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1、医药数理统计方法学时：54学时（含12学时实验）时间：周一上午1-3节（健康保险12（1，2） 下午6-8节（临药12，药分12） 实验 第8，11，14，17周成绩：平时10实验20期末70医药数理统计方法 1.12、相等关系： 若事件B包含事件A，且事件A包含事件B，则称事件A与事件B相等，记作 A=B。B BA A医药数理统计方法 1.13、事件的并（和）： 若事件A与事件B至少有一个发生，这一事件称为事件A与事件B的并（或和），记作 AB 或 A+B。B BA A注：可推广到n个事件的情形。医药数理统计方法 1.14、事件的交（积）： 若事件A与事件B同时发生，这一事件称为事件A与事件
2、B的交（或积），记作 AB 或 AB 或 AB 。B BA A注：可推广到n个事件的情形。医药数理统计方法 1.15、事件的差： 若事件A发生，而事件B不发生，这一事件称为事件A与事件B的差，记作 A-B.B BA A医药数理统计方法 1.16、互斥关系： 若事件A与事件B不能同时发生，即 AB=，称该情况为事件A与事件B互斥（或互不相容）。B BA A医药数理统计方法 1.17、互逆关系： 若事件A与事件B互斥，且在任何一次试验中二者必定有一个发生，即AB=， 且AB=，则称该情况为事件A与事件B互逆（或相互对立）.称事件B为事件A的对立事件，记为 ,ABA即B( B( ) )A AA注：事
3、件A不发生，则事件 发生。A医药数理统计方法 1.1注：完备事件组 若一组事件 两两互不相容，且它们的和为必然事件，则称该事件组为互不相容完备事件组，简称完备事件组（或称 为样本空间的一个剖分或分割）。1,2,nA AA1,2,nA AA医药数理统计方法 1.1三、事件运算的性质 3、分配律2、结合律 1、交换律，ABBAABBA()()ABCABC(AB)CA(BC)()() ()A BCA CB C ABCACBC医药数理统计方法 1.14、德摩根律,ABABA BA BABAB注：可推广到n个事件的情形。A BA B一般来说医药数理统计方法 1.1例1.8 设A，B，C为三个事件，写出下
4、列事件的表示方法。 （1）A发生而B与C都不发生； （2）A与B发生而C不发生； （3）三个事件都发生； （4）三个事件恰好发生一个； （5）三个事件恰好发生二个； （6）三个事件中至少发生一个； （7）三个事件全不发生； （8）三个事件中至少有一个不发生。医药数理统计方法 1.21.2 随机事件的概率一、描述性定义二、公理化定义三、统计定义四、古典定义医药数理统计方法 1.2一、描述性定义 对于事件A，若能用一个数P(A)来度量该事件发生的可能性大小，就称这个数P(A)为事件A发生的概率。医药数理统计方法 1.2二、公理化定义 设 是一给定的样本空间，A 为其中的任意一子集，规定一个实数，记
5、作 P(A)，若 P(A) 满足下列三条公理：（1）非负性：P(A) 0；（2）规范性：P() = 1；（3）可列可加性：若事件 A1, A2, An, 两两互斥，即 Ai Aj= (ij)，则有 11()()iiiiPAP A则称 P(A) 为事件 A 发生的概率。医药数理统计方法 1.2三、统计定义 1、频率(frequency) 若事件A在n次重复（独立）试验中出现了m次，则比值 m/n 称为事件A在n次试验中出现的频率，记为 ( )nmfAn医药数理统计方法 1.2例 投掷一枚均匀硬币，可能有两种结果：出现正面或出现反面。就一次试验而言，我们根本看不出这些结果的发生有些什么规律，但如果
6、去做大量的试验，就就可发现其中的一些规律性。历史上有些人做过此类试验，结果如下：医药数理统计方法 1.2试验者试验次数出现正面次数频率德摩根英204810390.5073蒲 丰法404020480.5069费希尔英1000049790.4979皮尔逊英1200060190.5016皮尔逊英24000120120.5005医药数理统计方法 1.22、频率的稳定性 尽管在一次试验中，可能出现这种结果，也可能出现那种结果，但在大量试验中，一个随机事件出现的频率，随着试验次数的逐渐增多，越来越接近在一个常数附近摆动，明显地呈现出稳定于该常数的趋势，这是一种统计规律，称为频率的稳定性。医药数理统计方法
7、1.23、概率的统计定义 设在相同条件下，进行大量重复的（独立）试验，若事件A的频率稳定在某一确定值 p 的附近摆动，则称此数值 p 为事件A发生的概率(probability)。记为 P(A)=p。注：1）伯努利大数定律（P76）表明，当n很大时，频率必然接近于概率。 2）在许多实际问题中，当事件的概率不容易计算时，往往就是用频率近似代替概率。医药数理统计方法 1.2四、古典定义 1、古典概型 若随机试验具有下面两个特性： （1）（有 限 性）基本事件只有限个； （2）（等可能性）基本事件的发生是等可能的。具有这两个特征的试验，称为古典概型。医药数理统计方法 1.22、古典定义 设古典概型的
8、所有基本事件 ，事件A含有其中的 m个基本事件，则定义事件A发生的概率为( )AnmP Ann12,ne ee其中n是基本事件的总数， m是A包含的基本事件数。医药数理统计方法 1.2例1.10 袋内装有5个白球，3个黑球。从中任取一球，求取出黑球的概率。解：设A=取出的球是黑球，( )AnP An131838CC医药数理统计方法 1.2例1.12 两封信随机地向标号为，的4个邮筒投寄，求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率。解：设A=第二个邮筒恰好被投入1封信，( )AnP An112334 48CC医药数理统计方法 1.31.3 概率的基本运算法则一、加法公式二、减法公式三、条件概率四、乘法公
9、式五、事件的独立性医药数理统计方法 1.3一、加法公式1、Th1.1（狭义加法公式） 如果事件A与事件B互不相容，即AB=，则 P(A+B)=P(A)+P(B)B BA A医药数理统计方法 1.3推论2：若有限个事件A1,A2,An之间，两两互不相容，且 A1+A2+An=，则P(A1)+P(A2)+P(An) =1推论3： 对立事件的概率满足，P(A)=1P( )A推论1：若有限个事件A1,A2,An 之间，两两互不相容，则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)医药数理统计方法 1.3例1.16 设50支针剂中有3支不合格品，今从中任意取4支，求其中不合格品数不少于2支的
10、概率。 解：设A=取出的4支针剂中的不合格品数不少于2支，Ai=取出的4支针剂中的不合格品数为i支，i=2，3.显然A=A2+A3，且A2A3=223472450313473450232369()49001()49001( )()()()70CCP ACCCP ACP AP AAP AP A医药数理统计方法 1.3例1.17 袋中有4个黑球和1个白球，每次从袋中任意取出一球，并换入一只黑球。连续进行，问第三次取出黑球的概率是多少？ A4 4 116(A)5 5 5125109(A)1(A)125nPnPP 解（二）：设A=第3次取出黑球， 则 =第3次取出白球A解（一）：不重不漏地分类医药数理
11、统计方法 1.32、Th1.3（广义加法公式） 若A，B为任意两个事件，则P(AB)=P(A)P(B)P(AB)B BA A医药数理统计方法 1.3二、减法公式Th1.2 设事件A，B满足条件 AB，则 P(AB)=P(A)P(B)医药数理统计方法 1.3例1.20 P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(AB)=0.4,试求(),(),(),()P ABP ABP ABP AB医药数理统计方法 1.3例1.20 P(A)=0.6, P(B)=0.7, P(AB)=0.4,试求(),(),(),()P ABP ABP ABP AB()( )( )()0.60.70.40.9()()()(
12、)()0.60.40.2()()()( )()0.70.40.3()()1()10.90.1P ABP AP BP ABP ABP ABP AABP AP ABP ABP BAP BABP BP ABP ABP ABP AB 解：医药数理统计方法 1.3三、条件概率例1.21 光明玩具厂有职工500人，男女各半，男女职工中非熟练工人分别有40人与10人。现从该厂职工中任意选取一人，试问：(1)该职工是非熟练工人的概率是多少？(2)若已知选出的是女职工，她是非熟练工人的概率是多少？ 医药数理统计方法 1.3解：设A=选出的工人是非熟练工人， B=选出的工人是女职工501( )50010AnP A
13、n(2)问题可叙述为“在已知事件B发生的条件下，求事件A发生的概率”，所求概率为条件概率，记作P(A|B)。10()250P A B (1)10()500250( )500ABBnnP ABnP Bn医药数理统计方法 1.3()()( )P ABP A BP B定义1.5 设A，B是样本空间中的两个事件，且P(B)0,称为在事件B发生的条件下，事件A发生的条件概率。医药数理统计方法 1.3例1.22 袋中有橙色、白色两种不同颜色的乒乓球，8个橙色乒乓球中有5个是新的，5个白色乒乓球中有3个是新的。现从中任意取出一个新的乒乓球，它是白色乒乓球的概率是多少？解：设A=取到白色乒乓球， B=取到新的
14、乒乓球 则所求事件概率为3()3138( )813ABBnnP ABnP Bn()P A B医药数理统计方法 1.3例 某厂生产的灯泡能用1000小时的概率为0.8, 能用1500小时的概率为0.4,求已用1000小时的灯泡能用到1500小时的概率.解:设 A =灯泡能用到1000小时 B =灯泡能用到1500小时则所求概率为( )0.8,( )0.4P AP BBA且()P B A()( )0.40.5( )( )0.8P ABP BP AP A医药数理统计方法 1.3四、乘法公式 对任意两个事件A，B，若P(B)0,由条件概率公式 ()()( )P ABP A BP B得 P(AB)=P(
15、B)P(A|B) (当P(B)0时)同理 P(AB)=P(A)P(B|A) (当P(A)0时) 医药数理统计方法 1.3定理1.4 设 为n个随机事件，则12121312121()() () ()()nnnP A AAP A P A A P A A AP A A AA12nA AA医药数理统计方法 1.3例1.24 某小组共有n个人，分得一张观看奥运会的入场券。该小组用摸彩的方式决定谁得入场券，他们依次摸彩，求： (1)已知前 k1(kn) 个人都没有摸到，第k个人摸到入场券的概率； (2) 第 k 个人摸到入场券的概率。121()kkP A A AA解：设Ai =第i个人摸到入场券，i=1,
16、2,n.(2)()kP A (1)11(1)1nknk医药数理统计方法 1.31211213121122121()()() () ()() ()1231112(2)11kkkkkkkP AP A AAAP A P A A P A A AP AA AAP A A AAnnnnknnnnknkn医药数理统计方法 1.3例1.26 10个考签中有4个难签，甲、乙、丙3人参加抽签（无放回），甲先抽、乙其次、丙最后。试分别求出甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率。医药数理统计方法 1.3五、事件的独立性1、定义1.6 若事件A发生与否不影响事件B的发生，即
17、 P(B|A)=P(B)，则称事件B独立于事件 A。医药数理统计方法 1.3注：两个事件的独立性总是相互的。证明：若事件B独立于事件A，即P(B|A)=P(B)， 则( ) ()()( ) ( )()( )( )( )( )P A P B AP ABP A P BP A BP BP BP BP A这表明事件 A独立于事件B， 这也说明了事件A与事件B的相互独立性。医药数理统计方法 1.32、Th1.5 两个事件A、B相互独立的充分必要条件是 P(AB)= P(A)P(B)。证明：（充分性）若P(AB)= P(A)P(B)，则()( ) ( )()( )( )( )P ABP A P BP A
18、BP AP BP B即事件A独立于事件B，也就是事件A、B相互独立。（必要性） 若两个事件 A 、B 相互独立，则 P(B|A)=P(B)()( ) ()( ) ( )P ABP A P B AP A P B医药数理统计方法 1.3医药数理统计方法 1.3例1.29 据说某种新药能够治疗某种肠道感染病。现有该疾病患者500人，有的服用了此新药，有的未服用此新药，经过一周时间后，有的已经痊愈，有的还未痊愈，详细结果见下表。试分析这种新药对该肠道感染病有无疗效。治疗效果服药未服药合计痊愈170230400未痊愈4060100合计210290500医药数理统计方法 1.3解：（从分析服药与痊愈之间是
