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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date奥数最大公约数与最小公倍数例题、练习及答案最大公约数与最小公倍数（一）最大公约数与最小公倍数（一）教学目标：1通过学生对应用题的条件与问题的全面分析，培养学生发现问题和解决问题的意识。2通过比较与辨析，使学生进一步理解和掌握“最大公约数和最小公倍数”应用题的解题规律。3培养学生的合作交流意识和创新意识，发展学生的空间观念与想像力。教学过程：一、基本概念知识1.公约数和
2、最大公约数 如果一个自然数a能被自然数b整除，那么称a为b的倍数，b为a的约数。如果一个自然数同时是若干个自然数的约数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个自然数的最大公约数。例如：12的约数有：1，2，3，4，6，12; 18的约数有：1，2，3，6，9，18。自然数的最大公约数通常用符号（）表示，例如，12和18的公约数有：1，2，3，6.其中6是12和18的最大公约数，记作(12，18)=6。（8，12）=4，（6，9，15）=3。2.公倍数和最小公倍数如果一个自然数同时是若干个自然数的倍数，那么称这个自然数是这若干个自然数的公倍数。在所
3、有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个自然数的最小公倍数。例如：12的倍数有：12，24，36，48，60，72，84， 18的倍数有：18，36，54，72，90，自然数的最小公倍数通常用符号表示，例如12和18的公倍数有：36，72，.其中36是12和18的最小公倍数，记作12，18=36。8，12=24，6，9，15=90。3.互质数 如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。 常用的求最大公约数和最小公倍数的方法是分解质因数法和短除法。用短除法求若干个数的最大公约数与最小公倍数的区别：求个数的最大公约数：（1） 必须每次都用个数的公约数去除；（2） 一直除到个数的商互质（但
4、不一定两两互质）；（3） 个数的最大公约数即为短除式中所有除数的乘积。求个数的最小公倍数：（1） 必须先用（如果有）个数的公约数去除，除到个数没有除去1以外的公约数后，在用个数的公约数去除，除到个数没有除1以外的公约数后，再用个数的公约数去除，如此继续下去，为保证这一条，每次所用的除数均可选质数；（2） 只要有两个数（被除数）能被同一数整除，就要继续除，一定要除到个数的商两两互质为止；（3） 个数的最小公倍数即为短除式中，所有除数和最后两两互质的商的乘积。例1 用60元钱可以买一级茶叶144克，或买二级茶叶180克，或买三级茶叶240克。现将这三种茶叶分别按整克数装袋，要求每袋的价格都相等，那
5、么每袋的价格最低是多少元钱？分析与解： 因为144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶叶都是60元，分装后每袋的价格相等，所以144克一级茶叶、180克二级茶叶、240克三级茶 叶，分装的袋数应相同，即分装的袋数应是144，180，240的公约数。题目要求每袋的价格尽量低，所以分装的袋数应尽量多，应是 144，180，240的最大公约数。是144，180，240的最大公约数。 所以（144，180，240）=223=12，即每60元的茶叶分装成12袋，每袋的价格最低是6012=5（元）。例2 用自然数a去除498，450，414，得到相同的余数，a最大是多少？分析与解：因为498，45
6、0，414除以a所得的余数相同，所以它们两两之差的公约数应能被a整除。498-450=48，450-414=36，498-414=84。所求数是（48，36，84）=12。 例3 现有三个自然数，它们的和是1111，这样的三个自然数的公约数中，最大的可以是多少？分析与解： 只知道三个自然数的和，不知道三个自然数具体是几，似乎无法求最大公约数。只能从唯一的条件“它们的和是1111”入手分析。三个数的和是1111，它们 的公约数一定是1111的约数。因为1111=10111，它的约数只能是1，11，101和1111，由于三个自然数的和是1111，所以三个自然数 都小于1111，1111不可能是三个
7、自然数的公约数，而101是可能的，比如取三个数为101，101和909。所以所求数是101。例4 在一个3024的方格纸上画一条对角线（见下页上图），这条对角线除两个端点外，共经过多少个格点（横线与竖线的交叉点）？分析与解：（30，24）=6，说明如果将方格纸横、竖都分成6份，即分成66个相同的矩形，那么每个矩形是由（306）（246）=54（个）小方格组成。在66的简化图中，对角线也是它所经过的每一个矩形的对角线，所以经过5个格点（见左下图）。在对角线所经过的每一个矩形的54个小方格中，对角线不经过任何格点（见右下图）。所以，对角线共经过格点（30，24）-1=5（个）。例5 甲、乙、丙三人
8、绕操场竞走，他们走一圈分别需要1分、1分15秒和1分30秒。三人同时从起点出发，最少需多长时间才能再次在起点相会？分析与解：甲、乙、丙走一圈分别需60秒、75秒和90秒，因为要在起点相会，即三人都要走整圈数，所以需要的时间应是60，75，90的公倍数。所求时间为60，75，90=900（秒）=15（分）。 例6 爷爷对小明说：“我现在的年龄是你的7倍，过几年是你的6倍，再过若干年就分别是你的5倍、4倍、3倍、2倍。”你知道爷爷和小明现在的年龄吗？分析与解：爷爷和小明的年龄随着时间的推移都在变化，但他们的年龄差是保持不变的。爷爷的年龄现在是小明的7倍，说明他们的年龄差是6的倍数；同理，他们的年龄
