，求DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比14如图，已知AB是O的直径，点P是O上一点，连接OP，点A关于OP的对称点C恰好落在O上（1）求证：OPBC；（2）过点C作O的切线CD，交AP的延长线于点D如果D90，DP1，求O的直径15如图，在ABC中，ABAC5，BC6，以AB为直径作O分别交于AC，BC于点D，E，过点E作O的切线EF交AC于点F，连接
6、BD（1）求证：EF是CDB的中位线；（2）求EF的长16如图，五边形ABCDE内接于O，CF与O相切于点C，交AB延长线于点F（1）若AEDC，EBCD，求证：DEBC；（2）若OB2，ABBDDA，F45，求CF的长17如图，点I是ABC的内心，BI的延长线与ABC的外接圆O交于点D，与AC交于点E，延长CD、BA相交于点F，ADF的平分线交AF于点G（1）求证：DGCA；（2）求证：ADID；（3）若DE4，BE5，求BI的长18如图，BD是O的直径，弦BC与OA相交于点E，AF与O相切于点A，交DB的延长线于点F，F30，BAC120，BC8（1）求ADB的度数；（2）求AC的长度19
7、如图，在矩形ABCD中，以BC边为直径作半圆O，OEOA交CD边于点E，对角线AC与半圆O的另一个交点为P，连接AE（1）求证：AE是半圆O的切线；（2）若PA2，PC4，求AE的长20如图，AB是O的直径，点D在AB的延长线上，C、E是O上的两点，CECB，BCDCAE，延长AE交BC的延长线于点F（1）求证：CD是O的切线；（2）求证：CECF；（3）若BD1，CD，求弦AC的长参考答案1解：（1）AB是直径ACB90，A30，AB2BCPC是O切线BCPA30，P30，PBBC，BCAB，PA3PB（2）点P在O外，PC是O的切线，C为切点，直线PO与O相交于点A、B，BCPA，A+P+
8、ACB+BCP180，且ACB90，2BCP90P，BCP（90P）2解：（1）如图，连接OD，AD，AC是直径，ADC90，ADBC，ABAC，CADBADBAC，CDEBACCDECAD，OAOD，CADADO，ADO+ODC90，ODC+CDE90ODE90又OD是O的半径DE是O的切线；（2）解：ABAC，ADBC，BDCD，AB3BD，AC3DC，设DCx，则AC3x，AD2x，CDECAD，DECAED，CDEDAE，即DE4，x，AC3x14，O的半径为73解：（1）证明：AB、CD是O的两条直径，OAOCOBOD，OACOCA，ODBOBD，AOCBOD，OACOCAODBOB
9、D，即ABDCAB；（2）连接BCAB是O的两条直径，ACB90，CE为O的切线，OCE90，B是OE的中点，BCOB，OBOC，OBC为等边三角形，ABC60，A30，BCAC4，OB4，即O的半径为44（1）证明：如图1，连接DF，四边形ABCD为菱形，ABBCCDDA，ADBC，DABC，BFBE，ABBFBCBE，即AFCE，DAFDCE（SAS），DFADEC，AD是O的直径，DFA90，DEC90ADBC，ADEDEC90，ODDE，OD是O的半径，DE是O的切线；（2）解：如图2，连接AH，AD是O的直径，AHDDFA90，DFB90，ADAB，DH，DB2DH2，在RtADF和
10、RtBDF中，DF2AD2AF2，DF2BD2BF2，AD2AF2DB2BF2，AD2（ADBF）2DB2BF2，AD5O的半径为5解：（1）连接BD，ACB90，点B，D在O上，BD是O的直径，BCEBDE，FDEDCE，BCE+DCEACB90，BDE+FDE90，即BDF90，DFBD，又BD是O的直径，DF是O的切线（2）如图，ACB90，A30，BC4，AB2BC248，4，点D是AC的中点，BD是O的直径，DEB90，DEA180DEB90，在RtBCD中，2，在RtBED中，BE5，FDEDCE，DCEDBE，FDEDBE，DEFBED90，FDEDBE，即，6证明：（1）连接O
11、M，OMOB，OMBOBM，BM平分ABD，OBMMBF，OMBMBF，OMBF，MFBD，OMMF，即OMF90，MF是O的切线；（2）如图，连接AN，ON，ANBN4AB是直径，ANB90，ONABAB4AOBOON2OC1AC2+1，BC21ANMB，ANCMBCACNMCBACBCCMCN73CMCM7（1）证明：连接OE，如图，GEGF，GEFGFE，而GFEAFH，GEFAFH，ABCD，OAF+AFH90，GEA+OAF90，OAOE，OEAOAF，GEA+OEA90，即GEO90，OEGE，EG是O的切线；（2）解：连接OC，如图，设O的半径为r，则OCr，OHr2，在RtOC
12、H中，（r2）2+（2）2r2，解得r3，在RtACH中，AC2，ACGE，MCAH，RtOEMRtCHA，即，OM8（1）证明：连接OC，MN为O的切线，OCMN，BDMN，OCBD，CBDBCO又OCOB，BCOABC，CBDABC；（2）解：连接AC，在RtBCD中，BC4，CD4，BD8，AB是O的直径，ACB90，ACBCDB90，ABCCBD，ABCCBD，即，AB10，O的半径是5，故答案为59（1）证明：连接OC，OEAC，1ACB，AB是O的直径，1ACB90，ODBC，由垂径定理得OD垂直平分BC，DBDC，DBEDCE，又OCOB，OBEOCE，即DBOOCD，DB为O的
