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1、专题 002：一元二次不等式及分式不等式的解法（师）考点要求：1会从实际情景中抽象出一元二次不等式模型2考查一元二次不等式的解法及其“三个二次”间的关系问题3以函数、导数为载体，考查不等式的参数范围问题4结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法5熟练掌握分式不等式、含绝对值不等式的解法知识结构1一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2bxc 0(a0)或 ax2bx c0(a0)(2)求出相应的一元二次方程的根(3)利用二次函数的图象与x 轴的交点确定一元二次不等式的解集2一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：判别式
2、 b24ac 0 0 0 二次函数yax2bxc (a0)的图象一元二次方程ax2bx c0 (a0)的根有两相异实根x1，x2(x1x2) 有两相等实根x1x2b2a没有实数根ax2bxc0 (a 0)的解集x|xx2或 xx1 x|xb2aRax2bxc0 (a 0)的解集x|x1xx2?说明：（1）一元二次不等式ax2bxc 0(a0)的解集的确定受a的符号、b24ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数yax2bxc(a0)的图象，数形结合求得不等式的解集若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2bxc0( 或 0)( 其中a0)的形式，其
3、对应的方程ax2bxc0有两个不等实根x1，x2，(x1x2)( 此时 b24ac0) ，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集（2） 1) 二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为零的情况；2) 解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏双基自测1不等式x23x20 的解集为 ( ) A( ， 2) ( 1， ) B( 2， 1) C( ， 1) (2 ， ) D(1,2) 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳
4、 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解析(x1)(x2) 0， 1x2. 故原不等式的解集为(1,2) 答案D 2(2011广东 ) 不等式 2x2x10 的解集是 ( ) A.12，1 B (1 ，)C(， 1)(2， ) D.，12(1， ) 解析 2x2x1(x1)(2x1)0， x1 或 x12. 故原不等式的解集为 ，12 (1， )答案D 3不等式9x2 6x1 0 的解集是 ()A. x|x13B.13C. x|13x13DR解析 9x26x 1(3x1)20， 9x26x10 的
5、解集为x|x13. 答案B 4若不等式ax2bx20 的解集为x| 2x14，则 ab()A 28 B 26 C28 D26 解析 x 2，14是方程 ax2bx20 的两根，2a 2 1412，ba74， a4， b7. ab28. 答案C 5不等式ax2 2ax10 对一切 xR 恒成立，则实数a 的取值范围为_解析当 a0 时，不等式为10 恒成立；当 a0 时，须a0， 0，即a0，4a24a0. 0a 1，综上 0a1. 答案0,1例题选讲：例 1：函数 f(x)2x2 x3log3(32xx2)的定义域为 _名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - -
6、 - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 解析依题意知2x2x 30，32xx20，解得x32或x1， 1x3. 1x3. 故函数 f(x)的定义域为 1,3)答案1,3) 总结：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式的符号； (3)若 0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若 0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集例 2：求不等式 12x2ax
7、a2(aR)的解集审题视点 先求方程 12x2 axa2的根，讨论根的大小，确定不等式的解集解12x2axa2， 12x2axa20，即(4xa)(3xa)0，令 (4xa)(3xa)0，得： x1a4，x2a3. a0 时，a4a3，解集为x|xa4或xa3；a0 时， x2 0，解集为 x|xR 且 x0；a0 时，a4a3，解集为x|xa3或xa4. 综上所述：当a0 时，不等式的解集为x|xa4或xa3；当 a0 时，不等式的解集为x|xR 且 x0 ；当 a0 时，不等式的解集为x|xa3或xa4. 总结： 解含参数的一元二次不等式的一般步骤：(1)二次项若含有参数应讨论是等于0，小
8、于 0，还是大于0，然后将不等式转化为二次项系数为正的形式(2)判断方程的根的个数，讨论判别式与 0 的关系(3)确定无根时可直接写出解集，确定方程有两个根时，要讨论两根的大小关系，从而确定解集形式例 3：已知不等式ax24x a12x2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围审题视点 化为标准形式ax2bxc0 后分 a0 与 a0 讨论当a0 时，有a0， b2 4ac0.解原不等式等价于(a2)x24xa10 对一切实数恒成立，显然a 2 时，解集不是R，因此 a 2，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 -
9、- - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 从而有a20， 424 a2 a1 0，整理，得a 2，a2 a3 0，所以a 2，a 3或a 2，所以 a2. 故 a 的取值范围是 (2， )总结： 不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当a0 时，b0，c0；当 a0 时，a0， 0；不等式 ax2bxc0 的解是全体实数(或恒成立 )的条件是当a0 时， b0，c0；当 a0 时，a0， 0.例 4：已知 f(x)x22ax2(a R)，当 x 1， )时， f(x)a 恒成立，求a 的取值范围解一
10、：f(x)(xa)22a2，此二次函数图象的对称轴为xa. 当 a(， 1)时， f(x)在1， )上单调递增，f(x)minf(1)2a3.要使 f(x)a 恒成立，只需 f(x)mina，即 2a3a，解得 3a 1；当 a1， )时， f(x)minf(a)2 a2，由 2a2a，解得 1a1. 综上所述，所求a 的取值范围为3,1解二：令 g(x)x22ax2a，由已知，得x2 2ax2a0 在1， )上恒成立，即 4a2 4(2a)0 或 0，a 1，g 1 0.解得 3a1. 所求 a 的取值范围是3,1例 5：.【2012 高考重庆文2】不等式102xx的解集是为（A）(1,)（
11、B）(, 2)（C） （ -2，1） （D）(, 2)(1,)【答案】 C【解析】原不等式等价于0)2)(1(xx即12x，所以不等式的解为)1 ,2(，选 C.例 6： 【2012 高考江西文11】不等式的解集是 _。【答案】)3()2, 3(，【解析】原不等式等价为02092xx或02092xx，即233xxx或或233xx，解得3x或23x，所以原不等式的解集为)3()2 ,3(，。名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - -
12、 - - - - - - 巩固作业：（要求例题讲解后完成，根据自己实际情况有针对性地选择完成）A 组：1 （2010 全国卷 2 理数） （5）不等式2601xxx的解集为（）（A）2,3x xx或 （ B）213x xx，或 （C）213xxx ，或（ D）2113xxx ，或 【答案】 C 【命题意图】本试题主要考察分式不等式与高次不等式的解法. 【解析】利用数轴穿根法解得-2x1 或 x3，故选 C 2.【 2012 高考湖南文12】不等式x2-5x+60 的解集为 _. 【答案】23xx【解析】由x2-5x+60，得(3)(2)0 xx，从而的不等式x2-5x+60 的解集为23xx.
