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1、 2022年普通高等学校招生全国统一考试（新高考全国卷）数学注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合，则（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合后可求.【详解】，故，故选：B.2. （ ）A. B. C. D. 【答案】D【解
2、析】【分析】利用复数的乘法可求.【详解】，故选：D.3. 图1是中国古代建筑中的举架结构，是桁，相邻桁的水平距离称为步，垂直距离称为举，图2是某古代建筑屋顶截面的示意图其中是举，是相等的步，相邻桁的举步之比分别为已知成公差为0.1的等差数列，且直线的斜率为0.725，则（ ）A. 0.75B. 0.8C. 0.85D. 0.9【答案】D【解析】【分析】设，则可得关于的方程，求出其解后可得正确的选项.【详解】设，则，依题意，有，且，所以，故，故选：D4. 已知向量，若，则（ ）A. B. C. 5D. 6【答案】C【解析】【分析】利用向量的运算和向量的夹角的余弦公式的坐标形式化简即可求得【详解】
3、解：,即,解得,故选：C5. 有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲不站在两端，丙和丁相邻，则不同排列方式共有（ ）A. 12种B. 24种C. 36种D. 48种【答案】B【解析】【分析】利用捆绑法处理丙丁，用插空法安排甲，利用排列组合与计数原理即可得解【详解】因为丙丁要在一起，先把丙丁捆绑，看做一个元素，连同乙，戊看成三个元素排列,有种排列方式；为使甲不在两端，必须且只需甲在此三个元素的中间两个位置任选一个位置插入，有2种插空方式；注意到丙丁两人的顺序可交换，有2种排列方式，故安排这5名同学共有：种不同的排列方式，故选：B6. 若，则（ ）A. B. C. D. 【答案】C
4、【解析】【分析】由两角和差的正余弦公式化简，结合同角三角函数的商数关系即可得解.【详解】由已知得：,即：，即：,所以,故选：C7. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据题意可求出正三棱台上下底面所在圆面的半径，再根据球心距，圆面半径，以及球的半径之间的关系，即可解出球的半径，从而得出球的表面积【详解】设正三棱台上下底面所在圆面的半径，所以，即，设球心到上下底面的距离分别为，球的半径为，所以，故或，即或，解得符合题意，所以球的表面积为故选：A8. 已知函数定义域为R，且，则（ ）A. B.
5、 C. 0D. 1【答案】A【解析】【分析】根据题意赋值即可知函数的一个周期为，求出函数一个周期中的的值，即可解出【详解】因为，令可得，所以，令可得，即，所以函数为偶函数，令得，即有，从而可知，故，即，所以函数一个周期为因为，所以一个周期内的由于22除以6余4，所以故选：A二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 已知函数的图像关于点中心对称，则（ ）A. 在区间单调递减B. 在区间有两个极值点C. 直线是曲线的对称轴D. 直线是曲线的切线【答案】AD【解析】【分析】根据三角函数的性质逐个判
6、断各选项，即可解出【详解】由题意得：，所以，即，又，所以时，故对A，当时，由正弦函数图象知在上是单调递减；对B，当时，由正弦函数图象知只有1个极值点，由，解得，即为函数的唯一极值点；对C，当时，直线不是对称轴；对D，由得：，解得或,从而得：或,所以函数在点处的切线斜率为，切线方程为：即故选：AD10. 已知O为坐标原点，过抛物线焦点F的直线与C交于A，B两点，其中A在第一象限，点，若，则（ ）A. 直线的斜率为B. C. D. 【答案】ACD【解析】【分析】由及抛物线方程求得，再由斜率公式即可判断A选项；表示出直线的方程，联立抛物线求得，即可求出判断B选项；由抛物线的定义求出即可判断C选项；由
7、，求得，为钝角即可判断D选项.【详解】对于A，易得，由可得点在的垂直平分线上，则点横坐标为，代入抛物线可得，则，则直线的斜率为，A正确；对于B，由斜率为可得直线的方程为，联立抛物线方程得，设，则，则，代入抛物线得，解得，则，则，B错误；对于C，由抛物线定义知：，C正确；对于D，则为钝角，又，则为钝角，又，则，D正确.故选：ACD.11. 如图，四边形为正方形，平面，记三棱锥，的体积分别为，则（ ）A. B. C. D. 【答案】CD【解析】【分析】直接由体积公式计算，连接交于点，连接，由计算出，依次判断选项即可.【详解】设，因为平面，则，连接交于点，连接，易得，又平面，平面，则，又，平面，则平
