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1、Four short words sum up what has lifted most successful individuals above the crowd: a little bit more.-author-date图形的旋转专题图形的旋转图形的旋转旋转对称:一个平面图形绕着某一定点旋转一定角度(小于周角)后能与自身重合,这样的图形叫做旋转对称图形,这个定点叫做旋转中心.注意:旋转角是对应点与旋转中心的连线所成的夹角。 在旋转过程中保持不动的点是旋转中心。 旋转过程中应注意旋转的方向（逆时针或顺时针）。基本类型：正三角形类型在正ABC中，P为ABC内一点，将ABP绕A点按逆时针方
2、向旋转，使得AB与AC重合。经过这样旋转变化，将图(1-1-a)中的PA、PB、PC三条图(1-1-a)图(1-1-b)线段集中于图(1-1-b)）中的一个PCP中，此时PAP也为等边三角形。正方形类型在正方形ABCD中，P为正方形ABCD内一点，将ABP绕B点按顺时针方向旋转900，使得BA与BC重合。经过旋转变化，将图(2-1-a)中的PA、PB、PC图(2-1-a)图(2-1-b)三条线段集中于图(2-1-b)中的CPP中，此时BPP 为等腰直角三角形。等腰直角三角形类型在等腰直角三角形ABC中， P为ABC内一点，将APC绕C点按逆时针方向旋转900，使得AC与BC重合。经过这样旋转变
3、化，在图(3-1-b)中的一个P CP为等腰直角三角形。图(1-1-a)图(1-1-b)题型一：利用图形的旋转求线段长例1.如图，P为等边三角形ABC内一点，BPC等于150,PC=5,PB=12，则PA的长为 .解析:将BPC绕C点顺时针旋转60, 连接PP，PCP=60，CP=CP，PCP是等边三角形，APC=BPC=150，APP=150-60=90，又PP=PC=5，AP=BP=12.在RtAPP中，PA=点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在“同一个四边形”中，作出辅助线构造等边三角形是解本题的关键。例2.如图，点P是正方形ABCD内一点,AP=1，PB=,APB=135，则P
4、C的长等于 .解析:如图,把PBC绕点B逆时针旋转90得到ABPAP=PC，BP=BP=1. 故PBP是等腰直角三角形.,在中，点评：解此题的关键是：把PA、PB、PC放在“同一个四边形”中，作出辅助线构造等腰直角三角形是解本题的关键。例3. 如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为( )A. B.4 C. D.解析:在RtAOB中，AO2=AB2-BO2；RtDOC中可得：DO2=DC2-CO2；AD2=AO2+DO2=AB2-BO2+DC2-CO2=18，即可得AD=，故选A思考题：如图,将ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到,且为BC的中点
5、,则( ) A.1:2 B.1:2 C.1: D.1:3题型二：利用图形的旋转求角的大小例4.如图,在ABC中, BC=AC,P为ABC内一点,且PA=3，PB=1，PC=2,则的度数是 .解析: 将BCP绕B逆时针旋转90, 连接PP，PCP=90，CP=CP，PCP是等腰直角三角形，CPP=45,.又PA=3，PB=1，即.例5.如图，P为正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，则APB= 解析:将APB绕B点顺时针旋转90并连接PE，将APB绕B点顺时针旋转90，得BEC，BECBPA，APB=BEC，BEP为等腰直角三角形,BEP=45，PB=2，PE=PC=3，CE=PA
6、=1，PC2=PE2+CE2，即PEC=90，APB=BEC=BEP+PEC=45+90=135例6.如图,已知O是等边三角形ABC内一点，AOB、BOC、AOC的度数之比为6:5:4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，此三边所对的角的度数是 .解析:AOB：BOC：AOC=6：5：4，AOB=144，BOC=120，AOC=96，将AOC绕点A顺时针旋转60得到AOB，连接OO，AOBAOC，AOB=AOC=96，OB=OC，AO=AO，OAO=60，AO=AO，AOO是等边三角形，OO=AO，BOO即是以OA，OB，OC为边长构成的三角形，AOO=AOO=60，BOO=84，BOO=36
7、，OBO=60，思考题:如图,在等边ABC中,点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M, 则( )A. B. C. D.题型三：利用图形的旋转求面积例7.如图，已知中，点D、E、F分别在AB、AC、B上，四边形CFDE是正方形,若AD=3,BD=4，则和的面积之和为.解析:该题常采用的思路是利用，计算出直角三角形的两条直角边的长度和正方形的边长，然后利用大三角形的面积减去正方形的面积，即可求得两个三角形的面积之和，但计算量较大。若对于此题运用图形旋转的思想来解，会给我们耳目一新的感觉。如图，把绕点旋转，这时DE与DF重合.，又AD=3,BD=4，即两个三角形的面积之和
8、等于6.例.如图,P是正方形ABCD内一点，点P到正方形的三个顶点A、B、C的距离分别为PA=1，PB=2，PC=3，正方形ABCD面积为.解析:该题一般的思路是利用三角形的性质计算得到正方形的边长，但受限于初中的数学知识，很难继续运算下去，故考虑用图形旋转的思想来解。如图，把绕点逆时针旋转,把绕点顺时针旋转,易证，EAP与PCF均为等腰直角三角形.，.又，点、在同一条直线上.在EFD中，., ，即EPF为直角三角形.思考题：如图,直角梯形ABCD中,ADBC，ABBC,AD=2,BC=3，将腰CD以D为中心，逆时针旋转90至ED，连结AE、CE，则ADE的面积是（ ）A.1 B.2 C.3
9、D.4题型四：利用图形的旋转探索图形中线段之间的关系例9.如图，正方形ABCD边上有动点E、F，的周长等于正方形ABCD周长的一半，探索：的度数是否随点E、F位置的变化而改变，如果有变化，请找出变化的规律；若不变，请求出的度数的大小。解析:由的周长等于正方形ABCD的一半，可以得到AF+CEEF，这与的度数似乎无联系。此时把绕点B逆时针旋转,如图，BC=BA,点G、A、F、D在同一条直线上.GF=GA+AF=CE+AF=EF,BG=BE,BF=BF,.又,例10.如图,已知ABC中AB=AC,EPF的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：AE=CF;AP
10、E=CPF;EPF是等腰直角三角形;EF=BE+CP;S四边形AEPF=SABC，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论中始终正确的序号有 .解析：如图，把绕点逆时针旋转,可得，即AE=CF，PE=PF，APE=CPF，正确.S四边形AEPF= SPAE+ SPAF= SPCF+ SPAF= SPAC=SABC正确.等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，EF随着点E的变化而变化，判定错误，思考题:如图, ABC是边长为5的等边三角形，BDC是等腰三角形,且,以点D为顶点作一个的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则AMN的周长为 .题型五：利用例11.在边长
11、为2的正方形ABCD内求一点P，使得PA+PB+PC之和为最小.并求这个最小值解析:将BPC顺时针旋转，得为等边PBEPEPB，EFPC即 PA+PB+PCAP+PE+EF。要使最小只要AP，PE，EF在一条直线上，即PA+PB+PCAFBM=BFcos30=BCcos30=,则AM=，AB=BF，ABF=150，BAF=15.AF=AMcos15=.即PA+PB+PC的最小值为例12.已知中,，O为内一点,且，则 解析: 将BOC顺时针旋转，得为等边PDEODOB，DEOC又，即A、O、D、E四点在一条直线上.中, ,，又.又，即.思考题:(2012济南)如图，MON=90，矩形ABCD的顶
12、点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ）A. B. C. D.-思考题:如图,将ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到,且为BC的中点,则( ) A.1:2 B.1:2 C.1: D.1:3解析: ABC是ABC绕顶点A顺时针旋转60后得到的，CAC=60，ABCABC，又AC=AC，ACC是等边三角形 ，AC=AC又C为BC的中点，BC=CC，易得ABC、ABC是含30角的直角三角形，ACD也是含30角的直角三角形，故另解：利用“估值法”，拿出“尺子”量一下试一试？思考题:
13、如图,在等边ABC中,点E、D分别为AB、BC上的两点，且BE=CD，AD与CE交于点M, 则( )A. B. C. D.解析: 因为BC=AC ，ABC=ACD=60,BE=CD,所以以AB的中心（等边三角形三条中线的交点）O为旋转中心，将顺时针旋转就得到了AME=180-AMC=180-120=60另解：利用特殊位置，由且BE=CD，不防取D、E分别为BC、AB的中点，易得AME=60思考题:如图, ABC是边长为5的等边三角形，BDC是等腰三角形,且,以点D为顶点作一个的角，使其两边分别交AB、AC于点M、N，则AMN的周长为 .解：BDC是等腰三角形，且BDC=120，BCD=DBC=
