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1、理科数学试题第 1 页（共7 页）绝密 启用前2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1设集合Ax|x25x 60 ，B x|x1b，则Aln(a- b）0 B3a0 D a b7设 ， 为两个平面，则 的充要条件是A内有无数条直线与 平行B内有两条相交直线与 平行C ，平行于同一条直线D ， 垂直于同一平面8若抛物线y22px(p0）的焦点是椭圆2231xypp的一个焦点，则pA2 B3 C4 D8 9下列函数中，以2为周期且在区间(4，2）单调递增的是Af (x） cos
2、2x Bf (x） sin 2xCf (x） cos xDf (x）sin x名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - 理科数学试题第 2 页（共7 页）10已知 (0，2）， 2sin 2 cos 2 1，则 sin A15B55C33D25511设 F 为双曲线 C：22221(0,0)xyabab的右焦点，O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆222xya交于 P，Q 两点若PQOF，则 C 的离心率为
3、A2B3C2 D512设函数( )f x的定义域为R，满足(1)2 ( )f xf x，且当(0,1x时，( )(1)f xx x若对任意(,xm，都有8( )9f x，则 m 的取值范围是A9(,4B7(,3C5(,2D8(, 3二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分。13我国高铁发展迅速，技术先进经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为097，有 20 个车次的正点率为098，有 10 个车次的正点率为099，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为_14已知( )f x是奇函数，且当0 x时，( )eaxf x若(ln 2)8f，则a_15ABC的
4、内角,A B C的对边分别为, ,a b c若6,2 ,3bac B，则ABC的面积为_16中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“ 半正多面体 ” （图 1）半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体半正多面体体现了数学的对称美图2 是一个棱数为48的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1则该半正多面体共有 _个面，其棱长为_（本题第一空2 分，第二空3分）三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答。第2
5、2、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60 分。17（ 12 分）如图，长方体ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形，点E 在棱 AA1上， BEEC1（1）证明： BE平面 EB1C1；（2）若 AEA1E，求二面角B EC C1的正弦值名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - 理科数学试题第 3 页（共7 页）18（ 12 分）11 分制乒乓球比赛，每赢一球得1 分，当
6、某局打成10:10 平后，每球交换发球权，先多得2 分的一方获胜，该局比赛结束甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0 5，乙发球时甲得分的概率为04，各球的结果相互独立在某局双方10:10 平后，甲先发球，两人又打了 X 个球该局比赛结束（1）求 P（X2）；（2）求事件 “ X 4 且甲获胜 ” 的概率19（ 12 分）已知数列 an和bn满足 a1 1，b10，1434nnnaab，1434nnnbba（1）证明： anbn是等比数列，an bn 是等差数列；（2）求 an 和 bn的通项公式20（ 12 分）已知函数11lnxfxxx（1）讨论 f (x）的单调性，并证
7、明f (x）有且仅有两个零点；（2）设 x0是 f (x）的一个零点，证明曲线yln x 在点 A(x0，ln x0）处的切线也是曲线exy的切线21（ 12 分）已知点 A(- 2,0）， B(2,0），动点M(x,y）满足直线AM 与 BM 的斜率之积为 -12记 M 的轨迹为曲线 C（1）求 C 的方程，并说明C 是什么曲线；（2）过坐标原点的直线交C 于 P，Q 两点，点 P 在第一象限， PEx 轴，垂足为E，连结 QE并延长交 C 于点 G（i）证明：PQG是直角三角形；（ii）求PQG面积的最大值（二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做
8、的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）在极坐标系中，O 为极点，点000(,)(0)M在曲线:4sinC上，直线 l 过点(4,0)A且与OM垂直，垂足为P（1）当0=3时，求0及 l 的极坐标方程；（2）当 M 在 C 上运动且P 在线段 OM 上时，求 P 点轨迹的极坐标方程23选修 45：不等式选讲（ 10 分）已知( )|2|().f xxa xxxa（1）当1a时，求不等式( )0f x的解集；（2）若(,1)x时，( )0f x，求a的取值范围名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - -
9、 - - - - - - - - - - - - - 第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - 理科数学试题第 4 页（共7 页）2019 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 参考答案一、选择题1A 2 C 3C 4D 5A 6C 7B 8D 9A 10B 11A 12 B 二、填空题130.98 14 3 15631626；21三、解答题：17解：（ 1）由已知得，11B C平面11ABB A，BE平面11ABB A，故11B CBE又1BEEC，所以BE平面11EB C（2）由（ 1）知190BEB由题设知11RtRtABEA B E，所以45AEB，故AEAB，12
10、AAAB以D为坐标原点，DAuuu r的方向为 x轴正方向，|DAuuu r为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz，则C（0，1，0），B（1，1，0），1C（0，1，2）， E（1，0，1），(1, 1,1)CEuu u r，1(0,0,2)CCuuu u r设平面 EBC的法向量为 n（ x，y， x），则0,0,CBCEu uu rnn即0,0,xxyz所以可取 n(0,1, 1)设平面1ECC的法向量为 m（ x，y，z），则10,0,CCCEuuu rmm即20,0.zxyz所以可取 m（ 1， 1，0）于是1cos,|2n mn mnm所以，二面角1BECC的正弦值为321
11、8解：（ 1）X2就是 10：10平后，两人又打了2个球该局比赛结束，则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分因此P（X2） 0 5 04（ 1 05） （1 04） 05（2）X4且甲获胜，就是10： 10平后，两人又打了4个球该局比赛结束，且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分因此所求概率为05 （1 04）（ 1 05） 04 0 5 0 401名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页，共 7 页 - - - - - - -
12、 - - 理科数学试题第 5 页（共7 页）19解：（ 1）由题设得114()2()nnnnabab，即111()2nnnnabab又因为 a1b1 l，所以nnab是首项为 1，公比为12的等比数列由题设得114()4()8nnnnabab，即112nnnnabab又因为 a1 b1l，所以nnab是首项为 1，公差为 2的等差数列（2）由（ 1）知，112nnnab，21nnabn所以111()()222nnnnnnaababn，111()()222nnnnnnbababn20解：（ 1）f（ x）的定义域为（0，1），（ 1， ）单调递增因为 f（e）e 110e 1，22222e1e3
13、(e )20e1e1f，所以 f（x）在（ 1， ）有唯一零点x1，即 f（x1） 0又1101x，1111111()ln()01xfxfxxx，故 f（x）在（ 0， 1）有唯一零点11x综上， f（x）有且仅有两个零点（2）因为0ln01exx，故点 B（ lnx0，01x）在曲线 yex上由题设知0()0f x，即0001ln1xxx，故直线 AB 的斜率00000000000111ln111ln1xxxxxkxxxxxx名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - -
14、 - 第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - 理科数学试题第 6 页（共7 页）曲线 yex在点001(ln,)Bxx处切线的斜率是01x，曲线lnyx在点00(,ln)A xx处切线的斜率也是01x，所以曲线lnyx在点00(,ln)A xx处的切线也是曲线y ex的切线21解： （1）由题设得1222yyxx，化简得221(|2)42xyx，所以 C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点（2）（ i）设直线PQ 的斜率为k，则其方程为(0)ykx k由22142ykxxy得2212xk记2212uk，则( ,),(,),( ,0)P u ukQuukE
15、u于是直线QG的斜率为2k，方程为()2kyxu由22(),2142kyxuxy得22222(2)280kxuk xk u设(,)GGG xy，则u和Gx是方程的解，故22(32)2Gukxk，由此得322Gukyk从而直线PG的斜率为322212(32)2ukukkukkuk所以PQPG，即PQG是直角三角形（ii）由（ i）得2|21PQuk，2221|2uk kPGk，名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页，共 7 页 - - - - - -
16、- - - 理科数学试题第 7 页（共7 页）所以 PQG 的面积222218()18 (1)|12(1 2)(2)12()kkkkSPQ PGkkkk设 tk1k，则由 k0 得 t2 ，当且仅当k1 时取等号因为281 2tSt在2， ）单调递减， 所以当 t2，即 k1 时，S取得最大值， 最大值为169因此， PQG 面积的最大值为16922解：（ 1）因为00,M在C上，当03时，04sin2 33由已知得| |cos23OPOA设( , )Q为l上除 P的任意一点在RtOPQ中cos| 23OP，经检验，点(2,)3P在曲线cos23上所以， l的极坐标方程为cos23（2）设(,
17、 )P，在RtOAP中，| |cos4cos,OPOA即4cos因为 P在线段 OM上，且APOM，故的取值范围是,4 2所以， P点轨迹的极坐标方程为4cos,4 223解：（1）当 a1 时，( )=|1| +|2|(1)f xxxxx当1x时，2( )2(1)0f xx；当1x时，( )0f x所以，不等式( )0fx的解集为(,1)（2）因为( )=0f a，所以1a当1a，(,1)x时，( )=() +(2)()=2()(1)0f xax xxxaax x所以，a的取值范围是1,)名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -精心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - -