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1、精品资料欢迎下载常微分方程模拟练习题及参考答案一、填空题（每个空格4 分，共 80 分）1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。2、一阶微分方程2dyxdx的通解为2yxC（ C为任意常数），方程与通过点（2，3）的特解为21yx，与直线y=2x+3 相切的解是24yx，满足条件303ydx的解为22yx。3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的必要条件。4、对方程2()dyxydx作变换uxy，可将其化为变量可分离方程，其通解为tan()yxCx。5、方程过点共有无数个解。6、方程21yx的通解为4212122xxyC xC，满足初始条件13|2,|5xxyy的
2、特解为421912264xxyx。7、方程无奇解。8、微分方程2260d ydyydxdx可化为一阶线性微分方程组6dyzdxdzzydx。9、方程的奇解是 y=0 。10、35323d ydyxdxdx是 3 阶常微分方程。11、方程22dyxydx满足解得存在唯一性定理条件的区域是xoy平面。12、微分方程22450d ydyydxdx通解为512xxyC eC e，该方程可化为一阶线性微分方程组45dyzdxdzzydx。21ddyxy)1,2(xxyxyddyxydd名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -
3、 - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载13、二阶线性齐次微分方程的两个解12( ),( )yxyx成为其基本解组的充要条件是线性无关。14、设1342A，则线性微分方程组dXAXdt有基解矩阵25253( )4tttteetee。二、解方程（每个小题8 分，共 120 分）1、答案：方程化为令，则，代入上式，得分离变量，积分，通解为 原方程通解为2、答案：特征方程为即。特征根为，对应特征向量应满足可确定出同样可算出对应的特征向量为 原方程组的通解为。3、答案：齐次方程的通解为令非齐次方程的特解为代入原
4、方程，确定出原方程的通解为+0dd)2(yxxyxxyxy21ddxuyxuxuxydddduxux1dd1CxuxCxy2yxtyyxtx4dddd01411EA032231120031413111ba2111ba122122battttCCyx2ee2ee2331xyxy2e3ddxCy3exxCy3e)(CxCx5e51)(xCy3ex2e51名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎
5、下载4、2xydydx；答案：2xydydx是一个变量分离方程变量分离得22yxdydx两边同时积分得22yxc（其中 c 为任意常数）5、答案：积分：故通解为：6、0)(22xdydxyxxy答案：0)(22dxyxxxdyydx两边同除以22yx得022xdxyxxdyydx，即021)(2dxyxarctgd，故原方程的解为Cxyxarctg2217、2453dxxydtdyxydt . 答案：方程组的特征方程为203AE45即(2)(3)( 4)( 5)0，即25140特征根为17，22对应特征向量应满足1127405370ab，可得1145ab同样可算出22时，对应特征向量为2211
6、abxyexydxdyxyxexyedxdyxyxydxyxexdyxy)(dxxeydxxdyxydxxedxyxyxdxedxyxycxexy2210212cexxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载 原方程组的通解为72127245ttttxeeCCyee8、答案：线性方程的特征方程故特征根是特征单根，原方程有特解代入原方程A=-B=0 不是特征根，原方程有特解代入原方程B
7、=0 所以原方程的解为9、0)2()122(dyyxdxyx答案：，令 z=x+y，则所以z+3ln|z+1|=x+， ln=x+z+即10、220d xdxxdtdt答案：所给方程是二阶常系数齐线性方程。其特征方程为210特征根为11322i，21322i 方程的通解为13131()()22222121233(cossin)22i ti ttxc ec ectct e11、312yxyxdxdy答案： (x-y+1)dx-(x+3)dy=0 xdx-(ydx+xdy)+dx-dy-3dy=0 即d-d(xy)+dx-3dy=0 sincos2xxtt0 xx210i1( )sinftti(c
8、ossin )xt AtBt122( )cos2ftt2icos2sin 2xAtBt13A1211cossincoscos223xctctttt2)(1)(2yxyxdxdydxdydxdz1,212121zzzzdxdzdxdzzz121C3|1| z1CyxCeyx23) 1(2y2y212x331dy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载所以三、证明题（共160 分）1、 （
9、12 分）证明如果满足初始条件的解，那么。证明： 设的形式为=（1） （C为待定的常向量）则由初始条件得=又=所以 C=代入（ 1）得=即命题得证。2、 （12 分）设在区间上连续试证明方程的所有解的存在区间必为。证明：由已知条件，该方程在整个平面上满足解的存在唯一及解的延展定理条件。显然是方程的两个常数解。任取初值，其中,。记过该点的解为，由上面分析可知，一方面可以向平面无穷远处无限延展；另一方面又上方不能穿过，下方不能穿过，否则与惟一性矛盾；故该解的存在区间必为。3、（12 分） 设，是方程的解， 且满足=0，这里在上连续，试证明：存在常数C使得=C证明： 设，是方程的两个解，则它们在上有
10、定义，其朗斯基行列式为由已知条件，得故这两个解是线性相关的；由线性相关定义，存在不全为零的常数，Cyyxxyx3312132Axxt/）是（)(0t)(t)(0ttAe)(t)(tCeAt)(0tCeAt01)(0Ate0Ate1)(0Ate0Ate)(t)(00ttAAtAteee)(x),(yxxysin)(dd),(xoy1y),(00yx),(0 x10y)(xyy)(xyy1y1y),()(1xy)(2xy0)()(yxqyxpy)(01xy)(02xy0)(1xy)(),(xqxp),(),(0 x)(2xy)(1xy)(1xy)(2xy),()()()()()(2121xyxyx
11、yxyxW0)()(00)()()()()(0201020102010 xyxyxyxyxyxyxW21，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 5 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载使得，由于，可知否则，若，则有，而，则，这与，线性相关矛盾故4、 （12 分）叙述一阶微分方程的解的存在唯一性定理的内容，并给出唯一性的证明。定理： 设00:|,|Rxxayyb. （1）( ,)fx y在R上连续，（2）( ,)fx y在R
12、上关于y满足利普希茨条件：120,( ,),(,)Lx yx yR，总有1212|( ,)( ,) |fx yf x yL yy. 则初值问题00( , )()dyf x ydxy xy存在唯一的解( )yx，定义于区间0|xxh上，连续且满足初值条件00()xy，这里( ,)min( ,),max |( , ) |x yRbhaMf x yM. 唯一性：设( )x是积分方程在区间00,xh xh上的解，则( )( )xx. 证明：00( )( , ( )xxxyfd，001( )( ,( )xnnxxyfd，1,2,.n首先估计0 xx. 000|( )( )|( , ( )|()xxxxf
13、dM xx，010|( )( ) |( ,( )( , ( ) |xxxxffd002000|( )( )|()()2!xxxxMLLdLMx dxx设10|( )( )|()(1)!nnnMLxxxxn成立，则001210|( )( ) |( ,( )( , ( ) |( )( )|()(2)!nxxnnnnxxMLxxffddxxn这就证明了对任意的n，总成立估计式：110|( )( ) |()(1)!(1)!nnnnnMLMLxxxxhnn. 因此，( )nx一致收敛于( )x，由极限的唯一性，必有00( )( ),xxxxh xh. 0)()(2211xyxy),(x0)(1xy020
14、20)(11xy0)(1xy01)(1xy)(2xy)()()(11212xCyxyxy名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载5、 （10 分）求解方程组的奇点，并判断奇点的类型及稳定性。解： 令，得，即奇点为（2，-3 ）令，代入原方程组得，因为，又由，解得，为两个相异的实根，所以奇点为不稳定鞍点，零解不稳定。6、 （12 分）求方程组313dxxydtdyydt满足初始条件1(0
15、)1的解 . 解： 方程组的特征方程为231(3)003，所以特征根为3（二重），对应齐次方程组的基解矩阵331exp(3 ) )01tttAteIAE te，满足初始条件的特解0( )expexpexp() ( )ttAtAtAs f s ds3330111110 1101010tttsttseeeds3331111331010ttttteee3332133tttteee7、 （10 分）假设不是矩阵的特征值，试证非齐线性方程组有一解形如其中，是常数向量。证明： 设方程有形如的解，则是可以确定出来的。51yxdtdyyxdtdx0501yxyx32yx32yYxXYXdtdYYXdtdX02