13、切线，OB是半径，DBO90，OCDDBO90，即OCDC，OC是O的半径，DC是O的切线；（2）解：在RtABC中，ABC30，360，又OAOC，AOC是等边三角形，COF60，在RtCOF中，tanCOF，CF410（1）证明：作DFBC于F，连接DB，AP是O的切线，PAC90，即P+ACP90，AC是O的直径，ADC90，即PCA+DAC90，PDACDBC，APCBCP，DBCDCB，DBDC，DFBC，DF是BC的垂直平分线，DF经过点O，ODOC，ODCOCD，BDC2ODC，BACBDC2ODC2OCD；（2）解：DF经过点O，DFBC，FCBC3，在DEC和CFD中，DEC
14、CFD（AAS）DEFC3，ADC90，DEAC，DE2AEEC，则EC，AC2+，O的半径为11（1）证明：连接OC，D为的中点，BODBOC，BACBOC，ADOB；（2）解：DE与O相切，理由：ADOB，AEOD，DEAE，ODDE，DE与O相切12（1）证明：到点O的距离等于a的所有点组成图形G，图形G为ABC的外接圆O，BD平分ABC，ABDCBD，ADCD；（2）如图，ADCM，ADCD，CDCM，DMBC，BC垂直平分DM，BC为直径，BAC90，ODAC，ODAB，DEAB，ODDE，DE为O的切线，直线DE与图形G的公共点个数为113解：（1）连接BD、OE，AB是直径，则A
15、DB90ADO+ODB，DE是切线，ODE90EDB+BDO，EDBADOCAB，ABC90，即BC是圆的切线，EDEB，EDBEBD，C+EBD90，CDE+EDB90CEDC，EDEC，ECEB，E为BC的中点；（2）AHD和BMH的外接圆面积之比为3，则两个三角形的外接圆的直径分别为AD、BM，AD：BM，而ADHMBH，DH：BH，则DHHM，HM：BH，BMH30BAC，C60，DE是直角三角形的中线，DECE，DEC为等边三角形，O的面积：12（AB）2，则AB4，CAB30，BD2，BC4，AC8，而OEAC4，四边形OBED的外接圆面积S2（2）24，等边三角形DEC边长为2，
16、则其内切圆的半径为：，面积为，故DEC的内切圆面积S1和四边形OBED的外接圆面积S2的比为：14（1）证明：A关于OP的对称点C恰好落在O上AOPCOP，AOPAOC，又ABCAOC，AOPABC，POBC；（2）解：连接PC，CD为圆O的切线，OCCD，又ADCD，OCAD，APOCOP，AOPCOP，APOAOP，OAAP，OAOP，APO为等边三角形，AOP60，又OPBC，OBCAOP60，又OCOB，BCO为等边三角形，COB60，POC180（AOP+COB）60，又OPOC，POC也为等边三角形，PCO60，PCOPOC，又OCD90，PCD30，在RtPCD中，PDPC，又P
17、COPAB，PDAB，AB4PD415（1）证明：连接AE，如图所示：AB为O的直径，ADBAEB90，AEBC，BDAC，ABAC，BECE3，EF是O的切线，OEEF，OAOB，OE是ABC的中位线，OEAC，OEBD，BDEF，BECE，CFDF，EF是CDB的中位线；（2）解：AEB90，AE4，ABC的面积ACBDBCAE，BD，EF是CDB的中位线，EFBD16（1）证明：AEDC，ADEDBC，在ADE和DBC中，ADEDBC（AAS），DEBC；（2）解：连接CO并延长交AB于G，作OHAB于H，如图所示：则OHGOHB90，CF与O相切于点C，FCG90，F45，CFG、OG
18、H是等腰直角三角形，CFCG，OGOH，ABBDDA，ABD是等边三角形，ABD60，OBH30，OHOB1，OG，CFCGOC+OG2+17（1）证明：点I是ABC的内心，27，DG平分ADF，1ADF，ADFABC，12，32，13，DGAC；（2）证明：点I是ABC的内心，56，47+53+6，即4DAI，DADI；（3）解：37，ADEBDA，DAEDBA，AD：DBDE：DA，即AD：94：AD，AD6，DI6，BIBDDI96318解：（1）AF与O相切于点A，AFOA，F30，AOF60，OAOD，AOFADB+OAF，ADBOAF30（2）ACBADB30，BAC120，ABC
19、1801203030，ABCACB，ABAC，OABC，BECEBC4，AOB60，OAOB，AOB是等边三角形，ABOB，OBE30，OEOB，BEOE4，OE，ACABOB2OE19（1）证明：在矩形ABCD中，ABOOCE90，OEOA，AOE90，BAO+AOBAOB+COE90，BAOCOE，ABOOCE，OBOC，ABOAOE90，ABOAOE，BAOOAE，过O作OFAE于F，ABOAFO90，在ABO与AFO中，ABOAFO（AAS），OFOB，AE是半圆O的切线；（2）解：连接PB，以BC边为直径作半圆O，BPAC，AB2APAC2612，AB2，BC2，BOOC，AO3，AOEABOECO90，BAO+AOBAOB+COE90，BAOCOE，AOBOEC，OE3，AE320解：（1）连接OC，如右图所示，AB是O的直径，ACB90，CAD+ABC90，CECB，CAECAB，BCDCAE，CABBCD，OBOC，OBCOCB，OCB+BCD90，OCD90，CD是O的切线；（2）BACCAE，ACBACF90，ACAC，ABCAFC（ASA），CBCF，又CBCE，CECF；（3）BCDCAD，ADCCDB，DCBDAC，DA2，ABADBD211，设BCa，ACa，由勾股定理可得：，解得：a，学科网（北京）股份有限公司