19、否相互独立着手） 设事件A=服药，B=痊愈 由于试验的例数 n=50050（大样本，可参P88），所以用频率近似代替概率。400170( )0.8()0.8095500210( )()P BP B AP BP B A，所以可以认为事件A与事件B相互独立，即这种新药对该肠道感染病没有疗效。医药数理统计方法 1.33、Th1.6 若事件A与事件B相互独立，则事件A与 、 与B以及 与 也相互独立。BABA医药数理统计方法 1.312121112312321211212()() (),()() (),()() ()(),()() () (),()() ()(),nnnnnnnnnnnnP A AP
20、A P AP AAP AP AP A A AP A P AAP AAAP AP AP AP A AAP A P AP A4、定义1.712,nA AA设为n个随机事件，若下列各式成立：则称事件 相互独立。12,nA AA医药数理统计方法 1.3例1.30 三个人独立地破译一个密码，他们每个人能够破译的概率分别为0.2，0.3，0.5，求此密码被破译的概率。解：设事件 =第i个人能够破译密码，则所求概率为iA123123123123()1()1()1() () ()10.8 0.70.50.72P AAAP AAAP A A AP A P AP A 医药数理统计方法 1.3例1.31 假如每个人
21、血清中含有肝炎病毒的概率为0.004，混合100个人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。解：设事件 =第i个人的血清中含有肝炎病毒，i=1，2，100。由题意知，每个人的血清中是否含有肝炎病毒是相互独立的，则所求概率为iA12100121001210012100100()1()1()1() ()()1(0.996)0.3302P AAAP AAAP A AAP A P AP A 医药数理统计方法 1.41.4 全概率公式和逆概率公式一、全概率公式二、逆概率公式医药数理统计方法 1.4 计算一个复杂事件的概率，先把复杂事件分解为若干个简单事件的和，再计算出各简单事件的概率，然后利用概率的加法公
22、式计算出复杂事件的概率，这是计算复杂事件概率的一种常用方法。医药数理统计方法 1.4例1.32 有3个外形完全相同的袋子，在第1个袋子中装有2个白球、1个红球；在第2个袋子中装有3个白球、1个红球；在第3个袋子中装有2个白球、2个红球。先随机地挑选一个袋子，然后再从袋子中任意摸取一球，试求取到白球的概率。一、全概率公式Th1.7 设事件组A1,A2,.,An 是样本空间的一个剖分，则对任意的事件B，有()iiA PAni=1P(B)=P()B医药数理统计方法 1.4医药数理统计方法 1.4例1.33 星星制药厂有三个制药车间生产同一种药品的片剂，其中有50的片剂由第一车间生产，有25的片剂由第
23、二车间生产，另外25的片剂则由第三车间生产。已知第一、第二车间生产的产品中有 2的次品，第三车间生产的产品中有 4的次品。（1）如果从星星制药厂生产的全部片剂中任意抽取一份产品，其为次品的概率是多少？医药数理统计方法 1.4分析：设事件 =该药品来自第i个车间，i=1，2，3，B=抽取的药品是次品 。iA123123112233123123123112233(),()50%2%25%2%25%4% 2.5%BBB AAAA BA BA BA BAA BAA BAA AAA BA BA BA BA BA BAPAAAAA 而两两互斥P(B)=P()=P()+P()+P()=P()B+P()P(B
24、)+P()P(B)=（1）求P(B)医药数理统计方法 1.4解：设事件 =该药品来自第i个车间，i=1，2，3，B=抽取的药品是次品，则 iA()50%2%25%2%25%4%2.5%iiAPA3i=1P(B)=P()B=（1）由全概率公式得例1.3312312350%25%25%()2%, ()2%, ()4%AAAPAPAPAP()=，P()=，P()=，BBB医药数理统计方法 1.4例1.33 星星制药厂有三个制药车间生产同一种药品的片剂，其中有50的片剂由第一车间生产，有25的片剂由第二车间生产，另外25的片剂则由第三车间生产。已知第一、第二车间生产的产品中有 2的次品，第三车间生产的
25、产品中有 4的次品。（1）如果从星星制药厂生产的全部片剂中任意抽取一份产品，其为次品的概率是多少？（2 2）若已知取出的这一份产品是次品，则该）若已知取出的这一份产品是次品，则该次品来源于第一、第二、第三个车间的概率是次品来源于第一、第二、第三个车间的概率是多少？多少？医药数理统计方法 1.4（2）求P(A1|B)、P(A2|B)、P(A3|B)111122223333213() ()()50% 2%2()( )( )2.5%5() ()()25% 2%1()( )( )2.5%5() ()()25% 4%2()( )( )2.5%5()()()P A P B AP A BP A BP BP
26、BP A P B AP A BP A BP BP BP A P B AP A BP A BP BP BP A BP A BP A B所以取出的次品最不可能来自第二车间。医药数理统计方法 1.4二、逆概率公式Th1.8 设事件组A1,A2,.,An 是一个完备事件组，则对任意的事件B，有()()()()iiiiiiA PAP A BP AA PAni=1P()BB=P(B)P()B医药数理统计方法 1.4（2）由逆概率公式得111123213() ()()50%2%2()( )( )2.5%512()()55()()()P A P B AP A BP A BP BP BP A BP A BP A
27、 BP A BP A B同理可得，所以取出的次品最不可能来自第二车间。医药数理统计方法 1.4例1.34 华东医药公司将其订货单按地区来源分为四组，他们分别来自东部、南部、西部和中部。同时，该公司又将所有货物分为易碎品和非易碎品两种。已知各地区的订单占全部订单的百分比以及各地区订单中易碎品所占比例见下表。现从所有订单中任取一张，发现它是易碎品订单，试问这一订单来自东部地区的概率是多少？地区订单百分比易碎品订单百分比东部3025南部4010西部205中部103医药数理统计方法 1.4解：设事件 =订单来自东部， =订单来自南部， =订单来自西部， =订单来自中部，B=抽得易碎品订单，则 1234
28、123430%40%20%10%()25%, () 10%, ()5%, ()3%AAAAPAPAPAPAP( )=，P()=，P()=，P()=BBBB由逆概率公式得111141() ()()75()0.5859( )128() ()iiiP A P B AP A BP A BP BP A P B A1A3A2A4A医药数理统计方法 1.4例1.35 癌症的早期诊断、治疗是提高疗效的关键。近年来，甲胎蛋白免疫检测法(简称AFP法)被普遍应用于肝癌的普查和诊断。 设 A=肝癌患者，B=AFP检验反应为阳性 ；且已知 AFP检测方法的真阳性率 P(B|A)=0.94，假阳性率 P(B| )=0.
29、04，在人群中肝癌的发病率P(A)=0.0004；今有一人 AFP 检测结果为阳性，现问该人患肝癌的可能性有多大？A医药数理统计方法 1.4解：由逆概率公式得( ) ()()()( )( ) ()( ) ()0.00040.940.00040.940.99960.040.93%P A P B AP ABP A BP BPP B APP B AAA医药数理统计方法 1.4问题1 虽然此检验方法很精确。 真阳性率(又称检验方法的灵敏性) P(B|A)=0.94 真阴性率(又称检验方法的特异性) P( | )=0.96 两者都很高，且诊断价值(|)0.9423.50.04(|)P B ALRP B
30、A也很高（一般诊断价值 LR20就认为是高的），但 P(A|B) 值却不大，为什么？AB因为发病率P(A)=0.0004，大大小于检测方法的错误率 P(B| )=0.04 P( |A)=0.06。 AB医药数理统计方法 1.4问题2 有人认为此方法无效，不足以作出判断。也就是讲：一次检验所提供的信息还不足以作出判断，怎么办？AFPi1,2,iBn假设第i次检验结果为阳性 ，12123()18.10%()83.85%P A B BP A B B B这就是为什么对稀有病例的检查，一般都须做三次。进行独立地复查，即可作出进一步的判断。内容小结内容小结1随机事件的关系和运算2概率定义3概率基本运算法则4事件的独立性5全概、逆概 医药数理统计方法 Ch178 结束语结束语