13、 【点评】本题考查一元二次不等式的解法，考查简单的运算能力. 3. 【2102 高考福建文15】已知关于 x 的不等式 x2-ax2a0在 R上恒成立，则实数 a的取值范围是 _.【答案】)8,0(【解析】022aaxx恒成立0，即0242aa，易得80a. 4.(2011 上海理 ) 不等式13xx的解为0 x或12x。5、 （2011安徽文） 函数216yxx的定义域是. 解： （ 3,2） 【命题意图】本题考查函数的定义域，考查一元二次不等式的解法. 【解析】由260 xx可得260 xx，即+320 xx，所以32x. 6.函数)1(log221xy的定义域为2, 11, 27. 若不
14、等式02cbxx的解集是 13xxx或，则 b=_-2_ c=_-3_. 8.关于x的不等式axax210的解集是空集，那么a的取值区间是 0，4 9. 若关于 x 的不等式210,axaxa的解集为R，则a的取值范围是,010. 若不等式210 xqxpp的解集为|24xx，则实数p= . （答：2 2）11. 不等式 ax2+bx+c0 的解集为 x| x 其中 0，则不等式cx2+bx+a0 的解集是11|xxx或12. 若存在1,3 ,a使得不等式2220axax成立，则实数x的取值范围是213xx或13. 解不等式：名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - -
15、- - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - （1）23440 xx（2）213022xx（3）21322xxxx（4）2232142xx解： （1）原不等式化为23440 xx，解集为223x（2）原不等式化为2230 xx，解集为R （3）原不等式化为210 xx，解集为（4）由22222134210132224,1322250222xxxxxxxxxx得得得2121,6161xxx或(61,21)(21,61)x点拨：解一元二次不等式要注意二次项系数的符号、对应方程的判
16、断、以及对应方程两根大小的比较. B 组：1. 若 0a0 的解集是（ C ）A(a，1a) B(1a，a) C( ，a) (1a，+) D ( ，1a) (a，+)3. 若不等式20(0)axbxca的解集为，则下列结论中正确的是（C ）A. 20,40abac B. 20,40abacC. 20,40abac D.20,40abac4已知0232xxxA,axxB1,若AB,则实数a的取值范围是（D）A1,2B1,2C2,D2,5关于x的不等式022bxax的解集是)31,21(，则 ab 的值是（D）A-24 B 14 C14 D24 6.已知全集U=R,集合 A=x|37x,B=x|2
17、7100 xx,则CR()AB等于 ( B ) A.(3)(5)B.(3)5)C.(35)D.(3(5)7. 在实数集上定义运算：)1(yxyx，若不等式1)()(axax对任意实数x都成立， 则实数a的取值范围是（C ）()A.11 ，()B.20，()C)2321(，()D)2123(，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - 8. 设0a，解关于x的不等式：2(1)10.axax略解：111,|1
18、1,|1axxaxxaa当时解集为；当时解集为9解关于 x 的不等式 (1 ax)2 1. 解由(1ax)21，得 a2x22ax0，即 ax(ax2)0，当 a0 时， x?. 当 a0 时，由 ax(ax2)0，得 a2x x2a0，即 0 x2a. 当 a0 时，2ax0. 综上所述：当a0 时，不等式解集为空集；当a0 时，不等式解集为x 0 x2a；当a0 时，不等式解集为x2a x0 . 10. 已知函数y=(k2+4k5)x2+4(1 k)x+3 的图像都在x轴上方，求实数k的取值范围 . 略解：1, 19C 组：1. 设A=x|x2 +3k22k(2x1) ，B=x|x2(2x1)k+k20 且AB，试求k的取值范围 . 略解：0,1, 0名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -