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1、1 . LINGO入门入门LINGOLINGO的界面的界面LINGO软件的主窗口（用软件的主窗口（用户界面），所有其他窗口户界面），所有其他窗口都在这个窗口之内。都在这个窗口之内。 模型窗口（模型窗口（Model Window），用于输入），用于输入LINGO优化模型（即优化模型（即LINGO程序）。程序）。 状态行（最左边显状态行（最左边显示示“Ready”，表示，表示 “准备就绪准备就绪”）当前时间当前时间 当前光标当前光标的位置的位置 一个简单的一个简单的LINGO程序程序例例 直接用LINGO来解如下二次规划问题： 40,322100. .123 . 02779821212122212
2、121为整数xxxxxxtsxxxxxxMax输入窗口如下：输入窗口如下：程序语句输入的备注：程序语句输入的备注：LINGO总是根据总是根据“MAX=”或或“MIN=”寻找目标函数寻找目标函数，而除注释语句和而除注释语句和TITLE语句外的其他语句都是约束条语句外的其他语句都是约束条件，因此件，因此语句的顺序并不重要语句的顺序并不重要 。限定变量取整数值的语句为限定变量取整数值的语句为“GIN(X1)”和和“GIN(X2)”，不可以写成，不可以写成“GIN(2)”，否则，否则LINGO将把这个模型看成没有整数变量。将把这个模型看成没有整数变量。LINGO中函数一律需要以中函数一律需要以“”开头
3、开头，其中整型变量，其中整型变量函数（函数（BIN、GIN）和上下界限定函数（）和上下界限定函数（FREE、SUB、SLB），），BIN函数在函数在01规划中有广泛应规划中有广泛应用用BND( L,X,U)表示表示L=X=U输出结果：输出结果：运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|Solve” 最优整数解最优整数解X=(35，65)最大利润最大利润=11077.5 一个简单的一个简单的LINGO程序程序LINGO的基本用法的几点的基本用法的几点注意注意事项事项 LINGO中不区分大小写字母；变量和行名可以超过8个字符，但不能超过32个字符，且必须以字母开头。用LINGO解优化模型时已假定所有变
4、量非负(除非用限定变量取值范围的函数free或sub或slb另行说明)。变量可以放在约束条件的右端(同时数字也可放在约束条件的左端)。但为了提高LINGO求解时的效率，应尽可能采用线性表达式定义目标和约束(如果可能的话)。语句是组成LINGO模型的基本单位,每个语句都以分号结尾，编写程序时应注意模型的可读性。例如：一行只写一个语句，按照语句之间的嵌套关系对语句安排适当的缩进，增强层次感。以感叹号开始的是说明语句(说明语句也需要以分号结束)）。2 . 在在LINGO中使用集合中使用集合基本集合与派生集合基本集合与派生集合 例例 建筑工地的位置建筑工地的位置(用平面坐标用平面坐标a, b表示，距离
5、单位：表示，距离单位：公里公里)及水泥日用量及水泥日用量d(吨吨)下表给出。有两个临时料场位下表给出。有两个临时料场位于于P (5,1), Q (2, 7),日储量各有日储量各有20吨。从吨。从A, B两料场分别两料场分别向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个向各工地运送多少吨水泥，使总的吨公里数最小。两个新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？新的料场应建在何处，节省的吨公里数有多大？a1.258.750.55.7537.25b1.250.754.7556.57.75d3547611建立模型建立模型记工地的位置为记工地的位置为 ，水泥日用量为，水泥日用量为 ；料场；料场位置为位置
6、为 ，日储量为，日储量为 ；从料场；从料场 向工地向工地 的的运送量为运送量为 。 ),(iiba6, 1,idi),(jjyx2 , 1,jejjiijc 2622112161MIN1s.t.,1,2,62,1,23ijjijijiijijijjifcxaybcdicejL使用现有临时料场时，决策变量只有使用现有临时料场时，决策变量只有 （非负），所以这是（非负），所以这是LP模型；当为新模型；当为新建料场选址时决策变量为建料场选址时决策变量为 和和 ，由于目标函数，由于目标函数 对对 是非线性的，是非线性的，所以在新建料场时是所以在新建料场时是NLP模型。先解模型。先解NLP模型，而把现有