8、面，又，过作于，易得四边形为矩形，则，则，则，则，则，故A、B错误；C、D正确.故选：CD.12. 若x，y满足，则（ ）A. B. C. D. 【答案】BC【解析】【分析】根据基本不等式或者取特值即可判断各选项的真假【详解】因为（R），由可变形为，解得，当且仅当时，当且仅当时，所以A错误，B正确；由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确；因为变形可得，设，所以，因此，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误故选：BC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知随机变量X服从正态分布，且，则_【答案】#【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出【详解】因为，所以，因此
9、故答案为：14. 曲线过坐标原点的两条切线的方程为_，_【答案】 . . 【解析】【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得；【详解】解： 因为，当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为，又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：；15. 设点，若直线关于对称直线与圆有公共点，则a的取值范围是_【答案】【解析】【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线
10、的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，所以所在直线即为直线，所以直线为，即；圆，圆心，半径，依题意圆心到直线的距离，即，解得，即；故答案为：16. 已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为_【答案】【解析】【分析】令的中点为，设，利用点差法得到，设直线，求出、的坐标，再根据求出、，即可得解；【详解】解：令的中点为，因为，所以，设，则，所以，即所以，即，设直线，令得，令得，即，所以，即，解得或（舍去），又，即，解得或（舍去），所以直线，即；故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分解答应写出文字说
11、明，证明过程或演算步骤17. 已知为等差数列，是公比为2的等比数列，且（1）证明：；（2）求集合中元素个数【答案】（1）证明见解析； （2）【解析】【分析】（1）设数列的公差为，根据题意列出方程组即可证出；（2）根据题意化简可得，即可解出【小问1详解】设数列的公差为，所以，即可解得，所以原命题得证【小问2详解】由（1）知，所以，即，亦即，解得，所以满足等式的解，故集合中的元素个数为18. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为，已知（1）求的面积；（2）若，求b【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）先表示出，再由求得，结合余弦定理及平方
12、关系求得，再由面积公式求解即可；（2）由正弦定理得，即可求解.【小问1详解】由题意得，则，即，由余弦定理得，整理得，则，又，则，则；小问2详解】由正弦定理得：，则，则，.19. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如下的样本数据的频率分布直方图：（1）估计该地区这种疾病患者的平均年龄（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（2）估计该地区一位这种疾病患者的年龄位于区间的概率；（3）已知该地区这种疾病的患病率为，该地区年龄位于区间的人口占该地区总人口的.从该地区中任选一人，若此人的年龄位于区间，求此人患这种疾病的概率（以样本数据中患者的年龄位于各区间的频率作为
