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1、 稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正稳定性是控制系统最重要的问题，是系统正常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，常工作的首要条件。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负总会受到外界和内部一些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数载或能源的波动、环境条件的改变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并且越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原越偏越远，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的平衡状态。来的平衡状态。三、代数稳
2、定判据劳斯判据三、代数稳定判据劳斯判据1. 1. 系统稳定性的初步判别系统稳定性的初步判别（必要条件）（必要条件）设系统的闭环特征方程式为如下标准形式设系统的闭环特征方程式为如下标准形式：1011( )nnnnD sa sasa s a0(3-43)(3-43)2. 2. 劳斯稳定判据劳斯稳定判据0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg0241135212331231101nnnnsaaasaaasbbbscccsfsg11120211311aabaaa直至其余 项均为零。ib03111aabaaa 670421511aabaaa 1311211a
3、acbbb 1521311aacbbb1731411aacbbb 1nga按此规律一直计算到按此规律一直计算到n n -1 -1行为止。行为止。考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列考察阵列表第一列系数的符号。假若劳斯阵列表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的表中第一列系数均为正数，则该系统是稳定的; ;假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且假若第一列系数有负数，则系统不稳定，并且第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上第一列系数符号的改变次数等于在右半平面上根的个数。根的个数。结论：结论：例例5 5 系统特征方程系统特征方程为为432( )D sssss 612116 0试用劳斯判据判
4、别系统的稳定性。试用劳斯判据判别系统的稳定性。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数4 1 12 6s3 6 11s261 6 6s1455 6s0 6 s第一列的第一列的系数都为系数都为正数，系正数，系统稳定统稳定例例6 6 系统特征方程为系统特征方程为432( )1930D sssss110试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况试用劳斯判据判别系统闭环特征方程根的分布情况。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1)(1)系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。
5、系统特征方程的系数不满足系统稳定的必要条件。4 1 -12 30s3 1 11s2 -30 30 s1 12 s0 30 s有两个根位于有两个根位于s平面的右半平面平面的右半平面练习练习 系统特征方程系统特征方程为为54320sssss3256试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定试用劳斯判据判别系统是否稳定，若不稳定，则确定具有正实部根的个数。具有正实部根的个数。答案：答案：系统不稳定系统不稳定, ,有两个有两个根具有正实部根具有正实部, ,即有即有两个根位于两个根位于s s平面的平面的右半平面右半平面四、劳斯判据的特殊情况四、劳斯判据的特殊情况、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不
6、为零或不、劳斯表中某一行第一列元素为零，其余不为零或不全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，全为零，这时可用一个很小的正数来代替这个零，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，然后继续劳斯阵列表的运算。若第一列元素不改变符号，则系统临界稳定，否则不稳定。则系统临界稳定，否则不稳定。2 0 16 s解：解：(1)(1)系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。系统特征方程的系数满足系统稳定的必要条件。例例7 7 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。432( )34126D sssss 04 1 4 16s3 3 12s148 12- 0s0 16 s2
7、 16 s第一列第一列为零为零(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部练习练习 系统特征方程为系统特征方程为判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。432( )221Dsssss 0432101112212201sssss系统不稳定，系统不稳定，且有两个根且有两个根具有正实部具有正实部、若劳斯阵列表中某一行（设为第若劳斯阵列表中某一行（设为第k k行）的所有系数行）的所有系数均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关均为零，则说明在根平面内存在一些大小相等，并且关于原点对称的根。于原点对称的根。(3)(3)解辅助方
8、程，得到所有数值相同、符号相异的根。解辅助方程，得到所有数值相同、符号相异的根。(1)(1)用用(k-1)(k-1)行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶行元素构成辅助方程，辅助方程的最高阶次为次为(n-k+2)(n-k+2)，然后，然后s s的次数递降的次数递降2 2。(2)(2)将辅助方程对将辅助方程对s s求导，其系数作为全零行的元素，求导，其系数作为全零行的元素，继续完成劳斯表。继续完成劳斯表。(2)(2)列写劳斯阵列表如下列写劳斯阵列表如下: :解：解：(1) (1) 特征方程的所有系数均为正实数特征方程的所有系数均为正实数例例8 8 系统特征方程为系统特征方程为65432( )281
9、2201616Dsssssss0判别系统的稳定性。判别系统的稳定性。3 0 0s3 8 24 s18 3s0 16 s5 2 12 16s6 1 8 20 16s4 2 12 16s42( )21216F sss2 6 16 s解辅助方程得解辅助方程得: :1,22sj3,42sj例例9 9 系统特征方程为系统特征方程为5433312ssss2+9s -40判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根判别系统的稳定性。若不稳定，则确定具有正实部根的个数。的个数。5433210134391 20001 21 891 225 001 2sssssss42( )3912F sss543238sss
10、s 2+6s -40 练习练习 系统特征方程为系统特征方程为543321013426800081 2381 0 0038sssssss42( )268F sss五、五、 劳斯判据的应用劳斯判据的应用应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕绝对稳定性，而且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统量，即相对稳定性。另外劳斯判据还可用来分析系统参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。参数对稳定性的影响和鉴别延滞系统的稳定性。 如图如图3-223-22所示，令所示，令
11、 即把虚轴左移即把虚轴左移 。将。将上式代入系统的特征方程式，得以上式代入系统的特征方程式，得以z z为变量的新特征方为变量的新特征方程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴程式，然后再检验新特征方程式有几个根位于新虚轴( (垂直线垂直线 ) )的右边。如果所有根均在新虚轴的的右边。如果所有根均在新虚轴的左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有左边（新劳斯阵列式第一列均为正数），则说系统具有稳定裕量稳定裕量 。1s1sz 111. 1. 稳定裕量的检验稳定裕量的检验j00图图3-22 3-22 稳定裕量稳定裕量 11zs例例10 10 检验特征方程式检验特征方程式320sss 2
12、10134是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线s = -s = -的的右边。右边。 (1) (1)特征方程式系数都为正实数特征方程式系数都为正实数, ,满足稳定的必要条件满足稳定的必要条件(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表3 2 13 s1 12.2 s0 4 s2 10 4 s第一列无符号改第一列无符号改变，故没有根在变，故没有根在S S平面右半平面。平面右半平面。解解令令s= z-1s= z-1，代入特征方程式，得，代入特征方程式，得32(1)(1)(1)40zzz2101332410zzz 2即即32410zzz 2则新的劳斯阵列表则新的劳斯
13、阵列表3 2 -1 z1 -0.5 z0 -1 z2 4 -1 z从表中可看出，第从表中可看出，第一列符号改变一次，一列符号改变一次，故有一个根在直线故有一个根在直线s= -1s= -1（即新座标（即新座标虚轴）的右边，因虚轴）的右边，因此稳定裕量不到此稳定裕量不到1 1。2. 2. 分析系统参数对稳定性的影响分析系统参数对稳定性的影响设一单位反馈控制系统如图设一单位反馈控制系统如图3-233-23所示，求使系统稳定的所示，求使系统稳定的k k的范围的范围图图3-233-231s)(sC)(sR(1)(5)kss( )( )( )(1)()C sKsR ss ssK5320sssK65解解(1
14、)系统的传递函数为：系统的传递函数为：特征方程为：特征方程为：(2)(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表系数都为正实数系数都为正实数3 1 5 s2 6 k s130-k 6s0 k s3 1 5 s130-k 6s0 k s2 6 k s(2)列劳斯阵列表列劳斯阵列表0 0 K K 30, 0 0，30 - 30 - K K 0 0例例11 11 系统特征方程式为系统特征方程式为432( )210100DsssTss0按稳定要求确定按稳定要求确定 T T 的临界值。的临界值。解解 劳斯阵列表为劳斯阵列表为3 2 10 s110T-250 T-5s0 100 s4 1 T 100s2 T-5 100 s0TT10250550,T 即必须即必须 T 25T 25系统才能稳定。系统才能稳定。30 结束语结束语