9、差也是5，4，3，2，1的倍数。由此推知，他们的年龄差是6，5，4，3，2的公倍数。6，5，4，3，2=60，爷爷和小明的年龄差是60的整数倍。考虑到年龄的实际情况，爷爷与小明的年龄差应是60岁。所以现在小明的年龄=60（7-1）=10（岁），爷爷的年龄=107=70（岁）。二、随堂练习 最大公约数与最小公倍数（二）摘要：这一讲主要讲最大公约数与最小公倍数的关系，并对最大公约数与最小公倍数的概念加以推广。在求18与12的最大公约数与最小公倍数时，由短除法可知，（18，12）=23=6，18，12=2332=36。如果把18与12的最大公约数与最小公倍数相乘，那么（18，12）18，12=（23
10、）（2332）=（233）（232）=1812。也就是说，18与12的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于18与12的乘积。当把18，12换成其它自然数时，依然有类似的结论。从而得出一个重要结论：两个自然数的最大公约数与最小公倍数的乘积，等于这两个自然数的乘积。即，（a，b）a，b=ab。例1 两个自然数的最大公约数是6，最小公倍数是72。已知其中一个自然数是18，求另一个自然数。解：由上面的结论，另一个自然数是（672）18=24。例2 两个自然数的最大公约数是7，最小公倍数是210。这两个自然数的和是77，求这两个自然数。分析与解：如果将两个自然数都除以7，则原题变为：“两个自然数的最大公约
11、数是1，最小公倍数是30。这两个自然数的和是11，求这两个自然数。”改变以后的两个数的乘积是130=30，和是11。30=130=215=310=56，由上式知，两个因数的和是11的只有56，且5与6互质。因此改变后的两个数是5和6，故原来的两个自然数是75=35和76=42。例3 已知a与b，a与c的最大公约数分别是12和15，a，b，c的最小公倍数是120，求a，b，c。分析与解：因为12，15都是a的约数，所以a应当是12与15的公倍数，即是12，15=60的倍数。再由a，b，c=120知， a只能是60或120。a，c=15，说明c没有质因数2，又因为a，b，c=120=2335，所以
12、c=15。因为a是c的倍数，所以求a，b的问题可以简化为：“a是60或120，（a，b）=12，a，b=120，求a，b。”当a=60时，b=（a，b）a，ba=1212060=24；当a=120时，b=（a，b）a，ba=12120120=12。所以a，b，c为60，24，15或120，12，15。要将它们全部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：每瓶最多装多少千克？分析与解：如果三种溶液的重量都是整数，那么每瓶装的重量就是三 种溶液重量的最大公约数。现在的问题是三种溶液的重量不是整数。要解决这个问题，可以将重量分别乘以某个数，将分数化为整数，求出数值后，再除以这个数。 为此，先求
13、几个分母的最小公倍数，6，4，9=36，三种溶液的重量都乘以36后，变为150，135和80，（150，135，80）=5。上式说明，若三种溶液分别重150，135，80千克，则每瓶最多装5千克。可实际重量是150，135，80的1/36，所以每瓶最多装在例4中，出现了与整数的最大公约数类似的分数问题。为此，我们将最大公约数的概念推广到分数中。如果若干个分数（含整数）都是某个分数的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公约数。在所有公约数中最大的一个公约数，称为这若干个分数的最大公约数。由例4的解答，得到求一组分数的最大公约数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分母的最小
14、公倍数a；（3）求出各个分数的分子的最大公约数b； （4）即为所求。例5 求，的最大公约数。类似地，我们也可以将最小公倍数的概念推广到分数中。如果某个分数（或整数）同时是若干个分数（含整数）的整数倍，那么称这个分数是这若干个分数的公倍数。在所有公倍数中最小的一个公倍数，称为这若干个分数的最小公倍数。求一组分数的最小公倍数的方法：（1）先将各个分数化为假分数；（2）求出各个分数的分子的最小公倍数a；（3）求出各个分数的分母的最大公约数b；一个陷井。它们之中谁先掉进陷井？它掉进陷井时另一个跳了多远？同理，黄鼠狼掉进陷井时与起点的距离为所以黄鼠狼掉进陷井时跳了31 1/26 3/10=5（次）。黄鼠
15、狼先掉进陷井，它掉进陷井时，狐狸跳了专题练习1.将72和120的乘积写成它们的最大公约数和最最小公倍数的乘积的形式。2.两个自然数的最大公约数是12，最小公倍数是72。满足条件的自然数有哪几组？3.求下列各组分数的最大公约数：4.求下列各组分数的最小公倍数： 部分别装入小瓶中，每个小瓶装入液体的重量相同。问：最少要装多少瓶？于同一处只有一次，求圆形绿地的周长。随堂练习解答专题练习解答1.72120=（7，120）72，120=24360。2.12，72与24，36两组。提示：7212=6=16=23，所以有两组：121=12，126=72； 122=24，123=36。5.等于。6.151瓶。7.120米。-