7、临时料场的位置作模型，而把现有临时料场的位置作为初始解告诉为初始解告诉LINGO。 ijcijcjjyx ,fjjyx ,本例中集合的概念本例中集合的概念利用集合的概念，可以定义需求点利用集合的概念，可以定义需求点DEMAND和供应点和供应点SUPPLY两个集合，分别有两个集合，分别有6个和个和2个元素个元素(下标下标)。但决。但决策变量策变量(运送量运送量) 与集合与集合DEMAND和集合和集合SUPPLY都都有关系的。该如何定义这样的属性？有关系的。该如何定义这样的属性？ijc集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的集合的属性相当于以集合的元素为下标的数组。这里的 相当于二维数组。
8、它的两个下标分别来自集合相当于二维数组。它的两个下标分别来自集合DEMAND和和SUPPLY，因此可以定义一个由二元对组，因此可以定义一个由二元对组成的新的集合，然后将成的新的集合，然后将 定义成这个新集合的属性。定义成这个新集合的属性。ijcijc输入程序输入程序 定义了三个集合，其中定义了三个集合，其中LINK在前在前两个集合两个集合DEMAND 和和SUPPLY的的基础上定义基础上定义表示集合表示集合LINK中的元素就是集合中的元素就是集合DEMAND 和和SUPPLY的元素组合成的有序二元组，的元素组合成的有序二元组，从数学上看从数学上看LINK是是DEMAND 和和SUPPLY的笛的
9、笛卡儿积，也就是说卡儿积，也就是说LINK=（S，T）|SDEMAND，TSUPPLY因此，其属性因此，其属性C也就是一个也就是一个6*2的矩阵（或者的矩阵（或者说是含有说是含有12个元素的二维数组）。个元素的二维数组）。LINGO建模语言也称为矩阵生成器（建模语言也称为矩阵生成器（MATRIX GENERATOR）。类似）。类似DEMAND 和和SUPPLY直接把元素列举出直接把元素列举出来的集合，称为来的集合，称为基本集合基本集合(primary set),而把而把LINK这种基于其它这种基于其它集合而派生出来的二维或多维集合称为集合而派生出来的二维或多维集合称为派生集合派生集合(deri
10、ved set)。由于是由于是DEMAND 和和SUPPLY生成了派生集合生成了派生集合LINK，所以，所以DEMAND 和和SUPPLY 称为称为LINK的的父集合父集合。输入程序输入程序 初始段 INGO对数据是按列赋值的 语句的实际赋值顺序是X=(5,2), Y=(1,7), 而不是X=(5,1), Y=（2,7) 等价写法：“X=5,2； Y=1,7；”同理，数据段中对常数数组A，B的赋值语句也可以写成A, B=1.25 1.25 8.75 0.75 0.5 4.75 5.75 5 3 6.5 7.25 7.75；输入程序输入程序 定义目标和约束，与前例的方法是类似(这里包含了派生集合
11、)，请特别注意进一步体会集合函数SUM和FOR的用法。由于新建料场的位置理论上讲可以是任意的，所以在约束的最后(模型的“END”语句上面的一行)用free函数取消了变量X、Y的非负限制在程序开头用TITLE语句对这个模型取了一个标题“LOCATION PROBLEM；并且对目标行（OBJ）和两类约束（DEMAND_CON、SUPPLY_CON）分别进行了命名(请特别注意这里约束命名的特点)。 解答解答:运行菜单命令运行菜单命令“LINGO|Solve” 局部最优解局部最优解X(1)=7.249997， X(2)=5.695940，Y(1)=7.749998， Y(2)=4.928524，C（略
12、），（略），最小运量最小运量=89.8835(吨公里吨公里)。 问题问题:最小运量最小运量89.8835是不是全局最优是不是全局最优 是用是用“LINGO|Options”菜单命令打开选项对话框，在菜单命令打开选项对话框，在“Global Solver”选项卡上选择选项卡上选择“Use Global Solver”, 激激活全局最优求解程序。活全局最优求解程序。问题问题:最小运量最小运量89.8835是不是全局最优是不是全局最优 为减少计算工作量，对为减少计算工作量，对X，Y的取值再做一些限制。虽然理论上的取值再做一些限制。虽然理论上新建料场的位置可以是任意的，但显然最佳的料场位置不应该离新建
13、料场的位置可以是任意的，但显然最佳的料场位置不应该离工地太远，至少不应该超出现在工地太远，至少不应该超出现在6个工地所决定的坐标的最大、个工地所决定的坐标的最大、最小值决定的矩形之外，即最小值决定的矩形之外，即: 0.5=x=8.75, 0.75=y=7.75. 可以用可以用bnd函数加函数加上这个条件取代模型上这个条件取代模型END上面的行，运行上面的行，运行NLP模型，全局最优模型，全局最优求解程序花费的时间求解程序花费的时间仍然很长，运行仍然很长，运行27分分35秒时人为终止求解秒时人为终止求解(按下按下“Interrupt Solver”按钮按钮)得到左得到左边模型窗口和全局求边模型窗
14、口和全局求解器的状态窗口解器的状态窗口此时目标函数值的下界（此时目标函数值的下界（Obj Bound=85.2638）与目前得到的最好）与目前得到的最好的可行解的目标函数值（的可行解的目标函数值（Best Obj=85.2661）相差已经非常小，可）相差已经非常小，可以认为已经得到了全局最优解。以认为已经得到了全局最优解。 计算结果计算结果 012345678901234567835476112016工地与料场示意图工地与料场示意图 : “*”表示料场，表示料场，“+”表示工地表示工地 可以认为是模型的最后结果可以认为是模型的最后结果 附注：如果要把料厂P(5, 1), Q (2, 7)的位置
15、看成是已知并且固定的，这时是LP模型。只需要把初始段的“X Y =5，1，2，7；”语句移到数据段就可以了。此时，运行结果告诉我们得到全局最优解（变量C的取值这里略去），最小运量136.2275(吨公里)。稠密集合与稀疏集合稠密集合与稀疏集合 包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合包含了两个基本集合构成的所有二元有序对的派生集合称为称为稠密集合稠密集合(简称稠集简称稠集)。有时候，在实际问题中，一。有时候，在实际问题中，一些属性些属性(数组数组) 只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这只在笛卡儿积的一个真子集合上定义，这种派生集合称为种派生集合称为稀疏集合稀疏集合(简称疏集简称疏集)。
16、例例 (最短路问题最短路问题) 在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条在纵横交错的公路网中，货车司机希望找到一条从一个城市到另一个城市的最短路从一个城市到另一个城市的最短路. 下图表示的是公路网下图表示的是公路网, 节点表节点表示货车可以停靠的城市示货车可以停靠的城市,弧上的权表示两个城市之间的距离弧上的权表示两个城市之间的距离(百公百公里里). 那么那么,货车从城市货车从城市S出发到达城市出发到达城市T,如何选择行驶路线如何选择行驶路线,使所经使所经过的路程最短过的路程最短?STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956STA1 A2 A3 B1 B2 C1
17、 C2 633665874678956分析分析 假设从假设从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线 P 经过城市经过城市C1, 则则P中从中从S到到C1的子路的子路也一定是从也一定是从S到到C1的最优行驶路线的最优行驶路线; 假设假设 P 经过城市经过城市C2, 则则P中从中从S到到C2的子路也一定是从的子路也一定是从S到到C2的最优的最优行驶路线行驶路线. 因此因此, 为得到从为得到从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线, 只需要先求出从只需要先求出从S到到Ck(k=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线, 就可以方便地得到从就可以方便地得到从S到到T的最优行驶路线的最优行驶路线. 同样同样,为
18、了求出从为了求出从S到到Ck(k=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线, 只需要先求出从只需要先求出从S到到Bj(j=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线; 为了求出从为了求出从S到到Bj(j=1,2)的最优行驶路线的最优行驶路线, 只需要先求出从只需要先求出从S到到Ai (i=1,2,3)的最优行驶路线的最优行驶路线. 而而S到到Ai(i=1,2,3)的最优行驶路线是很容的最优行驶路线是很容易得到的易得到的(实际上实际上, 此例中此例中S到到Ai(i=1,2,3)只有唯一的道路只有唯一的道路) 分析分析 STA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956此例中可把从