16、111102111122122mAmtceAxxmtpet)(cpmtpet)(p名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载事实上，将代入方程得，因为，所以，（1）又不是矩阵的特征值，所以存在，于是由（1）得存在。故方程有一解8、 （12 分）试求方程组xAx的一个基解矩阵，并计算exp At，其中2112A. 解：12( )det()0,3,3pEA，均为单根，设1对应的特征向量为1v
17、，则由11()0EA v，得1(23)v，0. 取1123v，同理可得1对应的特征向量为2123v，则331122( ),( )tttevtev，均为方程组的解，令12( )( ),( )ttt，又11(0)det (0)302323w，( ) t即为所求基解矩阵3333(23)(23)tttteeee. 9、（12 分） 试证明：对任意及满足条件的， 方程的满足条件的解在上存在证明： ，在全平面上连续 原方程在全平面上满足解的存在唯一性定理及解的延展定理条件又显然是方程的两个特解现任取，记为过的解，那么这个解可以唯一地向平面的边界无限延展，又上不能穿越，下不能穿越，mtpemtmtmtceA
18、pempe0mtecApempcPAmE)(mA0)det(AmE1)(AmEcAmEp1)(mtmtpeceAmEt1)()(0 x100y0y221)1(ddyxyyxy00)(yxy)(xyy),(221)1(),(yxyyyxf22222)1 (2) 1()1)(12(),(yxyyyyxyyxfy1,0 yy),(0 x)1, 0(0y)(xyy),(00yx1y0y名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 8 页，共 10 页 - - - - -
19、- - - - 精品资料欢迎下载因此它的存在区间必为10、 （ 10 分）求平面上过原点的曲线方程，该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互垂直. 解： 设曲线方程为( )yy x，切点为( ,)x y，切点到点(1,0)的连线的斜率为1yx，则由题意可得如下初值问题：11(0)0yyxy分离变量，积分并整理后可得22(1)yxC，代入初始条件可得1C，因此得所求曲线为22(1)1xy. 11、 （12 分） 在方程中，已知，在上连续， 且求证：对任意和，满足初值条件的解的存在区间必为证明： 由已知条件可知，该方程在整个平面上满足解的存在惟一及延展定理条件，又存在常数解对平面内任一
20、点，若，则过该点的解是，显然是在上有定义若, 则, 记过该点的解为，那么一方面解可以向平面的无穷远无限延展；另一方面在条形区域内不能上、下穿过解和，否则与解的惟一性矛盾因此解的存在区间必为12、 （ 10 分）设12( ),( )yxyx是方程( )0yq x y的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式( )W xC，其中C为常数 . 证明： 由已知条件，该方程在整个xoy平面上满足解的存在唯一性及解的延展定理条件. 显然1y是方程的两个常数解. 任取初值00(,)xy，其中0(,)x，0| 1y，记过该点的解为( )yy x，),()()(ddyyfxy)(yf)(x),(0)1(0 x10y
21、00)(yxy)(xy),(xoy, 2, 1,0,kky),(00yxky0ky),(ky0) 1(,(0kky)(xyy)(xyykykxyx(,),() 1)(xy)1(kyky),(名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 9 页，共 10 页 - - - - - - - - - 精品资料欢迎下载由上面分析可知，一方面( )yy x可以向平面无穷处无限延展；另一方面又上方不能穿过1y，下方不能穿过1y，否则与唯一性矛盾，故该解的存在区间必为(,). 1
22、3、 （ 12 分）试证：在微分方程Mdx+Ndy=0中，如果M 、N试同齐次函数，且xM+yN0, 则是该方程的一个积分因子。证明： 如 M 、N都是 n 次齐次函数，则因为 x+y=nM ，x+y=nN，故有= =0. 故命题成立。)(1yNxMxMyMxNyNMNy xMyNx xMyN2()()()yyyxMyNM xNyxMyNNMM2()()()xxxxMyNN xMyxMyNNNM2()()()xxyM xyNN xyxMyNNNM2()()()M nNN nMxMyN名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 10 页，共 10 页 - - - - - - - - -