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1、1.1 集合的概念 知识整合一、集合元素的三个特征：确定性、互异性、无序性二、元素与集合的关系：属于()或不属于()三、集合的表示法：自然语言法，列举法、描述法四、正整数集和自然数集表示方法的区别：正整数集N*或N，为1,2,3，；自然数集N，为0,1,2,3，这是集合的高频考点，注意二者的区别。五、集合元素的三个特征中，元素的互异性应用的尤为广泛，解题过程中，一定要时刻注意集合元素的这个特征，在解题前以及解题后都要充分考虑到集合元素的互异性，该检验的检验，该舍的舍掉。六、新定义题型是集合命题中的一个热点，此类题目首先会给出一个概念，然后利用集合为解题的工具，通过探究的形式解决一个提出的问题，
2、从而考查学生正确理解题意，解决创新问题的能力。七、根据元素与集合之间的关系求参数的值或其取值范围，一般先把集合化简，然后利用数形结合的思想方法解决问题。八、有些题目是用描述法给出的集合，要求用列举法表示该集合，若解方程的结果有字母参数，则需对参数进行分类讨论。九、数集与点集的区分是高频考点，也是易错考点，注意数集用数字来表示元素，点集用有序数对来表示元素。十、集合的解答题常与一元二次方程结合起来考查，解决这类型问题要注意分类讨论，若二次项系数含有参数，则首先讨论二次项系数，另外，在二次项系数不为0的情况下，还需根据题意对方程的判别式进行讨论。最后再归纳总结。1.1 集合的概念题型一、集合与元素
3、的含义1下面给出的四类对象中，构成集合的是（）A某班视力较好的同学B长寿的人C的近似值D倒数等于它本身的数2（多选）给出下列说法，其中正确的有（）A中国的所有直辖市可以构成一个集合；B高一（1）班较胖的同学可以构成一个集合；C正偶数的全体可以构成一个集合；D大于2 011且小于2 016的所有整数不能构成集合3下列关于集合的说法正确的有（）很小的整数可以构成集合；集合与集合是同一个集合；1，2，0.5，这些数组成的集合有5个元素A0个B1个C2个D3个4下列说法中正确的是（）A与定点A，B等距离的点不能构成集合B由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为5C一个集合中有三个元素a,b,c
4、，其中a,b,c是的三边长，则不可能是等边三角形D高中学生中的游泳能手能构成集合5下面有四个语句: 集合N*中最小的数是0; -aN，则aN; aN，bN，则a+b的最小值是2; x2+1=2x的解集中含有两个元素.其中说法正确的个数是（）A0B1C2D36（多选）以下元素的全体能够构成集合的是（）A中国古代四大发明B地球上的小河流C方程的实数解D周长为10cm的三角形题型二、集合中元素的三个特征1若以集合的四个元素为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是（）A矩形B平行四边形C梯形D菱形2已知集合，则A中元素的个数为（）A9B8C5D43下列四组集合中表示同一集合的为（）A， B，C， D，
5、4用“book”中的字母构成的集合中元素个数为（）A1B2C3D45下面四个命题正确的个数是（）.集合中最小的数是1；若，则；若，则的最小值是2；的解集是.A0B1C2D3题型三、元素与集合的关系1下列关系中正确的个数是（）， ，ABCD2下列关系中，正确的是（）A-2N+BZCQD5N3用符号“”或“”填空：1_N， 3_N， _Q， _N，1_Z， 3_Q， 0_Z， _R，0_N*， _R， _Q， _Z4已知集合，则 （）ABCD5给出下列关系：；其中正确的个数为（）A1B2C3D46（多选）已知x，y为非零实数，代数式的值所组成的集合为，则下列判断错误的是（）ABCD题型四、常见数集
6、的表示1下列常数集表示正确的是()A实数集RB整数集QC有理数集ND自然数集Z2下列说法中，正确的个数是（ ） 集合N与集合N+是同一个集合； 集合N中的元素都是集合Z中的元素； 集合Q中的元素都是集合Z中的元素； 集合Q中的元素都是集合R中的元素。A. 1 B. 2 C. 3 D. 4题型五、集合的表示方法1方程的所有实数根组成的集合为（）ABCD2集合用列举法表示是（）A1，2，3，4B1，2，3，4，5C0，1，2，3，4，5D0，1，2，3，43用列举法表示下列集合：（1）不大于10的非负偶数组成的集合；（2）方程x22x的所有实数解组成的集合；（3）直线y2x1与y轴的交点所组成的集
