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1、第第2节节 确定性存储模型确定性存储模型2.1 模型一：不允许缺货，备货时间很短模型一：不允许缺货，备货时间很短 假设： (1) 缺货费用无穷大； (2) 当存储降至零时，可以立即得到补充(即备货时间或拖后时间很短，可以近似地看作零)； (3) 需求是连续的、均匀的，设需求速度R(单位时间的需求量)为常数，则t时间的需求量为Rt； (4) 每次订货量不变，订购费不变(每次备货量不变，装配费不变)； (5) 单位存储费不变。 这些假设条件只是近似的正确， 分析模型一 其存储量的变化 情况用图13-3表示 假定每隔t时间补充一次存储，那么订货量必须满足t时间的需求Rt，记订货量为Q，Q=Rt，订购
2、费为C3，货物单价为K，则订货费为C3+KRt；t时间的平均订货费为 t 时间内的平均存储量为(此结果由图13-3中利用几何知识易得出，平均存储量为三角形高的二分之一)单位时间内单位物品的存储费用为C1，t 时间内所需平均存储费用为1/2 (RtC1）。t 时间内总的平均费用为C(t） 只需对(13-1)式利用微积分求最小值的方法可求出。0RC21tCdt) t (dC123令：)213(RC2Ct130得：经济批量公式因得即存储论中著名的经济订购批量(economic ordering quantity)公式。简称为E.O.Q公式，也称平方根公式，或经济批量(economic lot siz
3、e)公式。 由于Q0、t0皆与K无关，所以此后在费用函数中略去K、R这项费用。如无特殊需要不再考虑此项费用， (13-1)式改写为最佳费用公式将t 0代入(13-4)式得出最佳费用从费用曲线(见图13-4)也可以求出t0，Q0，C0。费用曲线RtC211存贮费用曲线)1-13(RtC21tC) t (C13总费用曲线费用曲线费用曲线C(t)曲线的最低点(min C(t)的横坐标t0与存储费用曲线、订购费用曲线交点横坐标相同。即(13-2)式，(13-3)式，(13-4)式与(13-2)式，(13-3)式，(13-5)式一致。 解出t 0 ， 例例1 某厂按合同每年需提供D个产品，不许缺货。假设
4、每一周期工厂需装配费C3元，存储费每年每单位产品为C1元，问全年应分几批供货才能使装配费，存储费两者之和最少。 解 设全年分n批供货，每批生产量Q=D/n，周期为1/n年(即每隔1/n年供货一次)。公式公式说明说明 从例1中还看到这些公式在实际应用时还会有一点问题，因为t0(或Q0，n0)不一定是整数。假设t0=16.235(天)。很明显，小数点后面的数字对实际订货间隔的时间是没有意义的，这时可以取近似的整数。取t016或t017都可以。 为了精确起见，可以比较C(16)、C(17)的大小，再决定t0=16或t0=17。 从图13-4也可以看到C(t)在t0附近变化平稳，t有变化时C(t)变化
5、不大。利用数学分析方法可以证明当t在t0点有增量t时， 总费用的增量。 即当t0时，C是t的高阶无穷小量。 (证明的方法可参考微积分台劳公式部分)例例2 某轧钢厂每月按计划需产角钢3000吨，每吨每月需存储费5.3元，每次生产需调整机器设备等，共需准备费25000元。 若该厂每月生产角钢一次，生产批量为3000吨。 每月需总费用 5.31/23000+25000=10450(元/月) 全年需费用 1045012=125400(元/年) 然后按E.O.Q公式计算每次生产批量计算批量和批次)(16825.3300025002C)(D)(C2Q130吨（存储费）需求速度装配费计算需要的数据计算需要的
6、数据 两次生产相隔的时间t0=（365/21.4）17(天) 17天的单位存储费(5.3/30)17=3.00(元/吨)， 共需费用5.3/30171682+25005025(元)。 按全年生产21.5次(两年生产43次)计算，全年共需费用502521.5=108037(元/年)。 两者相比较，该厂在利用E.O.Q公式求出经济批量进行生产即可每年节约资金 125400 108037=17363(元)2.2 模型二：不允许缺货，生产需一定时间模型二：不允许缺货，生产需一定时间 本模型的假设条件，除生产需要一定时间的条件外，其余皆与模型一的相同。 设生产批量为Q，所需生产时间为T，则生产速度为P=
7、Q/T。 已知需求速度为R，(RP)。生产的产品一部分满足需求，剩余部分才作为存储，这时存储变化如图13-5所示。图图13-5 在0，T区间内，存储以(P-R)速度增加，在T，t区间内存储以速度R减少。 T与t皆为待定数。从图13-5易知(P-R)T=R(t-T)，即PT=Rt(等式表示以速度P生产T时间的产品等于t时间内的需求)，并求出 公式公式公式公式公式例例3 某厂每月需甲产品100件，每月生产率为500件，每批装配费为50元，每月每件产品存储费为4元，求E.O.Q及最低费用。 解解 已知C3=50，C1=4，P=500，R=100，将各值代入公式(13-7)及(13-8)得例例4 某商
8、店经售甲商品成本单价某商店经售甲商品成本单价500元，年存元，年存储费用为成本的储费用为成本的20%，年需求量，年需求量365件，需求件，需求速度为常数。甲商品的定购费为速度为常数。甲商品的定购费为20元，提前元，提前期为期为10天，求天，求E.O.Q及最低费用。及最低费用。 解解 此例题从表面上看，似乎应按模型二处理。因为拖后时间似乎与生产需一定时间意义差不多。其实不然，现将本题存储变化情况用图表示之(见图13-6)，并与模型一、模型二的图相比较，可看到与模型一完全相同。本题只需在存储降至零时提前10天订货即可保证需求。图图13-6计算订货点订货点 由于提前期为t1=0天，10天内的需求为1
9、0单位甲商品，因此只要当存储降至10单位时，就要订货。一般设t1为提前期，R为需求速度，当存储降至L=Rt1的时候即要订货。 L称为“订购点”(或称订货点)。 确定多少时间订一次货，虽可以用E.O.Q除以R得出to(to=Qo/R)，但求解的过程中并没有求出to，只求出订货点L即可，这时存储策略是：不考虑to，只要存储降至L即订货，订货量为Qo，称这种存储策略为定点定点定货定货。相对地每隔to时间订货一次称为定时订货定时订货，每次订货量不变则称为定量订货定量订货。2.3 模型三：允许缺货，备货时间很短模型三：允许缺货，备货时间很短 模型一、模型二是在不允许缺货的情况下推导出来的。本模型是允许缺
10、货，并把缺货损失定量化来加以研究。由于允许缺货，所以企业可以在存储降至零后，还可以再等一段时间然后订货。这就意味着企业可以少付几次订货的固定费用，少支付一些存储费用。一般地说当顾客遇到缺货时不受损失，或损失很小，而企业除支付少量的缺货费外也无其他损失，这时发生缺货现象可能对企业是有利的。本模型的假设条件除允许缺货外，其余条件皆与模型一相同。 设设 单位时间单位物品存储费用为C1，每次订购费为C3，缺货费为C2(单位缺货损失)，R为需求速度。求最佳存储策略，使平均总费用最小(见图13-7)。假设最初存储量为S 公式公式公式公式公式将(13-10)式，(13-11)式代入C(t,S)由于模型三中允
11、许缺货由于模型三中允许缺货在允许缺货情况下，存储量只需达到S0即可，显然Q0S0，它们的差值表示在to时间内的最大缺货量。)CC(CC2RC)CC(CCC2RCCCCCCCC2RC)CC(CC2RCCCCC2RCSQ21231212113212221132113222113oo说明说明 在允 许缺货条件下，经过研究而得出的存储策略是 ：每隔to时间订货一次，订货量为Qo，用Qo中的一部分补足所缺货物，剩余部分So进入存储。很明显，在相同的时间段落里，允许缺货的订货次数比不允许缺货时订货次数减少了。例例5 已知需求速度已知需求速度R=100件，件，C1=4元，元，C2=1.5元，元，C3=50元
12、，求元，求S0及及C0。 解解 利用(13-12)式，(13-13)式即可计算模型一、二、三存储策略之间的差别模型一、二、三存储策略之间的差别 可以看到不允许缺货生产需要时间很短条件下可以看到不允许缺货生产需要时间很短条件下得出的存储策略：最大存储量得出的存储策略：最大存储量S0=Q0在不允许缺货、生产需一定时间条件下，在不允许缺货、生产需一定时间条件下，得出存储策略得出存储策略式见最大存贮量)913(PRPCR2CS13o在允许缺货、生产需时间很短条件在允许缺货、生产需时间很短条件下，得出存储策略下，得出存储策略式可见最大存贮量)1213(CCCCR2CS21213o模型二、三只是以模型一的
13、存储策略乘上相应的因子，这样可以便于记忆，再有都是同一个数值，这样就得出它们之间的差别与内在联系。 2.4 模型四：允许缺货模型四：允许缺货(需补足缺货需补足缺货)、生产需一定时间生产需一定时间 假设条件除允许缺货生产需一定时间外，其余条件皆与模型一相同，其存储变化如图13-8所示 分析图分析图13-8 取0，t为一个周期，设t1时刻开始生产。 0,t2时间内存储为零，B表示最大缺货量。 t1,t2时间内除满足需求外，补足0,t1时间内的缺货。 t2,t3时间内满足需求后的产品进入存储，存储量以(P-R)速度增加。 S表示存储量，t3时刻存储量达到最大，t3时刻停止生产。 t3,t时间存储量以
