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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date必修5不等式题型总结含参数的一元二次不等式的解法概念、方法、题型、易误点及应试技巧总结不等式一不等式的性质：1同向不等式可以相加；异向不等式可以相减：若，则（若，则），但异向不等式不可以相加；同向不等式不可以相减；2左右同正不等式：同向的不等式可以相乘，但不能相除；异向不等式可以相除，但不能相乘：若，则（若，则）；3左右同正不等式：两边可以同时乘方或开方：若，则或；4
2、若，则；若，则。如练习一、：（1）对于实数中，给出下列命题： ； ； ； ； ； ； ； ，则。其中正确的命题是_（2）已知，则的取值范围是_（3）已知，且则的取值范围是_二不等式大小比较的常用方法：1作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；2作商（常用于分数指数幂的代数式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函数的单调性；7寻找中间量或放缩法 ；8图象法。其中比较法（作差、作商）是最基本的方法。练习二;（1）设，比较的大小（2）设，试比较的大小（3）比较1+与的大小三利用重要不等式求函数最值时，你是否注意到：“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字
3、方针。如（1）下列命题中正确的是 A、的最小值是2 B、的最小值是2C、的最大值是D、的最小值是（2）若，则的最小值是_；（3）正数满足，则的最小值为_五证明不等式的方法：比较法、分析法、综合法和放缩法(比较法的步骤是：作差（商）后通过分解因式、配方、通分等手段变形判断符号或与1的大小，然后作出结论。).常用的放缩技巧六简单的一元高次不等式的解法：标根法：其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现的符号变化规律，写出不等式的解集。如练习三：（1）
4、解不等式。（2）不等式的解集是_（3）设函数、的定义域都是R，且的解集为，的解集为，则不等式的解集为_七分式不等式的解法：分式不等式的一般解题思路是先移项使右边为0，再通分并将分子分母分解因式，并使每一个因式中最高次项的系数为正，最后用标根法求解。解分式不等式时，一般不能去分母，但分母恒为正或恒为负时可去分母。如练习四：（1）解不等式（2）关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为_八绝对值不等式的解法：1分段讨论法（最后结果应取各段的并集）：如解不等式（2）利用绝对值的定义；（3）数形结合；如解不等式（4）两边平方：如若不等式对恒成立，则实数的取值范围为_。九含参不等式的解法：求解的通法是
5、“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键”注意解完之后要写上：“综上，原不等式的解集是”。注意：按参数讨论，最后应按参数取值分别说明其解集；但若按未知数讨论，最后应求并集. 如（1）若，则的取值范围是_（2）解不等式十一含绝对值不等式的性质：同号或有；异号或有.如设，实数满足，求证：十二(难点)不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：不等式恒成立问题的常规处理方式？（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）1).恒成立问题若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上若不等式在区间上恒成立,则等价于在区间上如（1）设实数满足，当时，的取值
