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1、2主要内容5.1 时间序列分析方法的特点与平稳性的提出时间序列分析方法的特点与平稳性的提出5.2 重要的时间序列重要的时间序列5.3 时间序列的平稳性检验时间序列的平稳性检验5.4 一元时间序列分析方法的应用一元时间序列分析方法的应用95.2.2 一阶自回归过程vAR(1)：Xt=1Xt-1+t，v其中，t为白噪声，E (t)=0, var(t)=12212121:11()0, var()11cov(,)1ttktt kE XXXX可以证明时，210v若能确定若能确定 , 即随机过程即随机过程X t是平稳的是平稳的AR(1)过程过程时时, 可直接用最小二乘法可直接用最小二乘法, 求出系数求出系
2、数1的估计值的估计值, 并并且可以应用传统的且可以应用传统的 t 检验或检验或 F 检验检验.vAR(1)过程可扩展为过程可扩展为p阶自回归过程阶自回归过程,记为记为AR(p). 模型表示为模型表示为: X t=1X t-1+ 2X t-2 +pX t-p + t11115.2.3 趋势平稳过程v许多时间序列数据，特别是宏观经济数据，常常显许多时间序列数据，特别是宏观经济数据，常常显示出明显的时间趋势，如示出明显的时间趋势，如GNP大致随时间递增，这大致随时间递增，这种趋势特征可归结为技术进步、劳动力及其素质的种趋势特征可归结为技术进步、劳动力及其素质的增长等。增长等。v非平稳过程非平稳过程2
3、2, ( )( )(), var()tttttttXtE e= 0,var e=E XtX其中，为白噪声，且12v可见可见, 序列的期望值是时间序列的期望值是时间t 的函数。根据定的函数。根据定义义, 序列为非平稳时间序列。之所以称之为序列为非平稳时间序列。之所以称之为趋势平稳，是因为模型中趋势平稳，是因为模型中Xt 减掉趋势项减掉趋势项 + t后，是一个平稳过程。可以证明该模型满足后，是一个平稳过程。可以证明该模型满足经典回归假设，用普通最小二乘法对参数经典回归假设，用普通最小二乘法对参数 和和 进行回归及检验都是有效的或渐进有效进行回归及检验都是有效的或渐进有效的。的。135.2.4 随机
4、游走过程v非平稳过程非平稳过程v可见可见, 随机游走过程的方差随时间推移而变随机游走过程的方差随时间推移而变得越来越大。得越来越大。2211)var()var(0)(, 2 , 1,tXXEtXXttttttttt为白噪声其中，14v含位移项的随机游走过程含位移项的随机游走过程102()var()tttttXXE XXtXttttXtX1v同时含趋势项和位移项的随机游走过程同时含趋势项和位移项的随机游走过程15v趋势平稳过程及带位移项的随机游走过程，趋势平稳过程及带位移项的随机游走过程，期望值都是时间期望值都是时间t的函数，即序列的走势都包的函数，即序列的走势都包含了确定的时间趋势。含了确定的
5、时间趋势。v其背后的其背后的统计意义统计意义和和经济意义经济意义不同：不同： 对于趋势平稳过程，对于趋势平稳过程，t时刻的干扰项只对序列时刻的干扰项只对序列值值Xt 产生影响；产生影响； 对于随机游走过程，则序列值对于随机游走过程，则序列值Xt 除受除受t时刻的时刻的干扰项干扰项 t 影响之外，前期的干扰项都对其发影响之外，前期的干扰项都对其发生作用。生作用。165.2.5 单位根过程v非平稳过程非平稳过程v单位根过程只要求干扰项为一平稳过程，不要求不单位根过程只要求干扰项为一平稳过程，不要求不同时点的协方差为同时点的协方差为0。v随机游走过程是单位根过程的一个特例。随机游走过程是单位根过程的
6、一个特例。v单位根过程经过一阶差分后，为平稳序列，即单位单位根过程经过一阶差分后，为平稳序列，即单位根过程为一阶单整。如果一个序列在成为稳定序列根过程为一阶单整。如果一个序列在成为稳定序列之前必须经过之前必须经过d次差分，则该序列被称为次差分，则该序列被称为d 阶单整。阶单整。1,1,2, E,cov( ,),1,2,tttttttt kkXXu tuuuu uk 2其中，为一平稳过程且 ()=0,var()=17金融相关点5-1v经济周期与冲击的持久性185.3 时间序列的平稳性检验5.3.1 利用自相关函数及相关图进行平稳性检验利用自相关函数及相关图进行平稳性检验v自相关函数（自相关函数（
