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1、北京邮电大学高等数学北京邮电大学高等数学9-49-4设设),(zyxf是是空空间间有有界界闭闭区区域域上上的的有有界界函函数数，将将闭闭区区域域任任意意分分成成n个个小小闭闭区区域域1v ，2v , ,nv ，其其中中iv 表表示示第第i个个小小闭闭区区域域，也也表表示示它它的的体体积积, , 在在每每个个iv上上任任取取一一点点),(iii 作作乘乘积积iiiivf ),( ，), 2 , 1(ni ，并并作作和和, ,如如果果当当各各小小闭闭区区域域的的直直径径中中的的最最大大值值趋趋近近于于零零时时，这这和和式式的的极极限限存存在在，则则称称此此极极限限为为函函数数),(zyxf在在闭闭
2、区区域域上上的的三三重重积积分分，记记为为 dvzyxf),(, ,一、三重积分的定义一、三重积分的定义例例2 2 化三重积分化三重积分 dxdydzzyxfI),(为三为三次积分，其中次积分，其中 积分区域积分区域 为由曲面为由曲面22yxz ,2xy ,1 y, 0 z所围所围成的空间闭区域成的空间闭区域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如图，如图，xyz例例 3 3 将将 1010022),(yxdzzyxfdydx按按xzy, 的的次次序序积积分分.1D： 1002yxz解解1D 10100),(2dyzyxfdzdxx原
3、原式式 1101222),(xzxxdyzyxfdzdx.2D： 11222yxzxzx2D截面法的一般步骤：截面法的一般步骤：(1) 把积分区域把积分区域 向某轴向某轴（例如（例如z 轴）投影，得投轴）投影，得投影区间影区间,21cc；(2) 对对,21ccz 用过用过z轴且平行轴且平行xoy平面的平面去平面的平面去截截 ，得截面，得截面zD;(3) 计算二重积分计算二重积分 zDdxdyzyxf),( 其结果为其结果为z的函数的函数)(zF；(4)最后计算单积分最后计算单积分 21)(ccdzzF即得三重积分值即得三重积分值.z例例 4 4 计计算算三三重重积积分分 zdxdydz，其其中
4、中 为为三三个个坐坐标标面面及及平平面面1 zyx所所围围成成的的闭闭区区域域.解解（一）（一） zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .xozy111 zdxdydz解解（二）（二） zzydxdyzdz101010 zdyzyzdz1010)1( 102)1(21dzzz241 .xozy111例例 5 5 计算三重积分计算三重积分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 椭球面椭球面1222222 czbyax所成的空间闭区域所成的空间闭区域.: ,| ),(czczyx 12222
5、22czbyax 原式原式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式例例 6 6 计算三重积分计算三重积分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所围成围成.将将 投投影影到到zox平平面面得得:xzD 122 zx,先先对对y积积分分，再再求求xzD上上二二重重积积分分,解解如图如图, 112221zxDydydxdzxxz原原式式dzzxxdxxx21221111222
6、 dxzzxxxx221132112| )3(1 1142)21(31dxxx.4528 三重积分的定义和计算三重积分的定义和计算在直角坐标系下的体积元素在直角坐标系下的体积元素dxdydzdv （计算时将三重积分化为三次积分）（计算时将三重积分化为三次积分）三、小结三、小结思考题思考题 为六个平面为六个平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z围成的区域，围成的区域，),(zyxf在在 上连续，上连续，则累次积分则累次积分_ dvzyxf),(.选择题选择题:;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201
7、222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD一、一、 填空题填空题: :1 1、 若若 由曲面由曲面22yxz 及平面及平面1 z所围成所围成, , 则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(化为三次积分是化为三次积分是 _. .2 2、 若若 是由曲面是由曲面0( cxycz),),12222 byax, ,0 z所所围成的在第一卦限内的闭区域围成的在第一卦限内的闭区域, ,则三重积分则三重积分 dxdydzzyxf),(可化为三次积分为可化为三次积分为_._.3 3、 若若10 , 10 , 10: zyx, ,则则 dxdydzzyx)(可
8、化为三次积分可化为三次积分_,_,其值为其值为_._.练练 习习 题题 4 4、若、若 : :是由是由),0(, 0, 0 hhzzx )0(2222 aayxayx及及所围成所围成, ,则三重积则三重积 分分 dvzyxf),(可化为：可化为：(1)(1) 次序为次序为xyz的三次积分的三次积分_._.(2)(2)次序为次序为zxy的三次积分的三次积分_._. (3) (3)次序为次序为yzx的三次积分的三次积分_._.二、计算二、计算 dxdydzzxy32, ,其中其中 是由曲面是由曲面xyz , ,与平与平 面面01, zxxy和和所围成的闭区域所围成的闭区域 . .三、计算三、计算
9、xzdxdydz, ,其中其中 是曲面是曲面1, 0 yyzz, ,以及抛物柱面以及抛物柱面2xy 所围成的闭区域所围成的闭区域. .四、计算四、计算 dvyx221, ,其中其中 是由六个顶点是由六个顶点 ),0 , 0 , 2(),2 . 1 . 1(),0 , 1 , 1(),0 , 0 , 1(DCBA )4 , 2 , 2(),0 , 2 , 2(FE组成的三棱锥台组成的三棱锥台. .一、一、1 1、 111112222),(yxxxdzzyxfdydx； 2 2、 cxyaxbadzzyxfdydx0100),(22； 3 3、 101010)(dzzyxdydx，23； 4 4、 hxaxaadzzyxfdydx020),(22， 22200),(xaxaahdyzyxfdxdz； 22220022020),(),(yahaayayahadxzyxfdzdydxzyxfdzdy练习题答案练习题答案二、二、 3641. .三、三、 0.0.四、四、 2ln. .