19、S到T的行驶过程分成4个阶段,即 SAi (i=1,2或3), Ai Bj(j=1或2), Bj Ck(k=1或2), Ck T. 记d(Y,X)为城市Y与城市X之间的直接距离(若这两个城市之间没有道路直接相连，则可以认为直接距离为)，用L(X)表示城市S到城市X的最优行驶路线的路长: 0;1min,.2YXL SL XL Yd Y XXS本例的本例的LINGO求解求解“CITIES”(城市城市):一个基本集合一个基本集合(元素通过枚举给出元素通过枚举给出)L:CITIES对应的属性变量对应的属性变量(我们要求的最短路长我们要求的最短路长) “ROADS”(道路):由CITIES导出的一个派生
20、集合(请特别注意其用法),由于只有一部分城市之间有道路相连，所以不应该把它定义成稠密集合，将其元素通过枚举给出，这就是一个稀疏集合。 D:稀疏集合ROADS对应的属性变量(给定的距离)本例的计算本例的计算 1231123321233112221221216,3,3;min6,8,7107;min5,6,474;min6,8158;min7,9169;min5,6205.L AL AL AL BL AL AL AL AL BL AL AL AL AL CL BL BL BL CL BL BL BL TL CL CL CSTA1 A2 A3 B1 B2 C1 C2 633665874678956所
21、以, 从S到T的最优行驶路线的路长为20. 进一步分析以上求解过程, 可以得到从S到T的最优行驶路线为S A3 B2 C1 T.这种计算方法在数学上称为动态规划(Dynamic Programming) 本例的本例的LINGO求解求解“CITIES”(城市城市):一个基本集合一个基本集合(元素通过枚举给出元素通过枚举给出)L:CITIES对应的属性变量对应的属性变量(我们要求的最短路长我们要求的最短路长) “ROADS”(道路):由CITIES导出的一个派生集合(请特别注意其用法),由于只有一部分城市之间有道路相连，所以不应该把它定义成稠密集合，将其元素通过枚举给出，这就是一个稀疏集合。 D:
22、稀疏集合ROADS对应的属性变量(给定的距离)本例的本例的LINGO求解求解从模型中还可以看出：这个从模型中还可以看出：这个LINGO程序可以没有目标程序可以没有目标函数，这在函数，这在LINGO中，可以用来找可行解中，可以用来找可行解(解方程组和解方程组和不等式组不等式组)。在数据段对在数据段对L进行赋值，只有进行赋值，只有L(S)=0已已知，后面的值为空知，后面的值为空(但位置必须留出来，但位置必须留出来，即逗号即逗号“，”一个也不能少，否则会出一个也不能少，否则会出错错)。如果这个语句直接写成。如果这个语句直接写成“L=0；”，语法上看也是对的，但其含义是语法上看也是对的，但其含义是L所
23、有所有元素的取值全部为元素的取值全部为0，所以也会与题意，所以也会与题意不符。不符。本例的本例的LINGO求解求解虽然集合虽然集合CITIES中的元素不是数字，但当中的元素不是数字，但当它以它以CITIES(I)的形式出现在循环中时，引的形式出现在循环中时，引用下标用下标I却实际上仍是正整数，也就是说却实际上仍是正整数，也就是说I指指的正是元素在集合中的位置的正是元素在集合中的位置(顺序顺序)，一般称，一般称为元素的索引为元素的索引(INDEX)。在在for循环中的过滤条件里用了一个函数循环中的过滤条件里用了一个函数“index”, 其作用是返回一个元素在集合其作用是返回一个元素在集合中的索引
24、值，这里中的索引值，这里index(S)=1(即元素即元素S在在集合中的索引值为集合中的索引值为1)，所以逻辑关系式，所以逻辑关系式“I#GT#index(S)”可以可以直接等价地可以可以直接等价地写成写成“I#GT#1” 。这里。这里index(S)实际上还实际上还是是index(CITIES,S)的简写，即返回的简写，即返回S在集在集合合CITIES中的索引值。中的索引值。本例的本例的LINGO求解结果求解结果从S到T的最优行驶路线的路长为20(进一步分析，可以得到最优行驶路线为S A3 B2 C1 T)。 本例中定义稀疏集合本例中定义稀疏集合ROADS的方法是将其元素通过枚举的方法是将其
25、元素通过枚举给出，有时如果元素比较多，用起来不方便。另一种定给出，有时如果元素比较多，用起来不方便。另一种定义稀疏集合的方法是义稀疏集合的方法是“元素过滤元素过滤”法，能够从笛卡儿积法，能够从笛卡儿积中系统地过滤下来一些真正的元素。中系统地过滤下来一些真正的元素。例例 某班某班8名同学准备分成名同学准备分成4个调查队个调查队(每队两人每队两人)前往前往4个个地区进行社会调查。这地区进行社会调查。这8名同学两两之间组队的效率如名同学两两之间组队的效率如下表所示下表所示(由于对称性，只列出了严格上三角部分由于对称性，只列出了严格上三角部分)，问，问如何组队可以使总效率最高？如何组队可以使总效率最高
26、？学生S1S2S3S4S5S6S7S8S1-9342156S2-173521S3-44292S4-1552S5-876S6-23S7-4分析分析 这是一个匹配（MATCHING）问题。把上表的效率矩阵记为BENEFIT(由于对称性，这个矩阵只有严格上三角部分共28个数取非零值)。 用MATCH（Si，Sj）=1表示同学Si，Sj组成一队 ，而MATCH（Si，Sj）=0表示Si，Sj不组队。由于对称性，只需考虑ij共28个0-1变量(而不是全部32个变量)。 显然,目标函数正好是BENEFIT(Si,Sj)*MATCH(Si,Sj)对I,j之和。 约束条件是每个同学只能(而且必须在)某一组，即
27、对于任意i有:只要属性MATCH的某个下标为i就加起来，此和应该等于1。 由上面的分析，因此，完整的数学模型如下(显然，这是一个0-1线性规划)： 31.0)(21,2,3,4,I 1,)(. .1 ),(),(II，或J,KMATCHJ,KMATCHtsJI*MATCHJIBENEFITMinKJJI问题的问题的LINGO求解求解“S1.S8”等价于写成“S1 S2 S3 S4 S5 S6 S7 S8”, 它没有相关的属性列表，只用于表示是一个下标集合 在派生集合PAIRS定义中增加了过滤条件 “&2#GT#&1”,意思是第2个父集合的元素的索引值(用“&2”表示)大于第1个父集合的元素的索
28、引值(用“&1”表示)。PAIRS中的元素对应于上表中的严格上三角部分的二维下标(共28个元素)。BENEFIT和MATCH是PAIRS的属性。 注意数据段对BENEFIT的赋值方式，“LINGO按照列的顺序对属性变量的元素进行赋值。在约束部分，过滤条件“J #EQ# I #OR# K #EQ# I”是由逻辑运算符“#OR#（或者）”连接的一个复合的逻辑关系式，连接由“#EQ#（等于）”表示的两个逻辑关系。由于“#OR#”的运算级别低于“#EQ#”，所以这个逻辑式中没有必要使用括号指定运算次序。 LINGO求解结果求解结果“LINGO|SOLVE”运行这个程序，可以得到全局最优值为30 MAT
29、CH变量中多数为0，可以更清晰地浏览最优解解。选择菜单命令“LINGO|SOLUTION”，可以看到图示对话框。选择属性MATCH(变量)选择Text(文本格式)选择Nonzeros Only(只显示非零值)点击“OK”按钮，得到关于最优解的非零分量的报告学生最佳的组队方式是学生最佳的组队方式是(1,8),(2,4),(3,7),(5,6).集合的使用小结集合的使用小结 集合的不同类型及其关系集合的不同类型及其关系 集合集合派生集合派生集合稀疏集合稀疏集合稠密集合稠密集合基本集合基本集合元素列表法元素列表法 元素过滤法元素过滤法 直接列举法直接列举法 隐式列举法隐式列举法 元素列表和属性列表都
30、是可选的。 当属性列表不在集合定义中出现时，这样的集合往往只是为了将来在程序中作为一个循环变量来使用,或者作为构造更复杂的派生集合的父集合使用(匹配问题中的集合STUDENTS没有属性列表)。 而当元素列表不在基本集合的定义中出现时,则必须在程序的数据段以赋值语句的方式直接给出元素列表。 例如，前例中SAILCO公司决定四个季度的帆船生产量模型的集合段和数据段可以分别改为：SETS: QUARTERS:DEM,RP,OP,INV; !注意没有给出集合的元素列表;ENDSETSDATA: QUARTERS DEM=1 40 2 60 3 75 4 25; !注意LINGO按列赋值的特点;ENDD
31、ATA基本集合的定义语法基本集合的定义语法 帆船生产量模型的源程序匹配问题的源程序派生集合的定义语法派生集合的定义语法 派生集合的定义格式为(方括号“ ”中的内容是可选项, 可以没有): setname(parent_set_list) /member_list/ : attribute_list;与基本集合的定义相比较多了一个parent_set_list(父集合列表)。父集合列表中的集合(如 set1，set2，等)称为派生集合setname的父集合，它们本身也可以是派生集合。当元素列表(member_list)不在集合定义中出现时，还可以在程序的数据段以赋值语句的方式给出元素列表；若在程
32、序的数据段也不以赋值语句的方式给出元素列表，则认为定义的是稠密集合，即父集合中所有元素的有序组合(笛卡儿积)都是setname的元素。当元素列表在集合定义中出现时，又有“元素列表法”(直接列出元素)和“元素过滤法”(利用过滤条件)两种不同方式。 加、减、乘、除、乘方等数学运算(即数与数之间的运算，运算结果也是数)。 LINGO中的算术运算符有以下5种： +（加法）， （减法或负号）， *（乘法）， /（除法）， (求幂)。3 . 运算符和函数运算符和函数逻辑运算符逻辑运算符运算结果只有“真”(TRUE)和“假”(FALSE)两个值(称为“逻辑值”)，LINGO中用数字1代表TRUE，其他值(典
33、型的值是0)都是FALSE。在LINGO中，逻辑运算(表达式)通常作为过滤条件使用,逻辑运算符有9种，可以分成两类：#AND#(与),#OR#(或),#NOT#(非)：逻辑值之间的运算，它们操作的对象本身已经是逻辑值或逻辑表达式，计算结果也是逻辑值。#EQ#(等于),#NE#(不等于),#GT#(大于),#GE#(大于等于),#LT#(小于),#LE#(小于等于)：是“数与数之间”的比较,也就是它们操作的对象本身必须是两个数, 计算得到的结果是逻辑值。关系运算符关系运算符表示是“数与数之间”的大小关系，在LINGO中用来表示优化模型的约束条件。LINGO中关系运算符有3种：(即(即=，大于等于
34、)(在优化模型中约束一般没有严格小于、严格大于关系)运算符的优先级运算符的优先级 优先级最高 最低运算符#NOT#(负号) * /+(减法)#EQ# #NE# #GT# #GE# #LT# #LE#AND# #OR#基本的数学函数基本的数学函数 在LINGO中建立优化模型时可以引用大量的内部函数,这些函数以” 打头。LINGO中包括相当丰富的数学函数,这些函数的用法非常简单,下面一一列出。ABS(X)：绝对值函数，返回X的绝对值。COS(X)：余弦函数，返回X的余弦值（X的单位是弧度）。EXP(X)：指数函数，返回eXFLOOR(X)：取整函数，返回X的整数部分(向最靠近0的方向取整)。LGM
35、(X) ：返回X的伽玛(gamma)函数的自然对数值(当X为整数时LGM(X) = LOG(X-1)！；当X不为整数时，采用线性插值得到结果)。LOG(X)：自然对数函数，返回X的自然对数值。的值(其中e=2.718281.)。基本的数学函数基本的数学函数 MOD(X,Y)：模函数，返回X对Y取模的结果，即X除以Y的余数，这里X和Y应该是整数。POW(X,Y)：指数函数，返回XY的值。SIGN(X)：符号函数，返回X的符号值（X = 0时返回+1）。SIN(X)：正弦函数，返回X的正弦值（X的单位是弧度）。SMAX(list)：最大值函数，返回一列数(list)的最大值。SMIN(list)：
36、最小值函数，返回一列数(list)的最小值。SQR(X)：平方函数，返回X的平方（即X*X）的值。SQRT(X)：开平方函数，返回X的正的平方根的值。TAN(X)：正切函数，返回X的正切值（X的单位是弧度）。集合循环函数集合循环函数 集合上的元素(下标)进行循环操作的函数, 一般用法如下:function(setname ( set_index_list) | condition : expression_list);其中：function 集合函数名,FOR、MAX、MIN、PROD、SUM之一； Setname 集合名；set_index_list 集合索引列表(不需使用索引时可以省略)；
37、Condition 用逻辑表达式描述的过滤条件(通常含有索引，无条件时可以省略)；expression_list 一个表达式(对FOR函数，可以是一组表达式。集合循环函数集合循环函数 五个集合函数名的含义:FOR(集合元素的循环函数)： 对集合setname的每个元素独立地生成表达式，表达式由expression_list描述（通常是优化问题的约束）。MAX（集合属性的最大值函数）：返回集合setname上的表达式的最大值。MIN（集合属性的最小值函数）：返回集合setname上的表达式的最小值。PROD（集合属性的乘积函数）： 返回集合setname上的表达式的积。SUM(集合属性的求和函数
38、):返回集合setname上的表达式的和。集合操作函数集合操作函数 INDEX( set_name, primitive_set_element) 给出元素primitive_set_element在集合set_name中的索引值(即按定义集合时元素出现顺序的位置编号)。省略set_name，LINGO按模型中定义的集合顺序找到第一个含有该元素的集合，并返回索引值。如果没有找到该元素，则出错。 注: Set_name的索引值是正整数且只能位于1和元素个数之间。例:定义一个女孩姓名集合(GIRLS)和男孩姓名集合(BOYS) ：SETS: GIRLS /DEBBIE, SUE, ALICE/;
39、BOYS /BOB, JOE, SUE, FRED/;ENDSETS 都有SUE, GIRLS在BOYS前定义,调用INDEX(SUE)将返2，相当于INDEX(GIRLS,SUE) 。要找男孩中名为SUE的小孩的索引，应该使用INDEX(BOYS, SUE)，返3。集合操作函数集合操作函数 IN( set_name, primitive_index_1 , primitive_index_2 .) 判断一个集合中是否含有某个索引值。如果集合set_name中包含由索引primitive_index_1 , primitive_index_2 .所对应元素，则返回1(逻辑值“真”)，否则返回0
40、(逻辑值“假”)。索引用“&1”、“&2”或INDEX函数等形式给出，这里“&1”表示对应于第1个父集合的元素的索引值，“&2”表示对应于第2个父集合的元素的索引值。 例:定义一个集合STUDENTS(基本集合)，派生出集合PASSED和FAILED，定义： SETS: STUDENTS / ZHAO, QIAN, SUN, LI/:; PASSED( STUDENTS) /QIAN，SUN/:; FAILED( STUDENTS) | #NOT# IN( PASSED, &1):; ENDSETS 如果集合C是由集合A，B派生的，例如： SETS: A / 1.3/:; B / X Y Z/
41、:; C( A, B) / 1,X 1,Z 2,Y 3,X/:; ENDSETS 判断C中是否包含元素（2，Y），则可以利用以下语句： X = IN( C, INDEX( A, 2), INDEX( B, Y);对本例，结果是X=1（真）。 注：X既是集合B的元素，又对X赋值1，在LINGO中这种表达是允许的，因为前者是集合的元素，后者是变量，逻辑上没有关系(除了同名外),所以不会出现混淆。集合操作函数集合操作函数 IN( set_name, primitive_index_1 , primitive_index_2 .)WRAP(I,N) 此函数对此函数对N1无定义无定义 当当I位于区间位于
42、区间1, N内时直接返回内时直接返回I；一般地，返回；一般地，返回 J = I - K *N , 其中其中J位于区间位于区间1, N ， K为整数。即为整数。即WRAP(I,N)= MOD（I，N）。）。 但当但当MOD(I,N)=0时时WRAP(I,N)=N. 此函数可以用来防止集合的索引值越界。此函数可以用来防止集合的索引值越界。 用户在编写用户在编写LINGO程序时，应注意避免程序时，应注意避免LINGO模模型求解时出现集合的索引值越界的错误。型求解时出现集合的索引值越界的错误。集合操作函数集合操作函数 SIZE (set_name) 返回数据集返回数据集set_name中包含元素的个数
43、。中包含元素的个数。变量定界函数变量定界函数对变量的取值范围附加限制，共有以下四种：对变量的取值范围附加限制，共有以下四种： BND(L, X, U) ：限制：限制L = X = U。 注意注意LINGO中没有与中没有与LINDO命令命令SLB、SUB类似的函数类似的函数SLB和和SUB BIN(X) ：限制：限制X为为0或或1。注意。注意LINDO中的命令是中的命令是INT，但，但LINGO中这个函数的名字却不是中这个函数的名字却不是INT(X) FREE(X)：取消对取消对X的符号限制（即可取负数、的符号限制（即可取负数、0或正数）或正数） GIN(X)：限制限制X为整数为整数概率相关函数
44、概率相关函数 PSN(X)：标准正态分布函数，即返回标准正态分布的分布函：标准正态分布函数，即返回标准正态分布的分布函数在数在X点的取值。点的取值。 PSL(X)：标准正态线性损失函数，即返回：标准正态线性损失函数，即返回 MAX(0, Z-X)的期的期望值望值, 其中其中 Z为标准正态随机变量。为标准正态随机变量。 PPS(A,X)：Poisson分布函数，即返回均值为分布函数，即返回均值为A的的Poisson分布分布的分布函数在的分布函数在X点的取值（当点的取值（当X不是整数时，采用线性插值进行不是整数时，采用线性插值进行计算）。计算）。 PPL(A,X)：Poisson分布的线性损失函数