7、ACF, auto correlation functions）反映序列两个相邻数据点之间存在多大程度的相反映序列两个相邻数据点之间存在多大程度的相关性。关性。v间隔间隔k期的数据点之间的相关系数，称为期的数据点之间的相关系数，称为k阶自相阶自相关系数关系数, 记为记为 ktt kktt kCov XXVar X Var X,19v往往表现为往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数比较时对应的一阶样本自相关函数比较高，然后随着高，然后随着k的增加而下降。的增加而下降。211()()/()n knktt ktttxxxxxxv样本的自相关函数样本的自相关函数(ACF)： k为第k个自相关系数。
8、显然1k并且任意过程的并且任意过程的0阶自相关系数阶自相关系数 0=120以以k为横坐标、为横坐标、 为纵坐标，描绘出为纵坐标，描绘出 对阶数对阶数k的关的关系图形，称为样本相关图。系图形，称为样本相关图。v往往表现为往往表现为k=1时对应的一阶样本自相关函数时对应的一阶样本自相关函数 比比较高，然后随着较高，然后随着k的增加，的增加， 下降。下降。kk1k21v对于对于p阶自回归过程，当阶自回归过程，当kp时，偏相关系数时，偏相关系数不为不为0；当；当kp时，偏相关系数为时，偏相关系数为0，即截尾，即截尾特征。特征。前回归系数的估计值。用最小二乘法求出的kttktkktktktXXXXX,2
9、211v偏自相关函数偏自相关函数(Partial Autocorrelation Function, PACF)：22v检验时间序列是否平稳的简单办法是考察样本自相检验时间序列是否平稳的简单办法是考察样本自相关函数的变化。关函数的变化。v平稳时间序列的样本自相关函数随着阶数的增加而平稳时间序列的样本自相关函数随着阶数的增加而迅速下降为迅速下降为0，非平稳时间序列的自相关函数则衰，非平稳时间序列的自相关函数则衰减得十分缓慢。减得十分缓慢。v可以证明，如果总体可以证明，如果总体 Xt 服从标准正态分布，则服从标准正态分布，则k阶阶自相关函数的样本估计近似服从均值为自相关函数的样本估计近似服从均值为
10、0，方差为，方差为1/T的正态分布，的正态分布，T为时间序列的样本容量。为时间序列的样本容量。23vBox-Pierce-Q统计量，统计量，v或或Ljung-Box统计量，统计量，v可以证明，这两个统计量均近似服从于自由可以证明，这两个统计量均近似服从于自由度为度为k的的 2分布。分布。21kkiiQT21(2)kikiQT TTi 24vQ检验统计量可以检验某一时间序列其检验统计量可以检验某一时间序列其1至至k阶的自阶的自相关函数相关函数 是否同时为是否同时为0的联合假设，的联合假设，即零假设：即零假设： 备选假设为备选假设为 中至少有一个显著不为零。这一方法可用于对白中至少有一个显著不为零
11、。这一方法可用于对白噪声过程的近似检验。噪声过程的近似检验。v由于白噪声过程的任意阶自相关函数为由于白噪声过程的任意阶自相关函数为0，为此可，为此可以设定一较大的滞后阶数，如以设定一较大的滞后阶数，如k=20，按公式计算，按公式计算出统计量出统计量 若计算出的统计量若计算出的统计量 大大于显著性水平为于显著性水平为 自由度为自由度为20的的 分布的临界值，分布的临界值，即拒绝原假设，意味着对应的序列不是白噪声过即拒绝原假设，意味着对应的序列不是白噪声过程，反之，则接受原假设。程，反之，则接受原假设。 120k2120k120k2020QQ或2020QQ或25v许多计量经济软件在给出自相关函数和
12、许多计量经济软件在给出自相关函数和Q统计量之统计量之外，还会给出偏自相关函数外，还会给出偏自相关函数PACF，可以加以利用，可以加以利用来辅助判断自回归阶数。来辅助判断自回归阶数。v与自相关函数的样本估计与自相关函数的样本估计 的分布相同，在自的分布相同，在自回归过程阶数为回归过程阶数为p的假设条件下，的假设条件下，p+1以及更高阶偏以及更高阶偏自相关函数估计量自相关函数估计量 （kp）近似的服从均值为）近似的服从均值为0，方差为，方差为1/T的正态分布。的正态分布。kkk26实证案例5-1v上证A股指数的自相关函数及自相关图275.3.2 时间序列平稳性的单位根检验时间序列平稳性的单位根检验
13、（unit root test）问题的提出问题的提出迪克福勒方法（迪克福勒方法（DF检验）检验）增广的迪克福勒方法（增广的迪克福勒方法（ADF检验）检验）菲利普斯配荣方法（菲利普斯配荣方法（PP检验）检验）总结总结28问题的提出v时间序列平稳性检验的重要性时间序列平稳性检验的重要性v对于一阶自回归过程对于一阶自回归过程 =1 ：随机游走过程，非平稳；：随机游走过程，非平稳； | | 相应临界值，接受 ，序列非平稳； DF统计量相应临界值，拒绝 ，序列平稳。0H0Hv若DF检验表明序列非平稳，且至少为一阶单整，则进一步对序列的一阶差分序列重复以上的检验过程。32迪克福勒方法（DF检验）v实际应用
14、 回归式可写成 其中 此时： DF统计量： 和 （Eviews软件中给出的检验统计量）v实证案例 ：上证指数的DF检验v 在情况一下分别对水平序列和一阶差分序列进行检验 注：Eviews软件中给出的临界值称为麦金农临界值 （Mackinnon critical value），是麦金农教授用模拟 方法计算所得。tttXX11tttXXX0:0H0:1HT/ 33迪克福勒方法（DF检验）情况二v真实的数据产生过程：v回归模型：vDF统计量计算方法与判断规则与情况1相同，临界值见相应附表。TtXXttt, 3 , 2 , 1,1tttXX11:0H1:1H34迪克福勒方法（DF检验）v对于联合假设联
15、合假设，v可用OLS计算F统计量v v 其中 和 分别为有约束的和无约束的残差平方和，v 此时对应的临界值不是标准的F分布表，也是极限分布的模拟计算值，见附表7。v判断：若大于临界值，则拒绝零假设，序列平稳。v 在Eviews软件中给出F统计量及其p值。0, 1:0H0, 1:1H)2/(2/ )(222TRRRF2R2R35迪克福勒方法（DF检验）v与情况一类似，回归模型也可变为v v 此时假设变为v F检验的联合假设v DF统计量也相应地变化。v实例tttXX10:0H0:1H0, 0:0H0, 0:1H36迪克福勒方法（DF检验）情况三v真实的数据产生过程：v回归模型：v假设：vF检验的
16、联合假设：v与前两种情况类似，回归模型可变为v 零假设和DF统计量也发生相应变化。实例0;1tttXXTttXXttt, 3 , 2 , 1,11:0H1:1H0, 1:0H0, 1:0HttttXX137增广的迪克福勒检验(ADF检验)v原理：在上述原理：在上述DF检验的三种情况中，假定干扰检验的三种情况中，假定干扰项为白噪声，无序列相关；项为白噪声，无序列相关；v 如果放松这一假设，允许其序列相关，在原如果放松这一假设，允许其序列相关，在原DF方法中加入滞后的自回归项，可消除模型中可能方法中加入滞后的自回归项，可消除模型中可能存在的序列相关给估计值带来的有偏的影响，即存在的序列相关给估计值
17、带来的有偏的影响，即为为ADF检验。检验。38增广的迪克福勒检验(ADF检验)情况一v回归模型：v假设：v v 统计量v 统计量临界值分布见附表，判断规则同DF检验。tptpttttXXXXX221111:0H1:1HpT1) 1(21/ ) 1( 39增广的迪克福勒检验(ADF检验)v同样，模型也可变为v 此时零假设：v 统计量变为v实例。 tptpttttXXXXX221110:0H/ 40增广的迪克福勒检验(ADF检验)情况二v回归模型v假设vF检验的联合假设vADF统计量和F统计量临界值见附表。v同样，模型也可变为 tptpttttXXXXX221111:0H1:1H0, 1:0H0,
18、 1:1HtptpttttXXXXX2211141增广的迪克福勒检验(ADF检验)情况三v回归模型v假设vF检验的联合假设v同样模型可变为 tptpttttXXXtXX221111:0H1:1H0, 1:0H0, 1:1HtptpttttXXXtXX2211142增广的迪克福勒检验(ADF检验)v注：注：ADF检验中滞后差分项的个数检验中滞后差分项的个数 p 的选择应在尽的选择应在尽量小的情况下，消除干扰项中存在的自相关。当量小的情况下，消除干扰项中存在的自相关。当p取某个值时，取某个值时，ADF回归式中回归式中DW统计量较低，则说统计量较低，则说明存在自相关，此时应增加明存在自相关，此时应增
19、加p值，直至干扰项的自值，直至干扰项的自相关消失。另外，在进行相关消失。另外，在进行DF检验时，若发现残差项检验时，若发现残差项存在自相关，则应进行相应模型的存在自相关，则应进行相应模型的ADF检验。检验。43菲利普斯配荣检验(PP检验)vPP检验针对的是回归模型的干扰项存在异方差或序检验针对的是回归模型的干扰项存在异方差或序列相关的现象。列相关的现象。v回归模型的三种情况及检验规则与回归模型的三种情况及检验规则与DF检验相同检验相同v 情况一：情况一：v 情况二：情况二： 情况三：情况三：TtXXttt, 3 , 2 , 1,1TtXXttt, 3 , 2 , 1,1TttXXttt, 3
20、, 2 , 1,144菲利普斯配荣检验(PP检验)vPP检验统计量的计算是在DF检验统计量的形式上加以修正。与DF 统计量对应的是PP的 统计量Z ，与DF 统计量对应的是PP的 统计量Z 。临界值分布表与DF检验对应情况的分布表一样。在Eviews软件中给出了对应的临界值。v实例45总结v对三种检验方法的小结对三种检验方法的小结vDF检验、检验、ADF检验和检验和PP检验都是基于检验都是基于 统计量和统计量和 统计量的极限分布。统计量的极限分布。vDF方法适用于干扰项为白噪声过程的情况，方法适用于干扰项为白噪声过程的情况，ADF与与PP方法分别适用于干扰项存在序列相关以及异方法分别适用于干扰
21、项存在序列相关以及异方差的情况。方差的情况。在在ADF和和PP方法之间不存在一般的选择原则。在方法之间不存在一般的选择原则。在实际中，常根据模型的结构选择。如果在模型中包实际中，常根据模型的结构选择。如果在模型中包含滞后差分项，用含滞后差分项，用ADF较合理，如果模型只描述了较合理，如果模型只描述了 Xt和和Xt-1的关系，对随机干扰项只作了较一般的假的关系，对随机干扰项只作了较一般的假设，则可选用设，则可选用PP方法。方法。46总结v对三种回归模型的选择对三种回归模型的选择 一般地，如果待检验序列在一般地，如果待检验序列在0均值上下波动，则应均值上下波动，则应选择情况一的回归模型，如果序列具
22、有非零均值，则选择情况一的回归模型，如果序列具有非零均值，则应采用情况二的模型（包含位移项），如果序列有明应采用情况二的模型（包含位移项），如果序列有明显的时间趋势，则可采用情况三（包含位移项和趋势显的时间趋势，则可采用情况三（包含位移项和趋势项）。另外，还要从经济学的角度考虑数据生成过程项）。另外，还要从经济学的角度考虑数据生成过程可能有的形式，如果在经济意义上得不出明确的结论，可能有的形式，如果在经济意义上得不出明确的结论，则应采用较为一般的回归模型进行单位根检验。则应采用较为一般的回归模型进行单位根检验。475.4 一元时间序列分析方法的应用：市场弱式有效假说的检验v市场弱式有效，指现行
23、的股票价格已经充分反应了历史交易数据所蕴含的信息，即在t时刻的股票价格包含了t时刻及以前的所有信息。而t到t+1时刻的新信息是随机的，因此t+1时刻的价格等于t时刻的股价水平加上一个随机扰动项，即： 为白噪声过程11tttPP1t48v由于弱式有效市场假说强调证券价格的变化是一个随机的、不可预测的过程，因此无法用过去的股价来预测未来的股价，对于该假说的检验通常用下面的两个方面着手进行： （1）以价格为研究对象检验独立性 （2）以收益率为研究对象检验独立性 495.4.1 直接以价格为研究对象检验独立性v从统计检验的角度看，就是看股价序列在不同时点是否存在自相关性，如果存在自相关性，那么过去的股
24、价就对未来的股价有影响，存在这种股价序列的市场就不是弱式有效市场。v对股票价格序列相关性检验又可分为三种方法：50方法一：计算并检验相隔k期的股价的自相关系数v相隔k期的股价的自相关系数 v依次检验零假设 ，k=1，2，m v当 时，接受零假设，即 显著为0；否则拒绝原假设，认为前后期股价存在相关性，市场不符合弱式有效的特征。121()()()TkttktkTttPPPPPP0:0kH22kTTk51v方法二：建立股价序列自回归模型，检验系数的显方法二：建立股价序列自回归模型，检验系数的显著性著性 如建立如建立m阶自回归模型：阶自回归模型： 若市场是弱式有效的，则股价未来价格与历史价格若市场是
25、弱式有效的，则股价未来价格与历史价格不存在相关性，也就是说上式中的参数与零相比不不存在相关性，也就是说上式中的参数与零相比不应该有统计意义上的显著性。应该有统计意义上的显著性。v方法三：价格序列进行单位根检验，判断是否符合方法三：价格序列进行单位根检验，判断是否符合随机游走随机游走 若市场是弱式有效的，则股价序列若市场是弱式有效的，则股价序列 呈随机游走特呈随机游走特征，也就是说征，也就是说 为一阶单整过程。为一阶单整过程。1122tttm t mtPPPP tPtP52 例证：以2004年上证指数的日收盘价为研究对象验证上海股市的弱式有效性 1）用自相关模型）用自相关模型 我们得到的自相关模
26、型参数估计值为： 从上表看出，在显著水平为0.05时，2004年上证指数基本上不存在显著的自相关性，这表明上海股票市场基本上具备了弱式有效性。名称滞后1天滞后2天滞后3天上证指数0.034632-0.000731 0.04666153具体操作：v打开EVIEWS软件，打开建好的工作文件v然后打开需要的时间序列v点击时间序列窗口上的“Quick”v在下拉菜单中选取“Equation Specification”v在弹出的窗口中输入： “DP=C(1)*DP(-1)+C(2)*DP(-2)+C(3)*DP(-3)”v回车即可54 2）用单位根检验）用单位根检验 我们用单位根检验，得到的水平序列与一
27、阶差分序列的ADF值如下表： 上证指数序列的单位根检验结果表明，在10、5和1的显著性水平下，ADF值大于所有的临界值，也就是说上证指数存在单位根。我们进一步对一阶差分序列进行ADF检验，ADF值小于所有的临界值，因此认为一阶差分序列是平稳的。由这两个检验得出上证指数是一阶单整，这表明上海股票市场达到了弱式有效。变量ADF1%5%10%D.W水平序列-1.0368-2.5742 -1.9410 -1.61642.0064一阶差分序列 -10. 627 -2.5743 -1.9410 -1.61641.999755具体操作：v打开EVIEWS软件，打开建好的工作文件v然后打开需要的时间序列v点击
28、时间序列窗口上的“View”v在下拉菜单中选取“Unit Root Test”v在弹出的窗口中选择合适的参数，回车即可565.4.2 以收益率为研究对象检验独立性以收益率为研究对象检验独立性v除了对股票价格或股票指数本身进行检验外，还可对扰动项 进行相关性检验，如果 与 之间存在相关性，则表明 和 之间存在相关性，这样我们就可用过去的价格来预测未来价格变化。 v根据百分比收益率序列与对数形式收益率之间的关系： v我们对股票市场弱式有效的检验，可以将对价格序列的序列相关检验转化为对收益率序列的相关检验。如果市场弱式有效，则 与 无关。检验方法与以价格为研究对象相似。1t1t1111lnlnln1
29、()tttttttttPPPPPPPRPt1ttPP1ttPP1tRtR57 我们同样以2004年上证综合指数的日收益率(lnclose)序列数据为例，检验AR（3）模型，得到的自回归结果如下表： 该表显示，在显著性水平0.05下不拒绝零假设，即自回归模型中的系数为零，2004年股票价格波动基本上服从随机游走模型，市场达到弱式有效。系数P值滞后1期-0.0088400.8912滞后2期-0.0161280.8003滞后3期0.1094730.086458具体操作：v打开EVIEWS软件，打开建好的工作文件v然后打开需要的时间序列v点击时间序列窗口上的“Quick”v在下拉菜单中选取“Equation Specification”v在弹出的窗口中输入“inclose ar(1) ar(2) ar(3)”，回车即可595.4.3 中国股市弱式有效的实证研究总结 从书中的文献汇总表中可见，中国股市弱式有效的实证检验从1994年起，到2002年基本结束，这其中的文献研究结论各不相同，但从总体来看：v1998年及以前的中国股票市场基本上不是弱式有效的；v1998年到2002年基本达到弱式有效市场但存在争议性；v2002年以后理论界基本赞同中国股市的弱式有效。60 结束语结束语