6、范围是_（答：）；（2）不等式对一切实数恒成立，求实数的取值范围_（答：）；（3）若不等式对满足的所有都成立，则的取值范围_（答：（,）；（4）若不等式对于任意正整数恒成立，则实数的取值范围是_（答：）；（5）若不等式对的所有实数都成立，求的取值范围.（答：）2). 能成立问题若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上；若在区间上存在实数使不等式成立,则等价于在区间上的.如已知不等式在实数集上的解集不是空集，求实数的取值范围_（答：）3). 恰成立问题若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为；若不等式在区间上恰成立, 则等价于不等式的解集为.含参数的一元二次不等式的解法 解含参数
7、的一元二次不等式，通常情况下，均需分类讨论，那么如何讨论呢？对含参一元二次不等式常用的分类方法有三种： 一、按项的系数的符号分类，即;例1 解不等式： 分析：本题二次项系数含有参数，故只需对二次项系数进行分类讨论。 解：解得方程 两根当时,解集为当时，不等式为,解集为当时, 解集为 例2 解不等式分析 因为，所以我们只要讨论二次项系数的正负。解 当时，解集为；当时，解集为二、按判别式的符号分类，即；例3 解不等式分析 本题中由于的系数大于0,故只需考虑与根的情况。解： 当即时，解集为；当即0时，解集为；当或即,此时两根分别为，显然, 不等式的解集为 例4 解不等式 解 因，所以当，即时，解集为
8、；当，即时，解集为；当，即时，解集为R。三、按方程的根的大小来分类，即；例5 解不等式分析：此不等式可以分解为：，故对应的方程必有两解。本题只需讨论两根的大小即可。解：原不等式可化为：，令，可得：，当或时， ，故原不等式的解集为；当或时，,可得其解集为；当或时, ,解集为。例6 解不等式， 分析 此不等式，又不等式可分解为，故只需比较两根与的大小.解 原不等式可化为：，对应方程的两根为 ，当时，即，解集为；当时，即，解集为一元二次不等式 1(1)解不等式 （） (2)不等式的解集为，求的值. （）2解下列关于的不等式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3（1）若不等式对恒成立，
9、求实数的取值范围.（） （2）若不等式的解集为，求实数的取值范围.（）4（1）已知， 若，求实数的取值范围.；（）若，求实数的取值范围.；（）若为仅含有一个元素的集合，求的值.（） （2）已知，求实数的取值范围. （） (3) 关于的不等式与的解集依次为与，若，求实数的取值范围. （） （4）设全集，集合，若，求实数的取值范围. （）（5）已知全集，若，求实数的取值范围.（ ） 一元二次不等式及其解法1二次函数的图象及性质:二次函数的图象的对称轴方程是，顶点坐标是2二次函数的解析式的三种形式：（一般式）；（零点式）；（顶点式）3一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集：设相应的一元二次方程的两
10、根为，则不等式的解的各种情况如下表： 二次函数（）的图象一元二次方程有两相异实根有两相等实根 无实根 R 4解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为“+”：A=0(或0)；(2)计算判别式，分析不等式的解的情况；(3)写出解集5讨论二次函数在指定区间上的最值问题：(1)注意对称轴与区间的相对位置一般分为三种情况讨论，即：对称轴在区间左边，函数在此区间上具有单调性；对称轴在区间之内；对称轴在区间右边（2）函数在区间上的单调性要注意系数的符号对抛物线开口的影响6二次函数的区间根的分布情况一般需从三方面考虑：判别式；区间端点的函数值的符号；对称轴与区间的相对位置三、典型例题选讲题型1：考查一元
11、二次函数的性质例1 函数是单调函数的充要条件是（ ）A B C D解：函数的对称轴为，函数）是单调函数，故选A归纳小结：二次函数的单调区间是和，结合开口方向就可得出所需的条件，从而求出的范围例2 已知二次函数的对称轴为，截轴上的弦长为，且过点，求函数的解析解：二次函数的对称轴为，可设所求函数为，截轴上的弦长为，过点和，又过点，解之得，归纳小结：求二次函数的解析式一般采用待定系数法，但要注意根据已知条件选择恰当的解析式形式：一般式、零点式和顶点式，正确的选择会使解题过程得到简化题型2：简单不等式的求解问题例3 求下列不等式的解集（1）；（2）解法一：因为所以，原不等式的解集是解法二：整理，得因为