45、，即返回分布的线性损失函数，即返回 MAX(0, Z-X)的期望值的期望值, 其中其中 Z为均值为为均值为A的的Poisson随机变量。随机变量。 PBN(P,N,X)：二项分布函数，即返回参数为（：二项分布函数，即返回参数为（N，P）的二项）的二项分布的分布函数在分布的分布函数在X点的取值（当点的取值（当N和（或）和（或）X不是整数时，采不是整数时，采用线性插值进行计算）用线性插值进行计算） 。 PHG(POP,G,N,X)：超几何（：超几何（Hypergeometric）分布的分布函）分布的分布函数。也就是说，返回如下概率：当总共有数。也就是说，返回如下概率：当总共有POP个球，其中个球，
46、其中G个个是白球时，那么随机地从中取出是白球时，那么随机地从中取出N个球，白球不超过个球，白球不超过X个的概率。个的概率。当当POP，G，N和（或）和（或）X不是整数时，采用线性插值进行计算。不是整数时，采用线性插值进行计算。 PEL(A,X) ：当到达负荷（强度）为：当到达负荷（强度）为A，服务系统有，服务系统有X个服务个服务器且不允许排队时的器且不允许排队时的Erlang损失概率。损失概率。 PEB(A,X)：当到达负荷（强度）为：当到达负荷（强度）为A，服务系统有，服务系统有X个服务个服务器且允许无穷排队时的器且允许无穷排队时的Erlang繁忙概率。繁忙概率。 PFS(A,X,C) ：当
47、负荷上限为：当负荷上限为A，顾客数为，顾客数为C，并行服务器数，并行服务器数量为量为X时，有限源的时，有限源的Poisson服务系统的等待或返修顾客数的期服务系统的等待或返修顾客数的期望值。（望值。（A是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。是顾客数乘以平均服务时间，再除以平均返修时间。当当C和（或）和（或）X不是整数时，采用线性插值进行计算）。不是整数时，采用线性插值进行计算）。概率相关函数概率相关函数 PFD(N,D,X)：自由度为：自由度为N和和D的的F分布的分布函数在分布的分布函数在X点的取点的取值。值。 PCX(N,X)： 自由度为自由度为N的分布的分布函数在的分布的分布函数在
48、X点的取值。点的取值。 PTD(N,X)： 自由度为自由度为N的的t分布的分布函数在分布的分布函数在X点的取值。点的取值。 QRAND(SEED)： 返回返回0与与1之间的多个拟均匀随机数之间的多个拟均匀随机数（SEED为种子，缺省时取当前计算机时间为种子）。该函数为种子，缺省时取当前计算机时间为种子）。该函数只能用在数据段，拟均匀随机数可以认为是只能用在数据段，拟均匀随机数可以认为是“超均匀超均匀”的随机的随机数，需要详细了解数，需要详细了解“拟均匀随机数（拟均匀随机数（quasi-random uniform numbers）” 请进一步参阅请进一步参阅LINGO的使用手册。的使用手册。
49、RAND(SEED) ：返回：返回0与与1之间的一个伪均匀随机数（之间的一个伪均匀随机数（SEED为种子）。为种子）。概率相关函数概率相关函数文件输入输出函数文件输入输出函数 FILE(filename) 当前模型引用其他当前模型引用其他ASCII码文件中的数据或码文件中的数据或文本时可以采用该语句（但不允许嵌套使用），其中文本时可以采用该语句（但不允许嵌套使用），其中filename为存放数据的文件名，该文件中记录之间用为存放数据的文件名，该文件中记录之间用“”分开。分开。 ODBC 提供提供LINGO与与ODBC（Open Data Base Connection，开放式数据库连接）的接口
50、。开放式数据库连接）的接口。 OLE 提供提供LINGO与与OLE(Object Linking and Embeding)接接口。口。 POINTER( N) 在在Windows下使用下使用LINGO的动态连接库的动态连接库DLL ，直接从共享的内存中传送数据。直接从共享的内存中传送数据。 TEXT(filename) 用于数据段中将解答结果送到文本文件用于数据段中将解答结果送到文本文件filename中，当省略中，当省略filename时，结果送到标准的输出设备（通时，结果送到标准的输出设备（通常就是屏幕）。常就是屏幕）。filename中可以带有文件路径，没有指定路径中可以带有文件路径，