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1、【精品文档】如有侵权，请联系网站删除，仅供学习与交流高二数学教案：8.04双曲线的简单几何性质(5).精品文档.【课 题】双曲线的简单几何性质(5)【教学目标】直线与双曲线【教学重点】【教学难点】一、 复习引入1、复习双曲线的性质：范围，对称性，顶点，实轴，虚轴，离心率等；2、复习双曲的第二定义；二、 讲解新课直线与双曲线的位置关系，一般通过解直线的方程与双曲线的方程组成的方程组，对解的个数进行讨论，有两组不同的解，即时，直线与双曲线相交；有两组相同的解，即时，直线与双曲线相切；无实数解，即时，直线与双曲线相离。但当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交且只有一个交点，注意，此时，不能说
2、是直线与双曲线相切。三、 例题讲解（一）直线与双曲线的位置关系【例1】 经过点且与双曲线仅交于一个点的直线的条数是（ ）A、4条 B、3条 C、2条 D、1条 解：A【例2】 已知不论b取何实数，直线y=kx+b与双曲线x22y2=1总有公共点，试求实数k的取值范围.解：联立方程组消去y得(2k21)x2+4kbx+2b2+1=0,当时，直线与双曲线的渐近线平行，当时，有一个交点。当时，没有交点，所以不合题意。当时，依题意有=(4kb)24(2k21)(2b2+1)=4(2k22b21)0，对所有实数b恒成立，2k210，得所以【例3】 过点（0，3）的直线l与双曲线，只有一个公共点，求直线l
3、的方程.解：设直线l的方程为：y=kx+3将其代入双曲线中，得：化简整理，得（34k2）x224kx48=0当34k20时，=(24k)24(34k2)(48)=576k2768k2+576=192k2+576=0k2=3即k=时，直线与双曲线只有一个公共点当34k2=0时，即k=时，直线与双曲线的渐近线平行，此时直线与双曲线也只有一个公共点.所求直线l的方程为：y=x+3或y=x+3【类似题】求经过且与双曲线仅有一个公共点的直线方程.解:当斜率存在时,设所求直线方程为,代入双曲线方程,整理得 (*)当时,方程(*)变为一次方程,且有唯一解,因而直线和双曲线仅有一个公共点,故得直线方程为.当时
4、,得直线方程为当直线和双曲线相切时,仅有一个公共点,此时,即,解得,故所求直线方程为.当斜率不存在时,因为点在直线上,故也满足要求.综上所述,符合题意的直线为:,和（二）中点弦问题【例4】 已知双曲线方程为.(1)过定点作直线交双曲线于、两点,使是的中点,求此直线方程.(2)过定点能否作直线,使与此双曲线相交于两点、,且是的中点?若存在求出的方程,若不存在说明理由.解：(1)若直线没有斜率,则直线与实轴垂直,的中点在实轴上,不可能是点,所以所求直线一定有斜率,设直线方程为由消去整理得又是中点的充要条件是由（2）得,把代入（1）得0,.所求的直线方程为,即.(2) 假设这样的直线存在,设,则有,
5、又、在双曲线上,两式相减得,即,若直线没有斜率,则不可能是的中点,所以直线有斜率,于是斜率.直线的方程为,把的方程代入得,=16240,这就是说,直线与双曲线没有公共点,这样的直线不存在.（三）弦长问题【例5】 直线与双曲线相交于、两点.(1)当为何值时,以为直径的圆过原点?(2)当为何值时,、两点分别在双曲线的两支上?当为何值时,、两点在双曲线的同一支上?解：直线与双曲线相交于、两点,等价于方程组有两组不同的实数解；将代入,整理得 ,组成的方程组有两组不同的实数解,等价于方程有两个不同的实数根,故不等式组成立,即,且.(1)设,由题,则,即.由知,.又,即,故满足,且,从而.(2)要使直线与
6、双曲线分别交于两支,必有要使直线与双曲线交于同一支,必有或.【例6】 已知双曲线M的中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为，且过点。（1）求双曲线M的方程；（2）斜率为k（）的直线l与双曲线M交于C、D两点，与圆交于A、B两点，若A、B为线段CD的三等分点，求直线l的方程。解：（1）双曲线M的离心率为，设所求双曲线方程为双曲线M过点，所求双曲线方程为（2）设所求直线l的方程为依题意设又设依题意，线段AB与线段CD的中点相同所以得，则，此时直线方程为，又，即解得检验：所求直线方程为【例7】 已知l1、l2是过点P（，0）的两条互相垂直的直线，且l1、l2与双曲线y2x2=1各有两个交点，且分别为A
7、1、B1和A2、B2.（1）求l1的斜率k1的取值范围；（2）若A1恰是双曲线的一个顶点，求|A2B2|的值.（3）若，求的方程。解：（1）据题意，l1、l2的斜率都存在因为l1过点P（，0），且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的解，在方程组中，消去y，整理得(k121)x2+2k12x+2k121=0 若k121=0，直线与双曲线的渐近线平行，与双曲线只有一个交点，与题设矛盾.故k1210,即|k1|1,方程的判别式为：1=(2k12)24(k121)(2k121)=4(3k121) 设l2的斜率为k2，因为l2过点P（，0），且与双曲线有两个交点，故方程组有两个不同的解，在方程组中消
8、去y，整理得（k221）x2+2k22x+2k221=0 同理有k2210,2=4(3k221)因为l1l2,所以有k1k2=1,于是l1、l2与双曲线各有两个交点的充要条件是：解得k1(,1)(1,)(,1)(1, )(2)双曲线y2x2=1的顶点为（0，1），（0，1），取A1(0,1)时有：k1=；解得k1=k2=代入方程得：x2+4x+3=0 l2与双曲线的两个交点A2（x1,y1）、B2(x2,y2),则x1+x2=4,x1x2=3|A2B2|=当取A1(0,1)时，由双曲线y2x2=1关于x轴对称知|A2B2|=l1过双曲线的一个顶点时，|A2B2|=（3）令得出 由可知：；把它们均代入的变形：并化简得 另解：当时 当时 四、 课堂练习五、 小结六、 课后练习