7、合；（4）由所有正整数构成的集合4集合，用列举法可以表示为_5表示方程的根的集合，用列举法可以表示为_，用描述法可表示为_.6（多选）下列正确表示方程组的解集的是（）ABCD7用描述法表示下列集合（1）小于5的正有理数组成的集合：_；（2）平面直角坐标系中第一、三象限角平分线上的所有点组成的集合：_；（3）偶数集：_；（4）抛物线上的所有点组成的集合：_8选择适当的方法表示下列集合：(1)不小于1且不大于17的质数组成的集合A；(2)所有正奇数组成的集合B；(3)绝对值不大于3的所有整数组成的集合C；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点组成的集合D题型六、集合的新定义运算1. 设集合则中的元素个
8、数为（ ）(A)3 (B)4 (C)5 (D)62定义集合且.已知集合，则（）ABCD3已知集合，则集合中元素个数为（）A2B3C4D54已知集合，则集合B中元素的个数是（）A1B4C3D25对于数集MN，定义，若集合，则集合中所有元素之和为_.6设非空数集同时满足条件：中不含元素；若，则，则下列结论不正确的个数是_个.（1）集合中至多有2个元素；（2）集合中至少有4个元素；（3）集合中有且仅有4个元素；（4）集合中至多有4个元素.题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围1已知集合，若集合A中只有一个元素，则实数a的取值的集合是_2已知集合，且，则实数的取值范围是（）ABCD3已知，若集合
9、A中恰好有5个元素，则实数的取值范围为（）ABCD4（多选）已知集合至多有一个元素，则实数的值可以是（）ABCD5若集合不含有任何元素，则实数a的取值范围是_6已知集合，A中至少有一个元素，则的取值范围是_.7若集合.（1）若，求的值；（2）若，求的值8设，已知，求的值9已知集合(1)若集合A只有一个元素，求实数a的值；(2)用列举法表示集合A10已知集合有三个元素：，集合也有三个元素：，. （1）若，求的值； （2）若，求实数的值；11已知集合Ax|ax23x20（1）若集合A中只有一个元素，求实数a的值；（2）若集合A中至少有一个元素，求实数a的取值范围；（3）若集合A中至多有一个元素，求
10、实数a的取值范围1.1 集合的概念 答案题型一、集合与元素的含义1、【答案】D【详解】对于A，视力较好不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于B，长寿也不是一个明确的定义，故不能构成集合；对于C， 的近似值没有明确近似到小数点后面几位，不是明确的定义，故不能构成集合；对于D，倒数等于自身的数很明确，只有1和-1，故可以构成集合；故选：D.2、【答案】AC【详解】中国的所有直辖市可以构成一个集合，A正确；高一（1）班较胖的同学不具有确定性，不能构成集合，B错误；正偶数的全体可以构成一个集合，C正确；大于2 011且小于2 016的所有整数能构成集合，D错误.故选：AC.3、【答案】A【详解】很小
11、的整数可以构成集合是错误的，不满足元素的确定性，故错误集合表示y的取值范围，而表示的集合为函数图象上的点，所以不是同一集合，故错误1，2，0.5，这些数组成的集合有3个元素，而不是5个元素，故错误故选：A4、【答案】C【详解】对于A：与定点A，B等距离的点在线段的中垂线上，故可以组成集合，即A错误；对于B：由集合元素的互异性可知，由“title”中的字母构成的集合中元素的个数为4，故B错误；对于C：因为集合的元素具有互异性，所以a，b，c互不相等，故不可能是等边三角形，即C正确；对于D：游泳能手模棱两可，不具有确定性，故D错误；故选：C5、【答案】A【详解】因为N*是不含0的自然数，所以错误;
12、取a=，则-N， N，所以错误;对于，当a=b=0时，a+b取得最小值是0，而不是2，所以错误;对于，解集中只含有元素1，故错误.故选：A6、【答案】ACD【详解】首先互异性是保证的，其次考虑确定性：中国古代四大发明是确定的，能构成集合，地球上的小河流的标准不确定，即一条河流没有标准判断它是不是小河流，不能构成集合，方程的实数解只有两个1和，能构成集合，周长为10cm的三角形是确定，三角形的周长要么等于10cm，要么不等于10cm，是确定的，能构成集合故答案为：ACD题型二、集合中元素的三个特征1、【答案】C【详解】由题意，集合的四个元素为边长构成一个四边形，根据集合中元素的互异性，可得四个元
13、素互不相等，以四个元素为边长构成一个四边形，结合选项，只能为梯形.故选：C.2、【答案】A【详解】由，得，又，所以，易知与的任意组合均满足条件，所以A中元素的个数为. 故选：A.3、【答案】B【详解】对A，两个集合中元素对应的坐标不同，则A不正确；对B，集合中的元素具有无序性，两个集合是同一集合，故B正确；对C，两个集合研究的对象不同，一个是点集，一个是数集，则C不正确；对D，是数集，是点集，则D不正确故选：B4、【答案】C【详解】 “book”中的字母构成的集合为，有3 个元素，故选：C5、【答案】C【详解】是正整数集，最小的正整数是1，故正确；当时，但，故错误；若，则a的最小值为1.又，则