13、患者的年龄位于该区间的概率，精确到0.0001）.【答案】（1）岁； （2）； （3）【解析】【分析】（1）根据平均值等于各矩形的面积乘以对应区间的中点值的和即可求出；（2）设一人患这种疾病的年龄在区间，根据对立事件的概率公式即可解出；（3）根据条件概率公式即可求出【小问1详解】平均年龄 （岁）【小问2详解】设一人患这种疾病的年龄在区间，所以【小问3详解】设任选一人年龄位于区间，任选一人患这种疾病，则由条件概率公式可得20. 如图，是三棱锥的高，E是的中点（1）证明：平面；（2）若，求二面角的正弦值【答案】（1）证明见解析 （2）【解析】【分析】（1）连接并延长交于点，连接、，根据三角形全等得
14、到，再根据直角三角形性质得到，即可得到为的中点从而得到，即可得证；（2）过点作，如图建立平面直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦值，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；【小问1详解】证明：连接并延长交于点，连接、，因为是三棱锥的高，所以平面，平面，所以、，又，所以，即，所以，又，即，所以，所以所以，即，所以为的中点，又为的中点，所以，又平面，平面，所以平面【小问2详解】解：过点作，如图建立平面直角坐标系，因为，所以，又，所以，则，所以，所以，所以，则，设平面的法向量为，则，令，则，所以；设平面的法向量为，则，令，则，所以；所以设二面角为，由图可知二面角为钝二面角，所以，所以故二面角的正
15、弦值为；21. 已知双曲线的右焦点为，渐近线方程为（1）求C的方程；（2）过F的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，点在C上，且过P且斜率为的直线与过Q且斜率为的直线交于点M.从下面中选取两个作为条件，证明另外一个成立：M在上；注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.【答案】（1） （2）见解析【解析】【分析】（1）利用焦点坐标求得的值，利用渐近线方程求得的关系，进而利用的平方关系求得的值，得到双曲线的方程；（2）先分析得到直线的斜率存在且不为零，设直线AB的斜率为k, M(x0,y0),由|AM|=|BM|等价分析得到；由直线和的斜率得到直线方程，结合双曲线的方程，两点间距离公
16、式得到直线PQ的斜率，由等价转化为，由在直线上等价于，然后选择两个作为已知条件一个作为结论，进行证明即可.【小问1详解】右焦点为，,渐近线方程为，C的方程为：；【小问2详解】由已知得直线的斜率存在且不为零，直线的斜率不为零，若选由推或选由推：由成立可知直线的斜率存在且不为零；若选推，则为线段的中点，假若直线的斜率不存在，则由双曲线的对称性可知在轴上，即为焦点,此时由对称性可知、关于轴对称，与从而，已知不符；总之，直线的斜率存在且不为零.设直线的斜率为,直线方程为,则条件在上，等价于；两渐近线的方程合并为,联立消去y并化简整理得：设,线段中点为,则,设,则条件等价于,移项并利用平方差公式整理得：
17、，,即,即；由题意知直线的斜率为, 直线的斜率为,由,所以直线的斜率,直线,即,代入双曲线的方程,即中，得：,解得的横坐标：,同理：，,条件等价于，综上所述：条件在上，等价于；条件等价于；条件等价于；选推:由解得：,成立；选推：由解得：，成立；选推：由解得：，成立.22. 已知函数（1）当时，讨论的单调性；（2）当时，求a的取值范围；（3）设，证明：【答案】（1）的减区间为，增区间为. （2） （3）见解析【解析】【分析】（1）求出，讨论其符号后可得的单调性.（2）设，求出，先讨论时题设中的不等式不成立，再就结合放缩法讨论符号，最后就结合放缩法讨论的范围后可得参数的取值范围.（3）由（2）可得
18、对任意的恒成立，从而可得对任意的恒成立，结合裂项相消法可证题设中的不等式.【小问1详解】当时，则，当时，当时，故的减区间为，增区间为.【小问2详解】设，则，又，设，则，若，则，因为为连续不间断函数，故存在，使得，总有，故在为增函数，故，故在为增函数，故，与题设矛盾.若，则，下证：对任意，总有成立，证明：设，故，故在上为减函数，故即成立.由上述不等式有，故总成立，即在上为减函数，所以.当时，有， 所以在上为减函数，所以.综上，.【小问3详解】取，则，总有成立，令，则，故即对任意的恒成立.所以对任意的，有，整理得到：，故，故不等式成立.【点睛】思路点睛：函数参数的不等式的恒成立问题，应该利用导数讨论函数的单调性，注意结合端点处导数的符号合理分类讨论，导数背景下数列不等式的证明，应根据已有的函数不等式合理构建数列不等式 学科网（北京）股份有限公司