14、30ABC是边长为3的等边三角形ABC=BAC=BCA=60DBA=DCA=90延长AB至F，使BF=CN，连接DF，在RtBDF和RtCND中，BF=CN，DB=DCBDFCNDBDF=CDN，DF=DNMDN=60BDM+CDN=60BDM+BDF=60，FDM=60=MDN，DM为公共边DMNDMF，MN=MFAMN的周长是：AM+AN+MN=AM+MB+BF+AN=AB+AC=6思考题:(2012济南)如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的
15、最大距离为（ ）A. B. C. D.解：如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD，ODOE+DE，当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大，此时，AB=2，BC=1，.OD的最大值为：故选：A（2012济南）如图，MON=90，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（）例3.如图,将ABC绕顶点A顺时针旋转后,得到,且为BC的中点,则( ) A.1:2 B.1:2 C.1: D.1:3解析: ABC是ABC绕顶点A顺时针旋转60后得到的，CAC=60
16、，ABCABC，又AC=AC，ACC是等边三角形 ，AC=AC又C为BC的中点，BC=CC，易得ABC、ABC是含30角的直角三角形，ACD也是含30角的直角三角形，故思考题：如图，四边形ABCD的对角线AC与BD互相垂直，若AB=3，BC=4，CD=5，则AD的长为( )A. B.4 C. D.解析：如图，把绕点逆时针旋转,可得，即AE=CF，PE=PF，APE=CPF，正确.S四边形AEPF= SPAE+ SPAF= SPCF+ SPAF= SPAC=SABC正确.等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，EF随着点E的变化而变化，判定错误，例10.如图,已知ABC中AB=AC,EPF
17、的顶点P是BC中点,两边PE,PF分别交AB、AC于点E、F，给出以下五个结论：AE=CF;APE=CPF;EPF是等腰直角三角形;EF=BE+CP;S四边形AEPF=SABC，当EPF在ABC内绕顶点P旋转时(点E不与A、B重合)上述结论中始终正确的序号有 .解析: 根据等腰直角三角形的性质可得APBC,AP=PC,EAP=C=45，根据同角的余角相等求出APE=CPF，判定正确，然后利用“角边角”证明APE和CPF全等，根据全等三角形的可得AE=CF，判定正确，再根据等腰直角三角形的定义得到EFP是等腰直角三角形，判定正确；根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的倍表示出EF，可知EF随着点E
18、的变化而变化，判定错误，根据全等三角形的面积相等可得APE的面积等于CPF的面积相等，然后求出四边形AEPF的面积等于ABC的面积的一半，判定正确例1.如图，P为等边三角形ABC内一点，BPC等于150,PC=5,PB=12，则PA的长为 .解析:将BPC绕C点顺时针旋转60, 连接PP，PCP=60，CP=CP，PCP是等边三角形，APC=BPC=150，APP=150-60=90，又PP=PC=5，AP=BP=12，在RtAPP中，PA=连接PP，将BPC绕C点顺时针旋转60到APC的位置，由旋转的性质，得CP=CP，PPC为等边三角形，由旋转的性质可知APC=BPC=150，APP=15
19、0-60=90，又PP=PC=5，AP=BP=12，在RtAPP中，由勾股定理，得PA=AP2+PP2=13解：AOB：BOC：AOC=6：5：4，AOB=144，BOC=120，AOC=96，将AOC绕点A顺时针旋转60得到三角形AOB，连接OO，AOBAOC， AOB=AOC=96，OB=OC，AO=AO，OAO=60（将AOC绕点A顺时针旋转60得到三角形AOB），AO=AO，AOO是等边三角形，OO=AO，例1. 如图，点P是等边三角形ABC内一点，且PA=6，PB=8，PC=10，则APB= .解析:将BCP绕B逆时针旋转60, 连接PP，PBP=60，BP=BP，PBP是等边三角形，BPP=60PP=8，AP=PC=10，PA=PA=6，PP2+PA2=AP2，APP=90，APB=60+90=150例：如图，已知长方形ABCD 的周长为20，AB=4，点E在BC上，且 AEEF，AE=EF，求CF的长。【解析】：将 ABE以点E为旋转中心，顺时针旋转90，此时点B旋转到点B 处，AE与EF重合，由旋转特征知：BEBC ，四边形BECF 为长方形，CE=BF=ABCF+CE=BE+CE=BE+EC=BC=6CF=BC-CE=6-4=2