14、b的最小值为1，当a和b都取最小值时，取最小值2，故正确；由集合中元素的互异性知错误.故选：C题型三、元素与集合的关系1、【答案】B【详解】错误正确错误正确，故选：B2、【答案】C【详解】对于A，-2是负整数，则-2N+，A错误；对于B，是分数，则Z，B错误；对于C，是无理数，则Q，C正确；对于D，5是正整数，则5N，D错误；故选：C3、【答案】 【详解】表示自然数集；表示正整数集；表示整数集；表示有理数集；表示实数集.故答案为：；.4、【答案】D【详解】由集合，即集合是所有的偶数构成的集合.所以，故选：D5、【答案】B【详解】和是正确的；正确；因为，故是错误的；因为故是错误的；故是错误的故选
15、：B.6、【答案】AB【详解】当x，y都大于零时，；当x，y中一个大于零，另一个小于零时，；当x，y都小于零时，根据元素与集合的关系，可知，故选：AB题型四、常见数集的表示1、【答案】A【详解】因为表示整数集，表示有理数集，表示实数集，表示自然数数集，所以A正确，故选A.2、B 题型五、集合的表示方法1、【答案】C【详解】由，解得或，所以方程的所有实数根组成的集合为；故选：C2、【答案】D【详解】由题知，故选：D3、【答案】（1）0，2，4，6，8，10；（2）0，2；（3）(0，1)；（4）1，2，3，【详解】（1）因为不大于10是指小于或等于10，非负是大于或等于0的意思，所以不大于10的
16、非负偶数集是 0，2，4，6，8，10（2）方程x22x的解是x0或x2，所以方程的解组成的集合为0，2（3）将x0代入y2x1，得y1，即交点是(0，1)，故交点组成的集合是(0，1)（4）正整数有1，2，3，所求集合为1，2，3，4、【答案】#【详解】因为，所以，可得，因为，所以，集合故答案为：5、【答案】 # （答案不唯一）【详解】由，得，解得，或，所以方程根的集合用列举法可以表示为，用描述法可表示为（答案不唯一）故答案为：，（答案不唯一）6、【答案】BD【详解】由，解得，所以该方程组的解集为或.故选BD7、【答案】 【详解】（1）由描述可得：集合为.（2）第一、三象限角平分线上的所有点
17、都在上，故集合为.（3）由偶数可表示为，故集合为.（4）由描述知：集合为.故答案为：，.8、【答案】(1) (2)(3) (4)【解析】 (1)不小于1且不大于17的质数有，用列举法表示：；(2)所有正奇数有无数个，用描述法表示：；(3)绝对值不大于3的所有整数只有，用列举法表示：；(4)直角坐标平面上，抛物线上的点，用描述法表示：题型六、集合的新定义运算1、B2、【答案】C【详解】因为，所以，故选：C3、【答案】C【详解】因为，所以或或或，故，即集合中含有个元素；故选：C4、【答案】B【详解】因为，所以，即集合B中的元素有，共4个，故选：B5、【答案】#11.5【详解】,，,3,，,3,4,
18、1,，元素之和为，故答案为：.6、【答案】3【详解】因为若，则，所以，则；当时，4个元素中，任意两个元素都不相等，所以集合M中至少有4个元素故可判断出（1）错误，（2）正确，（3）错误，（4）错误，故答案为：3.题型七、利用集合相关知识求参数的值或取值范围1、【答案】【详解】当时，只有一个解，则集合有且只有一个元素，符合题意；当时，若集合A中只有一个元素，则一元二次方程有二重根，即，即综上，或，故实数a的取值的集合为故答案为：2、【答案】C【详解】由题意可得，解得，故选：C3、【答案】D【详解】由题意可知，可得. 故选：D4、【答案】BCD【详解】集合至多有一个元素，即方程至多一个解，时，解为
19、，符合；时，由得：，结合选项可知BCD符合，故选：BCD5、【答案】【详解】因为集合不含有任何元素，所以方程无实根，当时，方程为，可得符合题意；当时，方程无实根，则，解得，综上所述，. 故答案为：.6、【答案】【详解】（1）当时，符合题意，（2）当时，A中至少有一个元素，则至少有一个根，所以，解得且，综上，的取值范围是故答案为：7、【答案】（1）；（2）或【详解】（1）若，则的两个根分别为，由韦达定理可得，故.（2）若，则或，故.综上若，则或8、【答案】且且且【详解】由知，即，解得且又集合元素具有互异性，知，即，解得且综上所述，a的取值为且且且9、解 (1)由题设，或或，可得或或，若集合A只有
20、一个元素，则，故.(2)当时，；当时，；当时，；当且且时，.10、【答案】（1）或；（2）.【详解】（1）由且， 所以当时，可得，此时符合题意，当时，可得，此时符合题意，所以或，（2）若，则或或，解得：或或，由元素互异性可得：且，所以11、【答案】（1）a0或a；（2）；（3）a|a或a0.【详解】（1）当a0时，原方程可化为3x20，得x，符合题意当a0时，方程ax23x20为一元二次方程，由题意得，98a0，得a.所以当a0或a时，集合A中只有一个元素所以a的值是a0或a；（2）由题意得，当即a.综上得，当a或a0时，集合A中至多有一个元素. 所以a的取值范围是a|a或a0.学科网（北京）股份有限公司