12、无实数解，所以不等式的解集是从而，原不等式的解集是归纳小结：解一元二次不等式要抓住“三个二次”的关系，按照解一元二次不等式的步骤求解，必要时要画出二次函数的图象进行观察例4 不等式的解集为，求与的值解法一：设的两根为、，由韦达定理得： 由题意得，此时满足，解法二：构造解集为的一元二次不等式：，即，此不等式与原不等式应为同解不等式，故，归纳小结：此题为一元二次不等式逆向思维题，要使解集为，不等式需满足条件，的两根为，在解题时要抓住一元二次方程、一元二次不等式解集的关系题型3：含参不等式的求解问题例5 解关于的不等式证：分以下情况讨论(1)当时，原不等式变为：，即不等式的解集为(2)当时，原不等式
13、变为： 当时，式变为，不等式的解为或即不等式的解集为；当时，式变为，当时，此时的解为即不等式的解集为；当时，此时的解为当时，即不等式的解集为归纳小结：解本题要注意分类讨论思想的运用，关键是要找到分类的标准，就本题来说有三级分类：分类应做到使所给参数的集合的并集为全集，交集为空集，要做到不重不漏另外，解本题还要注意在讨论时，解一元二次不等式应首选做到将二次项系数变为正数再求解题型4：一元二次不等式的应用例6 （1）已知函数，则不等式的解集是（ ）A BC D解：依题意得所以，选C（2）若函数f(x) =的定义域为R，则a的取值范围为_解：函数的定义域为R，对一切都有恒成立，即恒成立，成立，即，故
14、选A归纳小结：解一元二次不等式往往与分段函数、指数函数和对数函数结合进行综合考查，一般是借助于函数的性质和图象进行转化，再求解一元二次不等式，利用一元二次不等式分析相应一元二次函数的性质，体现“三个二次”之间的紧密联系，这也是一元二次不等式的重要考点之一例7 已知函数的最大值为，求的值解：令，对称轴为，当，即时，得或（舍去）当，即时，函数在上单调递增，由，得；当，即时，函数在上单调递减，由，得（舍去）综上可得，的值为或归纳小结：令，问题就转化为二次函数的区间最值问题，再由对称轴与区间的三种位置关系的讨论就可求得的值此题中要注意的条件例8 设不等式的解集为，如果，求实数的取值范围？解：有两种情况
15、：其一是=，此时0；其二是M，此时=0或0，分三种情况计算a的取值范围设，有=，当0时，12，=；当=0时，=1或2；当=1时=；当=2时，=当0时，a1或a2设方程的两根，且，那么M=，M1x1x24，即解得2，M1，4时，的取值范围是(1，)一元二次不等式解法应试能力测试1不等式的解集是( )A B C D2设集合Mx|0x2，则有MN( )Ax|0x1 Bx|0x2 Cx|0x1 Dx|0x23对于任意实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是( )A1a0 B1a0 C1a0 D1a04不等式的解集为( )Ax|2x2 Bx|x2或x2 Cx|2x2或x6 Dx|x25已知，则AB的非
16、空真子集个数为( )A2 B3 C7 D86已知，且ABR，ABx|3x4，则p、q的值为( )Ap3，q4 Bp3，q4 Cp3，q4 Dp3，q47若关于x的二次不等式的解集是x|7x1，则实数m的值是( )A1 B2 C3 D48不等式ax0 Ca0且b0 Db0且a0)的解集是_1 为使周长为20cm的长方形面积大于，不大于，它的短边要取多长？2 解不等式3解关于x的不等式(a0)4 k为何值时，关于x的不等式对一切实数x恒成立参考答案一、1D 2B 3C 4C 5A 提示：因为AB3，46A 提示：因Bx|x3，由已知得Ax|1x41，4是的两根，p3，q47C 8A，提示：因的解为，只有a0且b0时，axb解为二、1x5 提示：原不等式化为，|x|52x|32，1a2 ，提示：Ax|1x2，Bx|(x1)(xa)0，a24x|xa，提示：原不等式可化为(ax)(xb)0，ab0，ab，xa或xb三、1设长方形较短边长为x cm，则其邻边长(10x)cm，显然0x0时，不等式化为，即解得： 3原不等式化为(ax2)(x2)0 ，a0，当a1时，x|xR且x2，当a1时：若a1，则，若0a1，则，4恒正，不等式化为，即恒成立，1k3-