14、需求速度 R 减少。由图由图13-8易知：易知： 最大缺货量最大缺货量B=Rt1，或，或 B=(P-R)(t2-t1)；即；即Rt1=(P-R)(t2-t1)，得，得)1513(tPRPt21最大存储量 S=(P-R)(t3 - t2)，或S=R(t - t3)即(P-R)(t3 - t2)=R(t - t3)，得在在0，t时间内所需费用：时间内所需费用： 存储费：存储费：将(13-16)式代入消去t 3，得 222tPR-PRC21在在0，t时间内所需费用：时间内所需费用： 缺货费： 将(13-15)式代入消去t 1，得 在在0，t时间内所需费用：时间内所需费用：装配费：装配费：C3 在在0
15、,t时间内总平时间内总平均费用为：均费用为：为了得到最佳公式，分别求偏导数：为了得到最佳公式，分别求偏导数： )1713(tC)tt)(CC(CPR)RP(21t)t , t (C232222112)1813(tt)CC(22C-PR)RP(21t)t , t (C221122推导 由(13-18)式得 ，由(13-17)式得 推导：将推导：将(13-19)式代入上式消去式代入上式消去t2得得由由(13-19)有有公式)2013(RPPCCCRC2Ct22113o)2113(RPPCCCCR2CRtQ22113ooS0(最大存储量最大存储量)B0(最大缺货量最大缺货量)2313(PRP)CC(
16、CRC2CtP)RP(RRtB221211o最小费用：最小费用： )2413(PRPCCCRC2CC)t ,t (Cmin2131o2o2.5 价格有折扣的存储问题价格有折扣的存储问题 现在介绍货物单价随订购(或生产)数量而变化时的存储策略。常见到一种商品有所谓零售价、批发价和出厂价，购买同一种商品的数量不同，商品单价也不同。一般情况下购买数量越多，商品单价越低。在少数情况下，某种商品限额供应，超过限额部分的商品单价要提高。 除去货物单价随订购数量而变化外，其余条件皆与模型一的假设相同时，应如何制定相应的存储策略? 。设货物单价为K(Q)，K(Q)按三个数量等级变化(见图13-9)当订购量为当
17、订购量为Q时，一个周期内所需费用时，一个周期内所需费用为：为：平均每单位货物所需费用平均每单位货物所需费用C(Q)(见图见图13-10)Q, 0(QKQCRQC21)Q(C1131I)Q,Q(QKQCRQC21)Q(C21231II2331IIIQQKQCRQC21)Q(C 如果不考虑C(Q)、C(Q)、C(Q)的定义域，它们之间只差一个常数，因此它们的导函数相同。为求极小，令导数为零，解得Q0，Q0落在哪一个区间，事先难以预计。假设Q1Q0Q2，这也不能肯定C(Q0)最小。图13-10的直观感觉启发我们考虑：是否C(Q2)的费用更小?设最佳订购批量为Q*，在给出价格有折扣情况下，求解步骤如下
18、 (1) 对C(Q)(不考虑定义域)求得极值点为Q0 (2) 若Q0Q1，计算： 由minC(Q0)，C(Q1)，C(Q2)得到单位货物最小费用的订购批量Q*。 例如min C(Q0)，C(Q1)，C(Q2) = C(Q1) ，则取Q*=Q1 (3) 若Q1Q0Q2，计算C(Q1)，C(Q2) 由min C(Q1)，C(Q2) 决定Q* (4) 若Q2 Q0，则取Q*=Q0。以上步骤易于推广到单价折扣分以上步骤易于推广到单价折扣分m个等个等级的情况。级的情况。 比如说订购量为比如说订购量为Q，其单价其单价K(Q)：对应的平均单位货物所需费用为：对应的平均单位货物所需费用为： 对C1(Q)求得极
19、值点为Q0， 若Qj-1 Q0Qj，求minCj(Q0),Cj+1(Qi)，Cm(Qm-1)， 设从此式得到的最小值为Cl(Ql-1)， 则取Q*=Ql-1例例6 某厂每年需某种元件某厂每年需某种元件5000个，每次个，每次订购费订购费C3=500元，保管费每件每年元，保管费每件每年C1=10元，不允许缺货。元件单价元，不允许缺货。元件单价K随采随采购数量不同而有变化。购数量不同而有变化。解解 利用利用E.O.Q公式计算，：公式计算，：)(21.4142070750050007071021707C元）（因为C(1500)C(707)知最佳订购量Q=1500分别计算每次订购分别计算每次订购707个和个和1500个元件个元件所需平均单位元件所需费用所需平均单位元件所需费用 在本章节中，由于订购批量不同，订货周期长短不一样，所以才利用平均单位货物所需费用比较优劣。当然也可以利用不同批量，计算其全年所需费用来比较优劣。 也有的折扣条件为 超过Q1部分(Q-Q1)才按K2计算货物单价。 如果K2K，显然是鼓励大量购买货物。在特殊情况下会出现K2K1，这时是利用价格的变化限制购货数量。本章节提供的方法稍加变化后可解决这类问题。